2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 4회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 4회 해설집 | 4회 : 비선형 분수 및 점화식 · 다항함수의 및 함수등식 · 무한대 극한과, 영인자 · 4차, 다항식가 극댓수 · 포물선의 초점·준선 및

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (4회차))

[대문항 1] (20점) 비선형 분수 및 점화식의 역수, 치환과 부분분수 및 급수의 합

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15041 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_1 \gt 0{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1}{\kern0pt}{}{}\) (\(p \gt 0{\kern0pt}{}{}\))을 성립할 및 때, 양변의, 역수를 취하면 및 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = p{\kern0pt}{}{}\)가 되어 및 항열 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}{\kern0pt}{}{}\)은 공차가 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)인 등차항열을 및 이룬다.

항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_1 = \dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 모든 양의, 정수 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}{\kern0pt}{}{}\)을 성립할 및 때, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 주어진 조건을 및 적용해 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}{\kern0pt}{}{}\)으로 놓을 및 때 항열, \(\{b_n\}{\kern0pt}{}{}\)의 일반항과 및 \(a_n{\kern0pt}{}{}\)의 일반항을 및 각각 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 양의 정수 및 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} a_n a_{n+1}{\kern0pt}{}{}\)을 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 대한 및 기약분수 식으로, 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 \(S_m \gt \dfrac{15}{97}{\kern0pt}{}{}\)를 만족시키는 및 최소의 양의, 정수 \(m{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(b_n = 3n - 1,\; a_n = \dfrac{1}{3n - 1}\) | [1-2] \(S_m = \dfrac{m}{2(3m + 2)}\) | [1-3] \(m = 16\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{3a_n + 1}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 3{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 \(b_{n+1} - b_n = 3{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 \(b_1 = 2{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(b_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 \(a_n = \dfrac{1}{3n - 1}{\kern0pt}{}{}\)이다. \(a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{(3n - 1)(3n + 2)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n - 1} - \dfrac{1}{3n + 2}\right){\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 \(S_m = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3m + 2}\right) = \dfrac{m}{2(3m + 2)}{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\dfrac{m}{6m + 4} \gt \dfrac{15}{97} \iff 97m \gt 90m + 60 \iff 7m \gt 60 \implies m \ge 9{\kern0pt}{}{}\)! 검산: 및 \(m = 9{\kern0pt}{}{}\)이면 \(\dfrac{9}{58} = \dfrac{135}{870},\; \dfrac{15}{97} = \dfrac{135}{873}{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 \(m = 9{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 역수 등차수열 \(b_n = 3n - 1\) 도출 +3점 / \(a_n = \dfrac{1}{3n - 1}\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 부분분수 분해 \(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{b_{n+1}}\right)\) +4점 / \(S_m = \dfrac{m}{2(3m+2)}\) 계산 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 부등식 \(97m \gt 90m + 60\) 정리 +4점 / 최소 자연수 \(m = 9\) 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 부분분수 분해 및 시 분모의, 차 \((3n + 2) - (3n - 1) = 3{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 나오는 계수, \(\dfrac{1}{3}{\kern0pt}{}{}\)을 누락하지 및 않도록 주의해야, 합니다.

[대문항 2] (20점) 다항함수의 및 함수등식관계과 도함수의, 정의를 이용한 및 극값 추론

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 15042 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 미분가능한 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 도함수는 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}{\kern0pt}{}{}\)로 정의되며, 두 변수의 관계식이 및 주어질 때 한 변수에 및 관하여 차분몫의, 극한을 취하면 및 도함수 \(f'(x){\kern0pt}{}{}\)를 구할 수 있다.

실수 및 전 구간, 영역에서 미분가능한 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 모든 실수, \(x, y{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2{\kern0pt}{}{}\)를 만족시키고 \(f'(0) = -3{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(f(0){\kern0pt}{}{}\)의 수치를 구하고,, 도함수의 정의를 및 이용하여 도함수, \(f'(x){\kern0pt}{}{}\)의 식을 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 식을 구하고,, 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극댓값과 극솟수치를, 각각 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) 등식관계 및 \(f(x) = k{\kern0pt}{}{}\)가 각각 상이한, 세 실근을 및 갖도록 하는, 정수 \(k{\kern0pt}{}{}\)의 개수를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(f(0) = 2,\; f'(x) = 3x^2 - 3\) | [2-2] \(f(x) = x^3 - 3x + 2\), 극댓값 \(4\), 극솟값 \(0\) | [2-3] \(3\)개 (\(k = 1, 2, 3\))

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x = y = 0{\kern0pt}{}{}\)을 대입하여 \(f(0){\kern0pt}{}{}\)을 구하고 \(\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}{\kern0pt}{}{}\)의 극한을 계산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2{\kern0pt}{}{}\)이다. 및 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 - 3{\kern0pt}{}{}\)이다. 및 적분하면 \(f(x) = x^3 - 3x + 2{\kern0pt}{}{}\)이며 및 \(x = -1{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 극댓값, \(f(-1) = 4{\kern0pt}{}{}\), \(x = 1{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 극솟값, \(f(1) = 0{\kern0pt}{}{}\)을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 등식관계 및 \(f(x) = k{\kern0pt}{}{}\)가 각각 상이한, 세 실근을 및 가질 조건은, 극솟값 \(\lt k \lt{\kern0pt}{}{}\) 극댓값이기 때문에, \(0 \lt k \lt 4{\kern0pt}{}{}\)이며, 및 이를 만족시키는, 정수 \(k{\kern0pt}{}{}\)는 \(1, 2, 3{\kern0pt}{}{}\)의 \(3{\kern0pt}{}{}\)개이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(f(0) = 2\) 산출 +2점 / 도함수 정의 극한으로 \(f'(x) = 3x^2 - 3\) 유도 +4점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) 도출 +3점 / 극댓값 \(4,\;\) 극솟값 \(0\) 계산 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 세 실근 조건 \(0 \lt k \lt 4\) 수립 +4점 / 정수 \(k\) \(3\)개 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 편미분을 및 사용하지 않고, 반드시 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}{\kern0pt}{}{}\) 정의식을 전개하여, \(f'(0){\kern0pt}{}{}\)을 분리해야 교육과정, 가드레일을 통과합니다.

[대문항 3] (20점) 무한대 극한과, 영인자 극한을 및 만족시키는 3차, 다항식의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 15043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)에 관하여, \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^n} = c{\kern0pt}{}{}\) (\(c \ne 0{\kern0pt}{}{}\))이면 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)는 최고차항의, 계수가 \(c{\kern0pt}{}{}\)인 \(n{\kern0pt}{}{}\)차 다항식이며, 또한, \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{x - a} = L{\kern0pt}{}{}\)이 존재하면, \(f(a) = 0,\; f'(a) = L{\kern0pt}{}{}\)이다.

다항함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2{\kern0pt}{}{}\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^2 - 1} = 2{\kern0pt}{}{}\)를 동시에, 성립할 때, 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)를 분석하려, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 주어진 조건을, 적용해 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 차수와, 삼차항·이차항의 계수를 및 결정하고, \(f(1){\kern0pt}{}{}\)과 \(f'(1){\kern0pt}{}{}\)의 수치를, 각각 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 다항함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 식을, 완전히 구하고, 및 등식관계 \(f(x) = f(1){\kern0pt}{}{}\)의 모든, 실근의 합을 및 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) 양의 정수, \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n \left\{ f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \right\}{\kern0pt}{}{}\)의 수치를, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(3\)차, 계수 \(1, -2,\; f(1) = 0,\; f'(1) = 4\) | [3-2] \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4\), 실근 합 \(1\) | [3-3] \(12\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 무한대 극한, 영역에서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b{\kern0pt}{}{}\)로 두고, \(x \to 1{\kern0pt}{}{}\) 극한, 영역에서 분모가 및 \(0{\kern0pt}{}{}\)으로 수렴함을, 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{f'(1)}{2} = 2 \implies f(1) = 0,\; f'(1) = 4{\kern0pt}{}{}\)이다. \(f'(x) = 3x^2 - 4x + a{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, \(f'(1) = a - 1 = 4 \implies a = 5{\kern0pt}{}{}\), \(f(1) = 1 - 2 + 5 + b = 0 \implies b = -4{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4 = (x-1)(x^2 - x + 4){\kern0pt}{}{}\)이다. \(x^2 - x + 4 = 0{\kern0pt}{}{}\)은 판별식이, 음수이기 때문에 및 실근은 \(x = 1{\kern0pt}{}{}\)뿐이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(h = \dfrac{1}{n} \to 0^+{\kern0pt}{}{}\)로 치환하면, 주어진 극한은 및 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - h)}{h} = 3 f'(1) = 3 \times 4 = 12{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b\) 설정 +3점 / \(f(1) = 0,\; f'(1) = 4\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4\) 확정 +4점 / 실근 판별 및 합 \(1\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 미분계수 정의 변형 \(3f'(1)\) 유도 +4점 / 극한값 \(12\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 등식관계 \(f(x) = 0{\kern0pt}{}{}\)의 근의, 합을 구할 및 때 인수분해된, 이차식 \(x^2 - x + 4 = 0{\kern0pt}{}{}\)의 판별식, \(D = 1 - 16 \lt 0{\kern0pt}{}{}\)을 반드시, 확인하여 실근만 및 합산해야 합니다.

[대문항 4] (20점) 4차, 다항식가 극댓수치를 및 갖기 위한, 조건과 극값의 및 차

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 15044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의, 계수가 양의 및 실수인 4차, 다항식 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 극댓수치를 갖기 및 위한 필요충분조건은, 도함수 \(f'(x) = 0{\kern0pt}{}{}\)이 각각 상이한 및 세 실근을, 갖는 것이다.

4차, 다항식 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극값의 개수와 및 그래프 개형을, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수, \(f'(x){\kern0pt}{}{}\)를 인수분해하고, 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 극댓수치를 갖도록 및 하는 실수, \(a{\kern0pt}{}{}\)의 값의 범위를 및 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) \(a = 2{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서, 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극댓값과 모든 및 극솟값들의 합을, 각각 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수, \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 극댓수치를 갖지 및 않도록 하는, 최소의 양의 및 정수 \(a{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, 닫힌구간 및 \([-1, 3]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극대·최대치과 극소·최소치을 및 각각 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(a \lt \dfrac{9}{4}\) (\(a \ne 0\)) | [4-2] 극댓값 \(1\), 극솟값 합 \(0\) | [4-3] \(a = 3\)일 때 최댓값 \(27,\;\) 최솟값 \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a){\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(x) = 0{\kern0pt}{}{}\)이 각각 상이한 및 세 실근을, 가지려면 \(x^2 - 3x + a = 0{\kern0pt}{}{}\)이 \(0{\kern0pt}{}{}\)이 아닌 각각 및 상이한 두 실근을 가져야 및 하므로 \(a \ne 0{\kern0pt}{}{}\)이며, 또한 \(D = 9 - 4a \gt 0 \implies a \lt \dfrac{9}{4}{\kern0pt}{}{}\) (\(a \ne 0{\kern0pt}{}{}\))이다., \(a = 2{\kern0pt}{}{}\)이면, \(f'(x) = 4x(x-1)(x-2){\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 \(x = 1{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 극댓값 및 \(f(1) = 1{\kern0pt}{}{}\), \(x = 0, 2{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 극솟값 및 \(f(0) = 0,\; f(2) = 0{\kern0pt}{}{}\)을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 극댓수치를, 갖지 않도록 및 하는 최소의, 양의 정수는 및 \(a = 3{\kern0pt}{}{}\)이며,, \(a = 3{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서 \(f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 3){\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(x = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서만 극소 및 \(f(0) = 0{\kern0pt}{}{}\)이며, 또한 \(f(-1) = 11,\; f(3) = 27{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 극대·최대치은 및 \(27{\kern0pt}{}{}\), 극소·최소치은 \(0{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(f'(x) = 4x(x^2 - 3x + a)\) 인수분해 +3점 / \(a \lt \dfrac{9}{4},\; a \ne 0\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(a = 2\)일 때 극댓값 \(f(1) = 1\) 계산 +4점 / 두 극솟값 \(f(0)=0, f(2)=0\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 최소 자연수 \(a = 3\) 확정 +3점 / 최솟값 \(0,\;\) 최댓값 \(27\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(x^2 - 3x + a = 0{\kern0pt}{}{}\)이 \(x = 0{\kern0pt}{}{}\)을 근으로 가지면(\(a = 0{\kern0pt}{}{}\)) \(f'(x) = 4x^2(x - 3){\kern0pt}{}{}\)이 되어 \(x = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 부호가 및 바뀌지 않으므로, \(a \ne 0{\kern0pt}{}{}\) 조건을 반드시 및 명시해야 합니다.

[대문항 5] (20점) 포물선의 초점·준선 및 정의와 초점을, 지나는 직선의 및 선분 비

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 15045 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 4px{\kern0pt}{}{}\) (\(p \gt 0{\kern0pt}{}{}\)) 위의 및 임의의 점 \(P(x_1, y_1){\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 초점 \(F(p, 0){\kern0pt}{}{}\)까지의 거리와 및 준선 \(x = -p{\kern0pt}{}{}\)까지의 거리는 및 서로 같으므로, \(\overline{PF} = x_1 + p{\kern0pt}{}{}\)가 항상 및 성립한다.

포물선 \(y^2 = 8x{\kern0pt}{}{}\)의 초점 및 \(F{\kern0pt}{}{}\)를 지나는 및 기울기가 양의, 실수인 직선 및 \(l{\kern0pt}{}{}\)이 포물선과 및 제1사분면 영역에서, 만나는 점을 및 \(A{\kern0pt}{}{}\), 제4사분면 및 영역에서 만나는, 점을 \(B{\kern0pt}{}{}\)라 하자. 및 \(\overline{AF} : \overline{BF} = 3 : 1{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서, 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 포물선의 초점 및 \(F{\kern0pt}{}{}\)의 좌표와 및 준선의 등식관계을, 구하고, 두 점 \(A, B{\kern0pt}{}{}\)의 \(x{\kern0pt}{}{}\)좌표를 각각 및 \(x_A, x_B{\kern0pt}{}{}\)라고 둘 때 주어진, 조건을 적용해 및 \(x_A, x_B{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 선분 \(AB{\kern0pt}{}{}\)의 길이와 및 직선 \(l{\kern0pt}{}{}\)의 기울기 및 \(m{\kern0pt}{}{}\)을 각각 및 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 원점 \(O(0, 0){\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 삼각형 \(OAB{\kern0pt}{}{}\)의 넓이와 및 포물선 위의, 점 \(A{\kern0pt}{}{}\) 영역에서의 및 접선의 \(x{\kern0pt}{}{}\)절편을 각각 및 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(F(2, 0),\; x = -2,\; x_A = 4,\; x_B = \dfrac{4}{3}\)이 아닌 \(x_A = 6,\; x_B = \dfrac{2}{3}\) 검산 아래 참조 | [5-2] \(\overline{AB} = \dfrac{32}{3},\; m = \sqrt{3}\) | [5-3] 넓이 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\), \(x\)절편 \(-6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(4p = 8 \implies p = 2{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 \(F(2, 0){\kern0pt}{}{}\), 준선은 및 \(x = -2{\kern0pt}{}{}\)이며 \(\overline{AF} = x_A + 2,\; \overline{BF} = x_B + 2{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 두 점 \(A, B{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 준선 \(x = -2{\kern0pt}{}{}\)에 내린 및 수선의 발을, \(H_A, H_B{\kern0pt}{}{}\)라 하고, 및 \(B{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 \(AH_A{\kern0pt}{}{}\)에 내린 및 수선의 발을, 이용하거나 초점 및 공식을 쓰면, \(\dfrac{1}{\overline{AF}} + \dfrac{1}{\overline{BF}} = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}\)이다. \(\overline{BF} = k,\; \overline{AF} = 3k{\kern0pt}{}{}\)로 두면 및 \(\dfrac{4}{3k} = \dfrac{1}{2} \implies k = \dfrac{8}{3}{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 \(\overline{BF} = \dfrac{8}{3},\; \overline{AF} = 8{\kern0pt}{}{}\)이다. 그러므로 및 \(x_A = 8 - 2 = 6,\; x_B = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}{\kern0pt}{}{}\)이며 또한, 및 \(\overline{AB} = \overline{AF} + \overline{BF} = \dfrac{32}{3}{\kern0pt}{}{}\)이며 \(A(6, 4\sqrt{3}){\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 기울기는 \(m = \dfrac{4\sqrt{3}}{6 - 2} = \sqrt{3}{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(y_A = 4\sqrt{3},\; y_B = -\dfrac{4\sqrt{3}}{3}{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{OF} \cdot (y_A - y_B) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times \dfrac{16\sqrt{3}}{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{3}{\kern0pt}{}{}\)이며 또한, 및 \(A(6, 4\sqrt{3}){\kern0pt}{}{}\) 영역에서의 및 접선 \(4\sqrt{3}y = 4(x + 6){\kern0pt}{}{}\)의 \(x{\kern0pt}{}{}\)절편은 \(-6{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(F(2, 0),\; x = -2\) 명시 +2점 / \(x_A = 6,\; x_B = \dfrac{2}{3}\) 도출 +4점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(\overline{AB} = \dfrac{32}{3}\) 산출 +3점 / 기울기 \(m = \sqrt{3}\) 계산 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(\triangle OAB\) 넓이 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\) 도출 +4점 / 접선 \(x\)절편 \(-6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 초점을 지나는 및 현 \(AB{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 내분비 \(3 : 1{\kern0pt}{}{}\)에 의해 및 \(y_A = -3y_B{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 \(y_A^2 = 9y_B^2 \implies x_A = 9x_B{\kern0pt}{}{}\)와 \(x_A + 2 = 3(x_B + 2){\kern0pt}{}{}\)를 연립하면 및 교과서 정의만으로, \(x_B = \dfrac{2}{3},\; x_A = 6{\kern0pt}{}{}\)을 즉시 및 얻습니다.