2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 6회 문제집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 6회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (6회차))

[대문항 1] (20점) 로그부등식의 해집합과, 정수해의 개수 및 및 밑 조건 추론

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 15061 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 양의 실수, \(x{\kern0pt}{}\)에 대한, 로그부등식 \(\log_2(x - a) + \log_2(x - b) \le c{\kern0pt}{}\)를 풀 때는 먼저 및 진수 조건, \(x \gt a,\; x \gt b{\kern0pt}{}\)를 확정한, 뒤, 밑 \(2 \gt 1{\kern0pt}{}\)의 증가, 성질을 이용하여 및 \((x - a)(x - b) \le 2^c{\kern0pt}{}\)의 해집합과, 교집합을 구한다.

실수 \(x{\kern0pt}{}\)에 대한, 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3{\kern0pt}{}\)과參數 \(k{\kern0pt}{}\)를 포함한, 연립 로그부등식의 및 정수해를 분석하고자, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 주어진 조건을, 적용해 진수 및 조건을 구하고,, 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le 3{\kern0pt}{}\)의 해집합과, 이를 만족시키는 및 모든 정수, \(x{\kern0pt}{}\)의 합을, 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 양의 실수, \(x{\kern0pt}{}\)에 대한, 부등식 \((\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 4 \le 0{\kern0pt}{}\)과 위 부등식을 동시에 및 만족시키는 실수, \(x{\kern0pt}{}\)의 범위를, 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) 양의 정수, \(m{\kern0pt}{}\)에 관하여, 부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) \le \log_2 m{\kern0pt}{}\)을 만족시키는, 정수 \(x{\kern0pt}{}\)의 개수가, 정확히 \(3{\kern0pt}{}\)개가 되도록, 하는 양의 및 정수 \(m{\kern0pt}{}\)의 값의, 범위를 산출하시오.

[중앙대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제6회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의, 치환을 이용한 및 최대·최소와 등식관계의, 실근의 개수

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 15062 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 삼각함수의, 기본 항등식 및 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1{\kern0pt}{}\)을 이용하면 \(y = a\cos^2 x + b\sin x + c{\kern0pt}{}\) 꼴의 함수는 및 \(t = \sin x{\kern0pt}{}\) (\(-1 \le t \le 1{\kern0pt}{}\))에, 대한 포물선 및 함수로 변환하여, 극대·최대치과 극소·최소치을 및 구할 수 있다.

닫힌구간, \([0, 2\pi]{\kern0pt}{}\) 영역에서 정의된 및 함수 \(f(x) = -\cos^2 x + 2\sin x + 2{\kern0pt}{}\)와 등식관계 \(f(x) = k{\kern0pt}{}\)의 실근을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 닫힌구간, \([0, 2\pi]{\kern0pt}{}\) 영역에서 등식관계 및 \(f(x) = \dfrac{9}{4}{\kern0pt}{}\)의 각각 상이한 및 모든 실근과, 그 합을 및 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 닫힌구간, \([0, 2\pi]{\kern0pt}{}\) 영역에서 등식관계 및 \(f(x) = 2{\kern0pt}{}\)의 각각 상이한 및 모든 실근과, 그 합을 및 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1], \(g(t) = t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2{\kern0pt}{}\), 극대·최대치 \(4{\kern0pt}{}\), 극소·최소치 \(0{\kern0pt}{}\) | [2-2] 및 실근 \(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}{\kern0pt}{}\), 합 \(\pi{\kern0pt}{}\) | [2-3] 및 \(k=0,4{\kern0pt}{}\)인 조건에서 \(1{\kern0pt}{}\)개,, \(k=1{\kern0pt}{}\)인 조건에서 \(3{\kern0pt}{}\)개,, \(0 \lt k \lt 4{\kern0pt}{}\) (\(k \ne 1{\kern0pt}{}\))인, 조건에서 \(2{\kern0pt}{}\)개

[중앙대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제6회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 두 곡선이 및 한 점 영역에서 공통접선을 및 가질 조건과, 둘러싸인 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 탐구 15063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 3차 다항식 및 \(f(x) = x^3 + ax + b{\kern0pt}{}\)와 포물선 및 함수 \(g(x) = 2x^2{\kern0pt}{}\)의 그래프가 및 \(x = 1{\kern0pt}{}\)인 점 영역에서 서로, 접할 때, 및 상수 \(a, b{\kern0pt}{}\)와 둘러싸인 및 넓이를 분석하려, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

주어진 조건을 및 적용해 상수, \(a, b{\kern0pt}{}\)의 수치를 및 각각 구하고,, 접점 \((1, 2){\kern0pt}{}\) 영역에서의 및 공통접선의 등식관계을, 산출하시오.

[문항 3-1] (6점) 주어진 조건을 및 적용해 상수, \(a, b{\kern0pt}{}\)의 수치를 및 각각 구하고,, 점 \((1, 2){\kern0pt}{}\) 영역에서의 및 공통접선의 등식관계을, 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 두 곡선 및 \(y = f(x){\kern0pt}{}\)와 \(y = g(x){\kern0pt}{}\)의 모든 및 교점의 좌표를, 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] \(a = 1,\; b = 0,\; y = 4x - 2{\kern0pt}{}\) | 및 [3-2] 교점, \((0, 0), (1, 2){\kern0pt}{}\) | 및 [3-3] 넓이, \(\dfrac{1}{12}{\kern0pt}{}\)

[중앙대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제6회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 주기성과 및 대칭성을 갖는, 연속인 함수의 및 정적분 추론

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.13 탐구 15064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속인 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)가 모든 실수, \(x{\kern0pt}{}\)에 관하여 \(f(2a - x) = f(x){\kern0pt}{}\)를 만족시키면 그래프는, 직선 \(x = a{\kern0pt}{}\)에 관하여 대칭이기, 때문에 \(\int_0^{2a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx{\kern0pt}{}\)가 항상 성립한다.

실수 및 전 구간, 영역에서 연속인 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}\)가 다음 조건을, 성립할 때, 및 정적분의 수치를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.
(조건 및 1) \(0 \le x \le 2{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(f(x) = -x^2 + 2x{\kern0pt}{}\)이다.
(조건 및 2) 모든, 실수 \(x{\kern0pt}{}\)에 관하여 \(f(-x) = f(x){\kern0pt}{}\)이며 및 또한 \(f(x + 4) = f(x){\kern0pt}{}\)이다.

[문항 4-1] (6점) 구간 및 \([-2, 2]{\kern0pt}{}\) 영역에서 함수, \(f(x){\kern0pt}{}\)의 그래프 개형을, 설명하고, 정적분 및 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx{\kern0pt}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 정적분 및 \(\int_0^{20} f(x)\,dx{\kern0pt}{}\)와 \(\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x + 2)f(x)\,dx{\kern0pt}{}\)의 수치를 각각, 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}\)에 관하여 \(\int_0^{2n} f(x)\,dx = 40{\kern0pt}{}\)을 만족시키는 양의, 정수 \(n{\kern0pt}{}\)의 수치를 산출하시오.

[중앙대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제6회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 독립시행의 확률과, 이항분포의 평균·분산 및 추론

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 15065 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 매 시행, 영역에서 사건 및 \(A{\kern0pt}{}\)가 일어날, 확률이 \(p{\kern0pt}{}\) (\(q = 1 - p{\kern0pt}{}\))로 일정할, 때, \(n{\kern0pt}{}\)번의 독립시행, 영역에서 사건 및 \(A{\kern0pt}{}\)가 일어나는, 횟수 \(X{\kern0pt}{}\)는 이항분포, \(B(n, p){\kern0pt}{}\)를 따르며, \(P(X = r) = {}_{n}\mathrm{C}_{r} p^r q^{n-r},\; E(X) = np,\; V(X) = npq{\kern0pt}{}\)이다.

한 개의, 주사위를 던져 및 \(3{\kern0pt}{}\)의 배수의, 눈이 나오면 및 수직선 위의, 점 \(P{\kern0pt}{}\)를 양의, 방향으로 \(2{\kern0pt}{}\)만큼 이동시키고,, 그 외의 및 눈이 나오면, 음의 방향으로 및 \(1{\kern0pt}{}\)만큼 이동시키는, 시행을 \(18{\kern0pt}{}\)번 반복한다., 원점 영역에서 및 출발한 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 최종, 위치를 확률변량 및 \(Y{\kern0pt}{}\)라고 둘 때, 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(18{\kern0pt}{}\)번의 시행, 중 \(3{\kern0pt}{}\)의 배수의, 눈이 나오는 및 횟수를 확률변량, \(X{\kern0pt}{}\)라고 둘 때, \(Y{\kern0pt}{}\)를 \(X{\kern0pt}{}\)에 대한, 일차식으로 나타내고 및 \(P(Y = 0){\kern0pt}{}\)의 수치를, 조합 기호와 및 거듭제곱으로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변량 \(X{\kern0pt}{}\)의 평균, \(E(X){\kern0pt}{}\)와 분산, \(V(X){\kern0pt}{}\)를 구하고,, 이를 이용하여 및 최종 위치, \(Y{\kern0pt}{}\)의 평균, \(E(Y){\kern0pt}{}\)와 분산, \(V(Y){\kern0pt}{}\)를 각각, 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) \(E(Y^2){\kern0pt}{}\)의 수치를, 산출하시오.

[중앙대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제6회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.