2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 5회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (5회차))

[대문항 1] (20점) 수학적 및 귀납법을 이용한, 급수 부등식의 및 증명과 부분합, 추론

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 15051 변형 | 성취기준: 12대수03-06]

<제시문 (가)> 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한 명제, \(P(n){\kern0pt}{}{}{}\)이 모든 양의, 정수 \(n \ge n_0{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 성립함을, 수학적 귀납법으로 및 증명하려면 (i), \(n = n_0{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 성립함을, 보이며 또한, 및 (ii) \(n = k{\kern0pt}{}{}{}\) (\(k \ge n_0{\kern0pt}{}{}{}\))인 및 조건에서 항상, 성립한다고 가정한 및 후 \(n = k + 1{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 성립함을, 연역적으로 보인다.

양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}{\kern0pt}{}{}{}\)라고 및 둘 때,, 부등식 \(2\sqrt{n + 1} - 2 \lt S_n \le 2\sqrt{n} - 1{\kern0pt}{}{}{}\)을 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 임의의 및 양의 정수, \(k{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 부등식, \(2(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) \lt \dfrac{1}{\sqrt{k}}{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립함을 유리화를, 이용하여 증명하시오.

[문항 1-2] (7점) 모든 및 양의 정수, \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(S_n \le 2\sqrt{n} - 1{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립함을 수학적, 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 부등식을 이용하여, \(S_{99}{\kern0pt}{}{}{}\)의 정수부분을 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \lt \dfrac{2}{2\sqrt{k}} = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\) | [1-2] 귀납법 증명 완결 | [1-3] 정수부분 \(18\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}{\kern0pt}{}{}{}\)로 유리화하여 분모의, 크기를 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\sqrt{k+1} \gt \sqrt{k}{\kern0pt}{}{}{}\)이기 및 때문에 \(\dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \lt \dfrac{2}{2\sqrt{k}} = \dfrac{1}{\sqrt{k}}{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 및 \(n = 1{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 \(S_1 = 1 \le 2\sqrt{1} - 1 = 1{\kern0pt}{}{}{}\)로 항상 성립한다., \(n = k{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 항상, 성립한다고 가정하면 및 \(S_{k+1} = S_k + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \le 2\sqrt{k} - 1 + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 및 또한, \((2\sqrt{k+1}-1) - \left(2\sqrt{k}-1+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right) = \dfrac{2(k+1) - 2\sqrt{k(k+1)} - 1}{\sqrt{k+1}} = \dfrac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^2}{\sqrt{k+1}} \gt 0{\kern0pt}{}{}{}\)이기 및 때문에 \(n = k + 1{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서도 항상, 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(n = 99{\kern0pt}{}{}{}\)를 양쪽 부등식에, 대입하면 \(2\sqrt{100} - 2 = 18 \lt S_{99} \le 2\sqrt{99} - 1 \lt 2\sqrt{100} - 1 = 19{\kern0pt}{}{}{}\)이기 및 때문에 \(18 \lt S_{99} \lt 19{\kern0pt}{}{}{}\)가 되어 정수부분은, \(18{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 유리화 변형 +3점 / 분모 대소 비교 증명 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 초기조건 \(n=1\) 확인 +2점 / 귀납 가정 및 완전제곱 차 양수 증명 +5점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 하한 \(18\) 및 상한 \(19\) 산출 +4점 / 정수부분 \(18\) 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 귀납 및 단계 영역에서, 목표 우변 및 \(2\sqrt{k+1} - 1{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 귀납, 상한 \(2\sqrt{k} - 1 + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}{\kern0pt}{}{}{}\)을 뺀 식이, \(\dfrac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^2}{\sqrt{k+1}} \gt 0{\kern0pt}{}{}{}\)으로 및 정리됨을 보이면, 감점이 전혀 및 없습니다.

[대문항 2] (20점) 원에 내접하는, 사각형의 코사인법칙과 및 대각선 분할, 넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 15052 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 원에 내접하는, 사각형 \(ABCD{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서, 마주 보는 및 두 내각의, 합은 \(\pi{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에, \(\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A{\kern0pt}{}{}{}\)가 항상, 성립한다.

원에 내접하는, 사각형 \(ABCD{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서, \(\overline{AB} = 3,\; \overline{BC} = 5,\; \overline{CD} = 3,\; \overline{DA} = 7{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서,, 대각선의 길이와 및 사각형의 넓이를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 대각선 \(BD{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이를, \(x{\kern0pt}{}{}{}\)라고 둘 때, 두 삼각형 \(ABD{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(CBD{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서, 각각 코사인법칙을 및 적용하여 \(\cos A{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(x^2{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를, 각각 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 \(ABCD{\kern0pt}{}{}{}\)의 넓이, \(S{\kern0pt}{}{}{}\)와 외접원의, 반지름 \(R{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를, 각각 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 대각선, \(AC{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(BD{\kern0pt}{}{}{}\)의 교점을, \(P{\kern0pt}{}{}{}\)라고 둘 때, 선분 및 \(BP{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(PD{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이의, 비 \(\overline{BP} : \overline{PD}{\kern0pt}{}{}{}\)를 가장, 간단한 양의 및 정수의 비로, 나타내시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44\) | [2-2] \(S = 12\sqrt{2},\; R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\) | [2-3] \(5 : 7\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\triangle ABD{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(\triangle CBD{\kern0pt}{}{}{}\)에 코사인법칙을, 적용하고 \(\cos C = -\cos A{\kern0pt}{}{}{}\)를 연립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x^2 = 3^2 + 7^2 - 42\cos A = 58 - 42\cos A{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한,, \(x^2 = 5^2 + 3^2 + 30\cos A = 34 + 30\cos A{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에, \(72\cos A = 24 \implies \cos A = \dfrac{1}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 \(x^2 = 44{\kern0pt}{}{}{}\)이다. \(\sin A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에, \(S = \dfrac{1}{2}(3\cdot 7 + 5\cdot 3)\sin A = 18 \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 12\sqrt{2}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한,, \(2R = \dfrac{2\sqrt{11}}{2\sqrt{2}/3} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \implies R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 대각선 \(AC{\kern0pt}{}{}{}\)를 공통, 밑변으로 볼 때, \(\overline{BP} : \overline{PD} = \operatorname{Area}(\triangle ABC) : \operatorname{Area}(\triangle ADC) = (\overline{AB}\cdot\overline{BC}\sin B) : (\overline{AD}\cdot\overline{CD}\sin D) = 15 : 21 = 5 : 7{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 양쪽 삼각형 코사인법칙 등식 수립 +3점 / \(\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = 12\sqrt{2}\) 산출 +4점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\) 계산 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 넓이 비 \(\triangle ABC : \triangle ADC\) 적용 +4점 / \(5 : 7\) 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원에 내접하는, 사각형 영역에서 및 \(\angle B + \angle D = \pi{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에, \(\sin B = \sin D{\kern0pt}{}{}{}\)가 성립하여, 넓이 비가 및 이웃 변의, 곱의 비와 및 일치합니다.

[대문항 3] (20점) 구간별로, 정의된 함수의 및 미분가능성과 접선의, 등식관계

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 15053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 함수, \(f(x){\kern0pt}{}{}{}\)가 \(x = a{\kern0pt}{}{}{}\)를 경계로 구간별로 및 다항함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\) (\(x \lt a{\kern0pt}{}{}{}\))와, \(h(x){\kern0pt}{}{}{}\) (\(x \ge a{\kern0pt}{}{}{}\))로, 정의될 때, 및 \(x = a{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 미분가능할 및 필요충분조건은 연속, 조건 \(g(a) = h(a){\kern0pt}{}{}{}\)와 좌·우미분계수 일치 및 조건 \(g'(a) = h'(a){\kern0pt}{}{}{}\)가 동시에 성립하는 및 것이다.

실수, 전 구간 및 영역에서 정의된, 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ cx^2 + 4x + 1 & (x \ge 1) \end{cases}{\kern0pt}{}{}{}\)가 모든 실수 및 \(x{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 미분가능하고 및 \(f(0) = -2{\kern0pt}{}{}{}\)를 성립할 때, 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 상수, \(b{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 정하고, 및 \(x = 1{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 연속 및 조건과 미분가능, 조건을 이용하여 및 상수 \(a, c{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 각각 및 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선, \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\) 위의 점 \((-1, f(-1)){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 접선 및 \(l_1{\kern0pt}{}{}{}\)과 점 \((2, f(2)){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 접선 및 \(l_2{\kern0pt}{}{}{}\)의 등식관계을 각각 및 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 접선 \(l_1, l_2{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(y{\kern0pt}{}{}{}\)축으로, 둘러싸인 삼각형의 및 넓이를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a = 11,\; b = -2,\; c = 5\) | [3-2] \(l_1 : y = 14x,\; l_2 : y = 24x - 19\) | [3-3] \(\dfrac{361}{20}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(0) = b = -2{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한 \(x = 1{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 좌·우 및 함수값 및 도함수수치를 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 연속, 조건 \(1 + a - 2 = c + 5 \implies a - c = 6{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한, 미분 및 조건 \(3 + a = 2c + 4 \implies a - 2c = 1{\kern0pt}{}{}{}\)이다., 두 식을 및 연립하면 \(c = 5,\; a = 11{\kern0pt}{}{}{}\)이다., 이때 \(f(-1) = -14,\; f'(-1) = 14 \implies l_1 : y = 14x{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한, \(f(2) = 29,\; f'(2) = 24 \implies l_2 : y = 24x - 19{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(l_1 : y = 14x{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(l_2 : y = 24x - 19{\kern0pt}{}{}{}\)의 교점은 \(10x = 19 \implies x = \dfrac{19}{10}{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한 \(y{\kern0pt}{}{}{}\)축 절편 차는 및 \(19{\kern0pt}{}{}{}\)이기, 때문에 삼각형 및 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 19 \times \dfrac{19}{10} = \dfrac{361}{20}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(b = -2\) 및 연립방정식 수립 +3점 / \(a = 11,\; c = 5\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(l_1 : y = 14x\) 유도 +3점 / \(l_2 : y = 24x - 19\) 산출 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 두 접선 교점 \(x = \dfrac{19}{10}\) 계산 +4점 / 넓이 \(\dfrac{361}{20}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 구간별, 함수 영역에서 및 접점을 대입할, 때 \(x = -1 \lt 1{\kern0pt}{}{}{}\)과 \(x = 2 \ge 1{\kern0pt}{}{}{}\)이 속하는 구간의 및 식을 각각, 구분하여 미분해야 및 합니다.

[대문항 4] (20점) 우함수·기함수 대칭성과 및 주기 조건을, 만족시키는 함수의 및 정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 연속인 함수에, 관하여 우함수는 및 \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\), 기함수는 및 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0{\kern0pt}{}{}{}\)을 만족시키며, 및 모든 실수, \(x{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 \(f(x + p) = f(x){\kern0pt}{}{}{}\)이면 길이가 및 \(p{\kern0pt}{}{}{}\)인 임의의 및 구간 영역에서의, 정적분 값은 및 일정하다.

실수 전 구간 영역에서, 연속인 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}{}\)가 다음 및 조건을 성립할, 때, 정적분의 및 수치를 분석하려, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.
(조건 1) 및 \(-1 \le x \le 1{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 \(f(x) = 3x^2 + 2x + 1{\kern0pt}{}{}{}\)이다.
(조건 2) 및 모든 실수, \(x{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 \(f(x + 2) = f(x) + 4{\kern0pt}{}{}{}\)가 항상 및 성립한다.

[문항 4-1] (6점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 양의 정수 및 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 정적분 \(I_k = \int_{2k-1}^{2k+1} f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\)를 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한 및 식으로 나타내시오.

[문항 4-3] (7점) 정적분 \(\int_{-1}^{19} f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 4,\; \int_{-1}^{1} x f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}\) | [4-2] \(I_k = 8k + 4\) | [4-3] \(400\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 대칭구간 \([-1, 1]{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 홀수차 항과, 짝수차 항을 및 분리하여 계산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\int_{-1}^{1} (3x^2 + 2x + 1)\,dx = 2\int_0^1 (3x^2 + 1)\,dx = 2[x^3 + x]_0^1 = 4{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, 및 \(\int_{-1}^{1} (3x^3 + 2x^2 + x)\,dx = 2\int_0^1 2x^2\,dx = \dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 조건 및 2를 반복, 적용하면 \(x \in [2k-1, 2k+1]{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 \(x = t + 2k{\kern0pt}{}{}{}\) (\(t \in [-1, 1]{\kern0pt}{}{}{}\))로 놓을 및 때 \(f(t + 2k) = f(t) + 4k{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에 및 \(I_k = \int_{-1}^{1} (f(t) + 4k)\,dt = 4 + 8k{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\int_{-1}^{19} f(x)\,dx = \sum_{k=0}^{9} I_k = \sum_{k=0}^{9} (8k + 4) = 8 \cdot \dfrac{9 \times 10}{2} + 4 \times 10 = 360 + 40 = 400{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 우함수·기함수 분리 적분 +3점 / \(4\) 및 \(\dfrac{4}{3}\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 평행이동 치환 \(f(t+2k) = f(t) + 4k\) 유도 +4점 / \(I_k = 8k + 4\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(10\)개 구간 분할 합산 +4점 / \(400\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 구간 \([-1, 19]{\kern0pt}{}{}{}\)는 길이 및 \(2{\kern0pt}{}{}{}\)인 구간 및 \(10{\kern0pt}{}{}{}\)개(\(k = 0, 1, \dots, 9{\kern0pt}{}{}{}\))로 분할되므로 및 항의 개수가, \(10{\kern0pt}{}{}{}\)개임을 정확히 및 확인해야 합니다.

[대문항 5] (20점) 조건부확률과 및 전체확률의 법칙을, 이용한 사후확률 및 추론

확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 15055 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

<제시문 (가)> 표본공간 및 \(S{\kern0pt}{}{}{}\)의 분할 \(A, A^c{\kern0pt}{}{}{}\)와 사건 \(B{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(A^c)P(B \mid A^c){\kern0pt}{}{}{}\)가 성립하며, 사건, \(B{\kern0pt}{}{}{}\)가 일어났을 때 사건 \(A{\kern0pt}{}{}{}\)가 일어났을 조건부확률은, \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

어느 및 반도체 공장의, 두 생산 및 라인 \(A, B{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 전체, 웨이퍼의 각각 및 \(40\%, 60\%{\kern0pt}{}{}{}\)를 생산한다. 라인, \(A{\kern0pt}{}{}{}\)와 라인 \(B{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 생산된, 웨이퍼가 불량품일 및 확률은 각각, \(3\%, 2\%{\kern0pt}{}{}{}\)라고 및 둘 때,, 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 이 공장 영역에서, 생산된 웨이퍼 및 중 영역에서, 임의로 택한 및 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개가 및 불량품일 확률, \(P(D){\kern0pt}{}{}{}\)를 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 임의로 및 택한 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개의 및 웨이퍼가 불량품이었을, 때, 이 웨이퍼가 라인, \(A{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 생산되었을, 조건부확률 \(P(A \mid D){\kern0pt}{}{}{}\)를 기약분수로 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 불량품 및 검수 장치가, 실제 불량품을 및 불량으로 판정할, 확률이 \(90\%{\kern0pt}{}{}{}\)이며 및 또한, 정상, 제품을 불량으로 및 오판정할 확률이, \(1\%{\kern0pt}{}{}{}\)라 하자. 임의로, 택한 웨이퍼 및 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개가 및 검수 장치, 영역에서 불량 및 판정을 받았을, 때 실제로 및 불량품일 확률을, 기약분수로 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(P(D) = \dfrac{3}{125} = 0.024\) | [5-2] \(P(A \mid D) = \dfrac{1}{2}\) | [5-3] \(\dfrac{135}{184}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(P(A) = 0.4,\; P(B) = 0.6,\; P(D \mid A) = 0.03,\; P(D \mid B) = 0.02{\kern0pt}{}{}{}\)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(P(A \cap D) = 0.4 \times 0.03 = 0.012{\kern0pt}{}{}{}\)이며 및 또한, \(P(B \cap D) = 0.6 \times 0.02 = 0.012{\kern0pt}{}{}{}\)이기 및 때문에 \(P(D) = 0.012 + 0.012 = 0.024 = \dfrac{3}{125}{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 및 그러므로 \(P(A \mid D) = \dfrac{0.012}{0.024} = \dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 불량 및 판정 사건을, \(E{\kern0pt}{}{}{}\)라 하면 \(P(D \cap E) = 0.024 \times 0.9 = 0.0216{\kern0pt}{}{}{}\)이며 및 또한, \(P(D^c \cap E) = 0.976 \times 0.01 = 0.00976{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 및 그러므로 \(P(D \mid E) = \dfrac{0.0216}{0.0216 + 0.00976} = \dfrac{2160}{3136} = \dfrac{135}{196}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(P(A\cap D)=0.012,\; P(B\cap D)=0.012\) 계산 +3점 / \(P(D) = 0.024\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 조건부확률 공식 대입 +3점 / \(P(A \mid D) = \dfrac{1}{2}\) 산출 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 진양성 \(0.0216\) 및 위양성 \(0.00976\) 계산 +4점 / 기약분수 \(\dfrac{135}{196}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(2160 / 3136{\kern0pt}{}{}{}\)을 \(16{\kern0pt}{}{}{}\)으로 및 약분하면 분자는, \(135{\kern0pt}{}{}{}\), 분모는 \(196{\kern0pt}{}{}{}\)이 되므로 소수점, 자릿수를 정수로 및 통일한 뒤 약분하는 것이 및 안전합니다.