2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 5회 문제집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (5회차))

[대문항 1] (20점) 수학적 및 귀납법을 이용한, 급수 부등식의 및 증명과 부분합, 추론

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 15051 변형 | 성취기준: 12대수03-06]

<제시문 (가)> 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한 명제, \(P(n){\kern0pt}{}{}{}\)이 모든 양의, 정수 \(n \ge n_0{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 성립함을, 수학적 귀납법으로 및 증명하려면 (i), \(n = n_0{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 성립함을, 보이며 또한, 및 (ii) \(n = k{\kern0pt}{}{}{}\) (\(k \ge n_0{\kern0pt}{}{}{}\))인 및 조건에서 항상, 성립한다고 가정한 및 후 \(n = k + 1{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 성립함을, 연역적으로 보인다.

양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}{\kern0pt}{}{}{}\)라고 및 둘 때,, 부등식 \(2\sqrt{n + 1} - 2 \lt S_n \le 2\sqrt{n} - 1{\kern0pt}{}{}{}\)을 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 임의의 및 양의 정수, \(k{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 부등식, \(2(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) \lt \dfrac{1}{\sqrt{k}}{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립함을 유리화를, 이용하여 증명하시오.

[문항 1-2] (7점) 모든 및 양의 정수, \(n{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(S_n \le 2\sqrt{n} - 1{\kern0pt}{}{}{}\)이 성립함을 수학적, 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 부등식을 이용하여, \(S_{99}{\kern0pt}{}{}{}\)의 정수부분을 산출하시오.

[중앙대학교 제5회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제5회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 원에 내접하는, 사각형의 코사인법칙과 및 대각선 분할, 넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 15052 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 원에 내접하는, 사각형 \(ABCD{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서, 마주 보는 및 두 내각의, 합은 \(\pi{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에, \(\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A{\kern0pt}{}{}{}\)가 항상, 성립한다.

원에 내접하는, 사각형 \(ABCD{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서, \(\overline{AB} = 3,\; \overline{BC} = 5,\; \overline{CD} = 3,\; \overline{DA} = 7{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서,, 대각선의 길이와 및 사각형의 넓이를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 대각선 \(BD{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이를, \(x{\kern0pt}{}{}{}\)라고 둘 때, 두 삼각형 \(ABD{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(CBD{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서, 각각 코사인법칙을 및 적용하여 \(\cos A{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(x^2{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를, 각각 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 \(ABCD{\kern0pt}{}{}{}\)의 넓이, \(S{\kern0pt}{}{}{}\)와 외접원의, 반지름 \(R{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를, 각각 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 대각선, \(AC{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(BD{\kern0pt}{}{}{}\)의 교점을, \(P{\kern0pt}{}{}{}\)라고 둘 때, 선분 및 \(BP{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(PD{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이의, 비 \(\overline{BP} : \overline{PD}{\kern0pt}{}{}{}\)를 가장, 간단한 양의 및 정수의 비로, 나타내시오.

[중앙대학교 제5회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제5회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 구간별로, 정의된 함수의 및 미분가능성과 접선의, 등식관계

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 15053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 함수, \(f(x){\kern0pt}{}{}{}\)가 \(x = a{\kern0pt}{}{}{}\)를 경계로 구간별로 및 다항함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}{}\) (\(x \lt a{\kern0pt}{}{}{}\))와, \(h(x){\kern0pt}{}{}{}\) (\(x \ge a{\kern0pt}{}{}{}\))로, 정의될 때, 및 \(x = a{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 미분가능할 및 필요충분조건은 연속, 조건 \(g(a) = h(a){\kern0pt}{}{}{}\)와 좌·우미분계수 일치 및 조건 \(g'(a) = h'(a){\kern0pt}{}{}{}\)가 동시에 성립하는 및 것이다.

실수, 전 구간 및 영역에서 정의된, 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ cx^2 + 4x + 1 & (x \ge 1) \end{cases}{\kern0pt}{}{}{}\)가 모든 실수 및 \(x{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 미분가능하고 및 \(f(0) = -2{\kern0pt}{}{}{}\)를 성립할 때, 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 상수, \(b{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 정하고, 및 \(x = 1{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 연속 및 조건과 미분가능, 조건을 이용하여 및 상수 \(a, c{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 각각 및 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선, \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\) 위의 점 \((-1, f(-1)){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 접선 및 \(l_1{\kern0pt}{}{}{}\)과 점 \((2, f(2)){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 접선 및 \(l_2{\kern0pt}{}{}{}\)의 등식관계을 각각 및 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 접선 \(l_1, l_2{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(y{\kern0pt}{}{}{}\)축으로, 둘러싸인 삼각형의 및 넓이를 산출하시오.

[중앙대학교 제5회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제5회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 우함수·기함수 대칭성과 및 주기 조건을, 만족시키는 함수의 및 정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 15054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 연속인 함수에, 관하여 우함수는 및 \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\), 기함수는 및 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0{\kern0pt}{}{}{}\)을 만족시키며, 및 모든 실수, \(x{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 \(f(x + p) = f(x){\kern0pt}{}{}{}\)이면 길이가 및 \(p{\kern0pt}{}{}{}\)인 임의의 및 구간 영역에서의, 정적분 값은 및 일정하다.

실수 전 구간 영역에서, 연속인 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}{}\)가 다음 및 조건을 성립할, 때, 정적분의 및 수치를 분석하려, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.
(조건 1) 및 \(-1 \le x \le 1{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 \(f(x) = 3x^2 + 2x + 1{\kern0pt}{}{}{}\)이다.
(조건 2) 및 모든 실수, \(x{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 \(f(x + 2) = f(x) + 4{\kern0pt}{}{}{}\)가 항상 및 성립한다.

[문항 4-1] (6점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 양의 정수 및 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 정적분 \(I_k = \int_{2k-1}^{2k+1} f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\)를 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한 및 식으로 나타내시오.

[문항 4-3] (7점) 정적분 \(\int_{-1}^{19} f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

[중앙대학교 제5회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제5회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 조건부확률과 및 전체확률의 법칙을, 이용한 사후확률 및 추론

확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 15055 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

<제시문 (가)> 표본공간 및 \(S{\kern0pt}{}{}{}\)의 분할 \(A, A^c{\kern0pt}{}{}{}\)와 사건 \(B{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(A^c)P(B \mid A^c){\kern0pt}{}{}{}\)가 성립하며, 사건, \(B{\kern0pt}{}{}{}\)가 일어났을 때 사건 \(A{\kern0pt}{}{}{}\)가 일어났을 조건부확률은, \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

어느 및 반도체 공장의, 두 생산 및 라인 \(A, B{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 전체, 웨이퍼의 각각 및 \(40\%, 60\%{\kern0pt}{}{}{}\)를 생산한다. 라인, \(A{\kern0pt}{}{}{}\)와 라인 \(B{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 생산된, 웨이퍼가 불량품일 및 확률은 각각, \(3\%, 2\%{\kern0pt}{}{}{}\)라고 및 둘 때,, 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 이 공장 영역에서, 생산된 웨이퍼 및 중 영역에서, 임의로 택한 및 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개가 및 불량품일 확률, \(P(D){\kern0pt}{}{}{}\)를 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 임의로 및 택한 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개의 및 웨이퍼가 불량품이었을, 때, 이 웨이퍼가 라인, \(A{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 생산되었을, 조건부확률 \(P(A \mid D){\kern0pt}{}{}{}\)를 기약분수로 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 불량품 및 검수 장치가, 실제 불량품을 및 불량으로 판정할, 확률이 \(90\%{\kern0pt}{}{}{}\)이며 및 또한, 정상, 제품을 불량으로 및 오판정할 확률이, \(1\%{\kern0pt}{}{}{}\)라 하자. 임의로, 택한 웨이퍼 및 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)개가 및 검수 장치, 영역에서 불량 및 판정을 받았을, 때 실제로 및 불량품일 확률을, 기약분수로 산출하시오.

[중앙대학교 제5회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제5회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.