2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 4회 문제집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (4회차))

[대문항 1] (20점) 비선형 분수 및 점화식의 역수, 치환과 부분분수 및 급수의 합

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 15041 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_1 \gt 0{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1}{\kern0pt}{}{}\) (\(p \gt 0{\kern0pt}{}{}\))을 성립할 및 때, 양변의, 역수를 취하면 및 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = p{\kern0pt}{}{}\)가 되어 및 항열 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}{\kern0pt}{}{}\)은 공차가 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)인 등차항열을 및 이룬다.

항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_1 = \dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 모든 양의, 정수 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}{\kern0pt}{}{}\)을 성립할 및 때, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 주어진 조건을 및 적용해 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}{\kern0pt}{}{}\)으로 놓을 및 때 항열, \(\{b_n\}{\kern0pt}{}{}\)의 일반항과 및 \(a_n{\kern0pt}{}{}\)의 일반항을 및 각각 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 양의 정수 및 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} a_n a_{n+1}{\kern0pt}{}{}\)을 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 대한 및 기약분수 식으로, 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 \(S_m \gt \dfrac{15}{97}{\kern0pt}{}{}\)를 만족시키는 및 최소의 양의, 정수 \(m{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

[중앙대학교 제4회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제4회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 다항함수의 및 함수등식관계과 도함수의, 정의를 이용한 및 극값 추론

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 15042 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 미분가능한 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 도함수는 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}{\kern0pt}{}{}\)로 정의되며, 두 변수의 관계식이 및 주어질 때 한 변수에 및 관하여 차분몫의, 극한을 취하면 및 도함수 \(f'(x){\kern0pt}{}{}\)를 구할 수 있다.

실수 및 전 구간, 영역에서 미분가능한 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 모든 실수, \(x, y{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2{\kern0pt}{}{}\)를 만족시키고 \(f'(0) = -3{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(f(0){\kern0pt}{}{}\)의 수치를 구하고,, 도함수의 정의를 및 이용하여 도함수, \(f'(x){\kern0pt}{}{}\)의 식을 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 식을 구하고,, 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극댓값과 극솟수치를, 각각 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) 등식관계 및 \(f(x) = k{\kern0pt}{}{}\)가 각각 상이한, 세 실근을 및 갖도록 하는, 정수 \(k{\kern0pt}{}{}\)의 개수를 산출하시오.

[중앙대학교 제4회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제4회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 무한대 극한과, 영인자 극한을 및 만족시키는 3차, 다항식의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 15043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)에 관하여, \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^n} = c{\kern0pt}{}{}\) (\(c \ne 0{\kern0pt}{}{}\))이면 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)는 최고차항의, 계수가 \(c{\kern0pt}{}{}\)인 \(n{\kern0pt}{}{}\)차 다항식이며, 또한, \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{x - a} = L{\kern0pt}{}{}\)이 존재하면, \(f(a) = 0,\; f'(a) = L{\kern0pt}{}{}\)이다.

다항함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2{\kern0pt}{}{}\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^2 - 1} = 2{\kern0pt}{}{}\)를 동시에, 성립할 때, 및 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)를 분석하려, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 주어진 조건을, 적용해 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 차수와, 삼차항·이차항의 계수를 및 결정하고, \(f(1){\kern0pt}{}{}\)과 \(f'(1){\kern0pt}{}{}\)의 수치를, 각각 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 다항함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 식을, 완전히 구하고, 및 등식관계 \(f(x) = f(1){\kern0pt}{}{}\)의 모든, 실근의 합을 및 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) 양의 정수, \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n \left\{ f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \right\}{\kern0pt}{}{}\)의 수치를, 산출하시오.

[중앙대학교 제4회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제4회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 4차, 다항식가 극댓수치를 및 갖기 위한, 조건과 극값의 및 차

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 15044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의, 계수가 양의 및 실수인 4차, 다항식 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 극댓수치를 갖기 및 위한 필요충분조건은, 도함수 \(f'(x) = 0{\kern0pt}{}{}\)이 각각 상이한 및 세 실근을, 갖는 것이다.

4차, 다항식 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극값의 개수와 및 그래프 개형을, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수, \(f'(x){\kern0pt}{}{}\)를 인수분해하고, 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 극댓수치를 갖도록 및 하는 실수, \(a{\kern0pt}{}{}\)의 값의 범위를 및 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) \(a = 2{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서, 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극댓값과 모든 및 극솟값들의 합을, 각각 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수, \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 극댓수치를 갖지 및 않도록 하는, 최소의 양의 및 정수 \(a{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, 닫힌구간 및 \([-1, 3]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극대·최대치과 극소·최소치을 및 각각 산출하시오.

[중앙대학교 제4회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제4회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 포물선의 초점·준선 및 정의와 초점을, 지나는 직선의 및 선분 비

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 15045 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 4px{\kern0pt}{}{}\) (\(p \gt 0{\kern0pt}{}{}\)) 위의 및 임의의 점 \(P(x_1, y_1){\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 초점 \(F(p, 0){\kern0pt}{}{}\)까지의 거리와 및 준선 \(x = -p{\kern0pt}{}{}\)까지의 거리는 및 서로 같으므로, \(\overline{PF} = x_1 + p{\kern0pt}{}{}\)가 항상 및 성립한다.

포물선 \(y^2 = 8x{\kern0pt}{}{}\)의 초점 및 \(F{\kern0pt}{}{}\)를 지나는 및 기울기가 양의, 실수인 직선 및 \(l{\kern0pt}{}{}\)이 포물선과 및 제1사분면 영역에서, 만나는 점을 및 \(A{\kern0pt}{}{}\), 제4사분면 및 영역에서 만나는, 점을 \(B{\kern0pt}{}{}\)라 하자. 및 \(\overline{AF} : \overline{BF} = 3 : 1{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서, 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 포물선의 초점 및 \(F{\kern0pt}{}{}\)의 좌표와 및 준선의 등식관계을, 구하고, 두 점 \(A, B{\kern0pt}{}{}\)의 \(x{\kern0pt}{}{}\)좌표를 각각 및 \(x_A, x_B{\kern0pt}{}{}\)라고 둘 때 주어진, 조건을 적용해 및 \(x_A, x_B{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 선분 \(AB{\kern0pt}{}{}\)의 길이와 및 직선 \(l{\kern0pt}{}{}\)의 기울기 및 \(m{\kern0pt}{}{}\)을 각각 및 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 원점 \(O(0, 0){\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 삼각형 \(OAB{\kern0pt}{}{}\)의 넓이와 및 포물선 위의, 점 \(A{\kern0pt}{}{}\) 영역에서의 및 접선의 \(x{\kern0pt}{}{}\)절편을 각각 및 산출하시오.

[중앙대학교 제4회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제4회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.