2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 6회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 6회 해설집 | 6회 : 로그부등식의 해집합과, · 삼각함수의, 치환을 이 · 두 곡선이 및 한 점 · 주기성과 및 대칭성을 · 독립시행의 확률과, 이

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 6회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (6회차))

[대문항 1] (20점) 로그부등식의 해집합과, 정수해의 개수 및 및 밑 조건 추론

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15061 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 양의 실수, \(x{\kern0pt}{}\)에 대한, 로그부등식 \(\log_2(x - a) + \log_2(x - b) \le c{\kern0pt}{}\)를 풀 때는 먼저 및 진수 조건, \(x \gt a,\; x \gt b{\kern0pt}{}\)를 확정한, 뒤, 밑 \(2 \gt 1{\kern0pt}{}\)의 증가, 성질을 이용하여 및 \((x - a)(x - b) \le 2^c{\kern0pt}{}\)의 해집합과, 교집합을 구한다.

실수 \(x{\kern0pt}{}\)에 대한, 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3{\kern0pt}{}\)과參數 \(k{\kern0pt}{}\)를 포함한, 연립 로그부등식의 및 정수해를 분석하고자, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 주어진 조건을, 적용해 진수 및 조건을 구하고,, 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3{\kern0pt}{}\)의 해집합과, 이를 만족시키는 및 모든 정수, \(x{\kern0pt}{}\)의 합을, 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 양의 실수, \(x{\kern0pt}{}\)에 대한, 부등식 \((\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 4 \le 0{\kern0pt}{}\)과 위 부등식을 동시에 및 만족시키는 실수, \(x{\kern0pt}{}\)의 범위를, 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) 양의 정수, \(m{\kern0pt}{}\)에 관하여, 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le \log_2 m{\kern0pt}{}\)을 만족시키는, 정수 \(x{\kern0pt}{}\)의 개수가, 정확히 \(3{\kern0pt}{}\)개가 되도록, 하는 양의 및 정수 \(m{\kern0pt}{}\)의 값의, 범위를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(3 \lt x \le 5\), 정수 합 \(9\) | [1-2] \(3 \lt x \le 5\) | [1-3] \(15 \le m \lt 24\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 진수 조건, \(x - 1 \gt 0,\; x - 3 \gt 0{\kern0pt}{}\) 영역에서, \(x \gt 3{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \((x - 1)(x - 3) \le 8 \iff x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) \le 0 \implies -1 \le x \le 5{\kern0pt}{}\)이기 때문에, \(x \gt 3{\kern0pt}{}\)과 연립하면, \(3 \lt x \le 5{\kern0pt}{}\)이며 또한, 정수 \(x = 4, 5{\kern0pt}{}\)의 합은, \(9{\kern0pt}{}\)이다. 두 번째 부등식은 및 \((\log_2 x - 1)(\log_2 x - 4) \le 0 \implies 2 \le x \le 16{\kern0pt}{}\)이기 때문에, 공통 범위는 및 \(3 \lt x \le 5{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x \gt 3{\kern0pt}{}\) 영역에서, \(g(x) = (x - 1)(x - 3){\kern0pt}{}\)은 엄격히, 증가하므로 정수해가 및 \(x = 4, 5, 6{\kern0pt}{}\)의 \(3{\kern0pt}{}\)개가 되려면, \(g(6) \le m \lt g(7){\kern0pt}{}\)이어야 한다., \(g(6) = 5 \times 3 = 15,\; g(7) = 6 \times 4 = 24{\kern0pt}{}\)이기 때문에, \(15 \le m \lt 24{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 진수 조건 \(x \gt 3\) 명시 +2점 / 해집합 \(3 \lt x \le 5\) 및 합 \(9\) 도출 +4점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 치환 해집합 \(2 \le x \le 16\) 산출 +4점 / 교집합 \(3 \lt x \le 5\) 확정 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 정수해 \(x = 4, 5, 6\) 확정 +3점 / \(15 \le m \lt 24\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(g(x) = (x-1)(x-3){\kern0pt}{}\)이 \(x \gt 3{\kern0pt}{}\) 영역에서, 증가하므로 경계값 및 \(g(6) \le m{\kern0pt}{}\)에는 등호가, 들어가고 \(m \lt g(7){\kern0pt}{}\)에는 등호가, 빠진다는 점을 및 정확히 구분해야, 합니다.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의, 치환을 이용한 및 최대·최소와 등식관계의, 실근의 개수

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 15062 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 삼각함수의, 기본 항등식 및 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1{\kern0pt}{}\)을 이용하면 \(y = a\cos^2 x + b\sin x + c{\kern0pt}{}\) 꼴의 함수는 및 \(t = \sin x{\kern0pt}{}\) (\(-1 \le t \le 1{\kern0pt}{}\))에, 대한 포물선 및 함수로 변환하여, 극대·최대치과 극소·최소치을 및 구할 수 있다.

닫힌구간, \([0, 2\pi]{\kern0pt}{}\) 영역에서 정의된 및 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 2{\kern0pt}{}\)와 등식관계 \(f(x) = k{\kern0pt}{}\)의 실근을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 닫힌구간, \([0, 2\pi]{\kern0pt}{}\) 영역에서 등식관계 및 \(f(x) = \dfrac{9}{4}{\kern0pt}{}\)의 각각 상이한 및 모든 실근과, 그 합을 및 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 닫힌구간, \([0, 2\pi]{\kern0pt}{}\) 영역에서 등식관계 및 \(f(x) = 2{\kern0pt}{}\)의 각각 상이한 및 모든 실근과, 그 합을 및 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1], \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2{\kern0pt}{}\), 극대·최대치 \(4{\kern0pt}{}\), 극소·최소치 \(0{\kern0pt}{}\) | [2-2] 및 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}{\kern0pt}{}\), 합 \(\pi{\kern0pt}{}\) | [2-3] 및 \(k=0,4{\kern0pt}{}\)인 조건에서 \(1{\kern0pt}{}\)개,, \(k=1{\kern0pt}{}\)인 조건에서 \(3{\kern0pt}{}\)개,, \(0 \lt k \lt 4{\kern0pt}{}\) (\(k \ne 1{\kern0pt}{}\))인, 조건에서 \(2{\kern0pt}{}\)개

🎯 모범 정답 : [2-1] \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2\), 최댓값 \(4\), 최솟값 \(0\) | [2-2] 실근 \(\pi - \arcsin(\sqrt{2}-1)\) 대신 \(f(x) = -\cos^2 x + \sin x + 1\) 정합: 아래 참조 | [2-3] 실근 개수 분류

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x{\kern0pt}{}\)를 대입하여 \(t = \sin x \in [-1, 1]{\kern0pt}{}\)에 대한 포물선 및 함수로 정리한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 \(t = 1{\kern0pt}{}\) (\(\sin x = 1{\kern0pt}{}\))인, 조건에서 극대·최대치 및 \(4{\kern0pt}{}\), \(t = -1{\kern0pt}{}\) (\(\sin x = -1{\kern0pt}{}\))인, 조건에서 극소·최소치 및 \(0{\kern0pt}{}\)이다., \(f(x) = \dfrac{9}{4}{\kern0pt}{}\)인 조건에서 \((t + 1)^2 = \dfrac{9}{4} \implies t = \dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}\) (\(-1 \le t \le 1{\kern0pt}{}\))이기, 때문에 \(\sin x = \dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}\)의 두 실근은 및 \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}{\kern0pt}{}\)이며, 합은 \(\pi{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(t) = (t + 1)^2{\kern0pt}{}\)은 \([-1, 1]{\kern0pt}{}\) 영역에서 치역이 및 \([0, 4]{\kern0pt}{}\)인 일대일 증가함수이기 및 때문에 \(k = 0{\kern0pt}{}\) (\(t = -1{\kern0pt}{}\)) 또는 \(k = 4{\kern0pt}{}\) (\(t = 1{\kern0pt}{}\))인, 조건에서 실근 및 \(1{\kern0pt}{}\)개,, \(k = 1{\kern0pt}{}\) (\(t = 0{\kern0pt}{}\))인, 조건에서 \(x = 0, \pi, 2\pi{\kern0pt}{}\)로 \(3{\kern0pt}{}\)개,, \(0 \lt k \lt 4{\kern0pt}{}\) (\(k \ne 1{\kern0pt}{}\))인, 조건에서 \(2{\kern0pt}{}\)개,, \(k \lt 0{\kern0pt}{}\) 또는 \(k \gt 4{\kern0pt}{}\)인 조건에서 \(0{\kern0pt}{}\)개이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(g(t) = (t+1)^2\) 도출 +3점 / 최댓값 \(4,\;\) 최솟값 \(0\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(t = \dfrac{1}{2}\) 도출 +3점 / 두 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\) 및 합 \(\pi\) 계산 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(t = 0\) (\(k = 1\)) 경계 \(3\)개 판별 +4점 / 전체 \(k\) 구간별 실근 개수 분류 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 치환, 변수 \(t = \sin x{\kern0pt}{}\)가 \(t = 0{\kern0pt}{}\)인 조건에서는 닫힌구간 및 \([0, 2\pi]{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(x = 0, \pi, 2\pi{\kern0pt}{}\)의 \(3{\kern0pt}{}\)개 실근이 대응한다는 및 점을 놓치지, 말아야 합니다.

[대문항 3] (20점) 두 곡선이 및 한 점 영역에서 공통접선을 및 가질 조건과, 둘러싸인 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 탐구 15063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 3차 다항식 및 \(f(x) = x^3 + ax + b{\kern0pt}{}\)와 포물선 및 함수 \(g(x) = 2x^2{\kern0pt}{}\)의 그래프가 및 \(x = 1{\kern0pt}{}\)인 점 영역에서 서로, 접할 때, 및 상수 \(a, b{\kern0pt}{}\)와 둘러싸인 및 넓이를 분석하려, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

주어진 조건을 및 적용해 상수, \(a, b{\kern0pt}{}\)의 수치를 및 각각 구하고,, 접점 \((1, 2){\kern0pt}{}\) 영역에서의 및 공통접선의 등식관계을, 산출하시오.

[문항 3-1] (6점) 주어진 조건을 및 적용해 상수, \(a, b{\kern0pt}{}\)의 수치를 및 각각 구하고,, 점 \((1, 2){\kern0pt}{}\) 영역에서의 및 공통접선의 등식관계을, 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 두 곡선 및 \(y = f(x){\kern0pt}{}\)와 \(y = g(x){\kern0pt}{}\)의 모든 및 교점의 좌표를, 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] \(a = 1,\; b = 0,\; y = 4x - 2{\kern0pt}{}\) | 및 [3-2] 교점, \((0, 0), (1, 2){\kern0pt}{}\) | 및 [3-3] 넓이, \(\dfrac{1}{12}{\kern0pt}{}\)

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a = 1,\; b = 4\)가 아닌 \(f(1)=1+a=2\implies a=1,\; g(1)=b-2=2\implies b=4\)이나 \(f'(1)=4 \ne g'(1)=8\)이므로 \(f(x)=x^3+ax+b,\; g(x)=2x^2\)로 정합화: 아래 참조

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g(1) = 2,\; g'(1) = 4{\kern0pt}{}\)이기 때문에 및 \(f(1) = 1 + a + b = 2{\kern0pt}{}\) 및 \(f'(1) = 3 + a = 4{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 \(a = 1,\; b = 0{\kern0pt}{}\)이다. 그러므로 및 \(f(x) = x^3 + x,\; g(x) = 2x^2{\kern0pt}{}\)이며 또한 및 점 \((1, 2){\kern0pt}{}\) 영역에서의 및 공통접선은 \(y = 4x - 2{\kern0pt}{}\)이다. 교점은 및 \(x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2 = 0{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 \((0, 0){\kern0pt}{}\)과 \((1, 2){\kern0pt}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 문제 조건을 및 \(f(x) = x^3 + ax + b{\kern0pt}{}\)와 \(g(x) = 2x^2{\kern0pt}{}\)이 \(x = 1{\kern0pt}{}\)인 점 영역에서 접할, 때로 두면 및 \(g(1) = 2,\; g'(1) = 4{\kern0pt}{}\)이기 때문에 및 \(1 + a + b = 2{\kern0pt}{}\) 및 \(3 + a = 4 \implies a = 1,\; b = 0{\kern0pt}{}\)이다! 그러므로 및 \(f(x) = x^3 + x,\; g(x) = 2x^2{\kern0pt}{}\)이며 또한 및 점 \((1, 2){\kern0pt}{}\) 영역에서의 및 공통접선은 \(y = 4x - 2{\kern0pt}{}\)이다. 교점은 및 \(x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2 = 0{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 \((0, 0){\kern0pt}{}\)과 \((1, 2){\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘러싸인 넓이는 및 \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{2}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \dfrac{1}{12}{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(a = 1,\; b = 0\) 도출 +3점 / 공통접선 \(y = 4x - 2\) 산출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 차함수 \(x(x - 1)^2 = 0\) 인수분해 +4점 / 교점 \((0, 0), (1, 2)\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 정적분 설정 +3점 / 넓이 \(\dfrac{1}{12}\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 차함수 \(f(x) - g(x) = x(x - 1)^2{\kern0pt}{}\)은 구간 및 \([0, 1]{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 항상 \(0{\kern0pt}{}\) 이상이기 및 때문에 부호, 변화 없이 및 정적분 값이, 곧 넓이가 및 됩니다.

[대문항 4] (20점) 주기성과 및 대칭성을 갖는, 연속인 함수의 및 정적분 추론

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 탐구 15064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속인 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)가 모든 실수, \(x{\kern0pt}{}\)에 관하여 \(f(2a - x) = f(x){\kern0pt}{}\)를 만족시키면 그래프는, 직선 \(x = a{\kern0pt}{}\)에 관하여 대칭이기, 때문에 \(\int_0^{2a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx{\kern0pt}{}\)가 항상 성립한다.

실수 및 전 구간, 영역에서 연속인 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)가 다음 조건을, 성립할 때, 및 정적분의 수치를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.
(조건 및 1) \(0 \le x \le 2{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(f(x) = -x^2 + 2x{\kern0pt}{}\)이다.
(조건 및 2) 모든, 실수 \(x{\kern0pt}{}\)에 관하여 \(f(-x) = f(x){\kern0pt}{}\)이며 및 또한 \(f(x + 4) = f(x){\kern0pt}{}\)이다.

[문항 4-1] (6점) 구간 및 \([-2, 2]{\kern0pt}{}\) 영역에서 함수, \(f(x){\kern0pt}{}\)의 그래프 개형을, 설명하고, 정적분 및 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx{\kern0pt}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 정적분 및 \(\int_0^{20} f(x)\,dx{\kern0pt}{}\)와 \(\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x + 2)f(x)\,dx{\kern0pt}{}\)의 수치를 각각, 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}\)에 관하여 \(\int_0^{2n} f(x)\,dx = 40{\kern0pt}{}\)을 만족시키는 양의, 정수 \(n{\kern0pt}{}\)의 수치를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \dfrac{8}{3}\) | [4-2] \(\int_0^{20} f(x)\,dx = \dfrac{40}{3},\; \int_{-2}^{2} (x^3+3x+2)f(x)\,dx = \dfrac{16}{3}\) | [4-3] \(n = 30\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 우함수 및 성질에 의해, \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 한 주기 길이 및 \(4{\kern0pt}{}\)인 구간 \([-2, 2]{\kern0pt}{}\) 영역에서의 정적분은, \(\dfrac{8}{3}{\kern0pt}{}\)이다. 및 구간 \([0, 20]{\kern0pt}{}\)은 주기 \(4{\kern0pt}{}\)가 \(5{\kern0pt}{}\)번 반복되므로 \(\int_0^{20} f(x)\,dx = 5 \times \dfrac{8}{3} = \dfrac{40}{3}{\kern0pt}{}\)이다. 및 또한 \((x^3 + 3x)f(x){\kern0pt}{}\)는 기함수이기 때문에, \(\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x + 2)f(x)\,dx = 2\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \dfrac{16}{3}{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 및 \([0, 2]{\kern0pt}{}\)와 \([2, 4]{\kern0pt}{}\) 영역에서 모두, 정적분이 \(\dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 길이, \(2{\kern0pt}{}\)인 구간마다 \(\dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}\)씩 증가한다. 그러므로, \(\int_0^{2n} f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}n = 40 \implies n = 30{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(\int_0^2 f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}\) 산출 +3점 / 한 주기 적분 \(\dfrac{8}{3}\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(5\)주기 적분 \(\dfrac{40}{3}\) 계산 +3점 / 기함수 소거 후 \(\dfrac{16}{3}\) 도출 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 반주기 정적분 \(\dfrac{4}{3}n\) 관계식 수립 +4점 / \(n = 30\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(-x) = f(x){\kern0pt}{}\)와 \(f(x + 4) = f(x){\kern0pt}{}\)로부터 및 \(f(4 - x) = f(x){\kern0pt}{}\)가 성립하므로 구간, \([2, 4]{\kern0pt}{}\) 영역에서의 정적분도, 구간 \([0, 2]{\kern0pt}{}\) 영역에서의 정적분, \(\dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}\)과 정확히 같습니다.

[대문항 5] (20점) 독립시행의 확률과, 이항분포의 평균·분산 및 추론

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 15065 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 매 시행, 영역에서 사건 및 \(A{\kern0pt}{}\)가 일어날, 확률이 \(p{\kern0pt}{}\) (\(q = 1 - p{\kern0pt}{}\))로 일정할, 때, \(n{\kern0pt}{}\)번의 독립시행, 영역에서 사건 및 \(A{\kern0pt}{}\)가 일어나는, 횟수 \(X{\kern0pt}{}\)는 이항분포, \(B(n, p){\kern0pt}{}\)를 따르며, \(P(X = r) = {}_{n}\mathrm{C}_{r} p^r q^{n-r},\; E(X) = np,\; V(X) = npq{\kern0pt}{}\)이다.

한 개의, 주사위를 던져 및 \(3{\kern0pt}{}\)의 배수의, 눈이 나오면 및 수직선 위의, 점 \(P{\kern0pt}{}\)를 양의, 방향으로 \(2{\kern0pt}{}\)만큼 이동시키고,, 그 외의 및 눈이 나오면, 음의 방향으로 및 \(1{\kern0pt}{}\)만큼 이동시키는, 시행을 \(18{\kern0pt}{}\)번 반복한다., 원점 영역에서 및 출발한 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 최종, 위치를 확률변량 및 \(Y{\kern0pt}{}\)라고 둘 때, 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(18{\kern0pt}{}\)번의 시행, 중 \(3{\kern0pt}{}\)의 배수의, 눈이 나오는 및 횟수를 확률변량, \(X{\kern0pt}{}\)라고 둘 때, \(Y{\kern0pt}{}\)를 \(X{\kern0pt}{}\)에 대한, 일차식으로 나타내고 및 \(P(Y = 0){\kern0pt}{}\)의 수치를, 조합 기호와 및 거듭제곱으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변량 \(X{\kern0pt}{}\)의 평균, \(E(X){\kern0pt}{}\)와 분산, \(V(X){\kern0pt}{}\)를 구하고,, 이를 이용하여 및 최종 위치, \(Y{\kern0pt}{}\)의 평균, \(E(Y){\kern0pt}{}\)와 분산, \(V(Y){\kern0pt}{}\)를 각각, 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) \(E(Y^2){\kern0pt}{}\)의 수치를, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(Y = 3X - 18,\; P(Y=0) = {}_{18}\mathrm{C}_{6}\left(\dfrac{1}{3}\right)^6\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12}\) | [5-2] \(E(X)=6,\; V(X)=4,\; E(Y)=0,\; V(Y)=36\) | [5-3] \(E(Y^2) = 36\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(3{\kern0pt}{}\)의 배수의, 눈이 나올 및 확률은 \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}{\kern0pt}{}\)이기 때문에, \(X \sim B\left(18, \dfrac{1}{3}\right){\kern0pt}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(Y = 2X - 1(18 - X) = 3X - 18{\kern0pt}{}\)이다. \(Y = 0 \iff X = 6{\kern0pt}{}\)이기 때문에, \(P(Y = 0) = P(X = 6) = {}_{18}\mathrm{C}_{6}\left(\dfrac{1}{3}\right)^6\left(\dfrac{2}{3}\right)^{12}{\kern0pt}{}\)이다. \(E(X) = 18 \times \dfrac{1}{3} = 6,\; V(X) = 18 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = 4{\kern0pt}{}\)이기 때문에, \(E(Y) = 3E(X) - 18 = 0,\; V(Y) = 9V(X) = 36{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(V(Y) = E(Y^2) - \{E(Y)\}^2{\kern0pt}{}\) 영역에서, \(E(Y) = 0{\kern0pt}{}\)이기 때문에, \(E(Y^2) = V(Y) = 36{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(Y = 3X - 18\) 관계식 도출 +3점 / \(P(Y=0)\) 독립시행 확률 표현 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(E(X)=6,\; V(X)=4\) 계산 +3점 / \(E(Y)=0,\; V(Y)=36\) 도출 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(E(Y^2) = V(Y) + \{E(Y)\}^2\) 공식 적용 +4점 / \(E(Y^2) = 36\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(18{\kern0pt}{}\)번 중 성공 횟수가 및 \(X{\kern0pt}{}\)이면 실패, 횟수는 \(18 - X{\kern0pt}{}\)라는 종속, 관계를 이용해 및 \(Y = 3X - 18{\kern0pt}{}\) 단일, 확률변량로 변환하는 및 것이 핵심입니다.