2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 3회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 3회 해설집 | 3회 : 지수함수와, 로그함수의 · 유리함수와 다항함수의 · 포물선과 및 직선으로 · 3차 다항식, 위의 점 · 수직선, 위를 움직이는

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (3회차))

[대문항 1] (20점) 지수함수와, 로그함수의 역함수 및 대칭성과 직선, 위의 교점

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 15031 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 함수, \(y = a^{x-m} + n{\kern0pt}{}\)의 역함수는 직선 및 \(y = x{\kern0pt}{}\)에 관하여 대칭인 및 \(y = \log_a(x - n) + m{\kern0pt}{}\)이며,, 기울기가 \(-1{\kern0pt}{}\)인 직선 \(y = -x + k{\kern0pt}{}\)와 원래 함수 및 및 역함수의, 교점은 직선 및 \(y = x{\kern0pt}{}\)에 관하여 서로 및 대칭이다.

곡선, \(C_1 : y = 2^{x-1} + 1{\kern0pt}{}\)과 곡선 \(C_2 : y = \log_2(x - 1) + 1{\kern0pt}{}\)이 직선 \(l : y = -x + 8{\kern0pt}{}\)과 만나는 점을 및 각각 \(A, B{\kern0pt}{}\)라고, 둘 때, 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 두 곡선 \(C_1, C_2{\kern0pt}{}\)가 서로 역함수 및 관계임을 보이며, 또한, 두 점 \(A, B{\kern0pt}{}\)의 중점 \(M{\kern0pt}{}\)의 좌표를 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 점 \(A{\kern0pt}{}\)와 점 \(B{\kern0pt}{}\)의 좌표를 각각 및 구하고, 선분, \(AB{\kern0pt}{}\)의 길이를 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점, \(O(0, 0){\kern0pt}{}\)에 관하여 삼각형 및 \(OAB{\kern0pt}{}\)의 넓이와 곡선 및 \(C_1, C_2{\kern0pt}{}\)의 두 교점 및 사이의 거리를, 각각 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] 중점 \(M(4, 4)\) | [1-2] \(A(3, 5),\; B(5, 3),\; \overline{AB} = 2\sqrt{2}\) | [1-3] 넓이 \(8\), 교점 거리 \(\sqrt{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(y = 2^{x-1} + 1{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(x, y{\kern0pt}{}\)를 바꾸어 정리하면 및 \(y = \log_2(x - 1) + 1{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 서로 및 역함수이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 중점, \(M{\kern0pt}{}\)은 \(y = x{\kern0pt}{}\)와 \(y = -x + 8{\kern0pt}{}\)의 교점이기 때문에 및 \(M(4, 4){\kern0pt}{}\)이다., \(2^{x-1} + 1 = -x + 8{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(x = 3{\kern0pt}{}\)을 대입하면 \(2^2 + 1 = 5 = -3 + 8{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 \(A(3, 5),\; B(5, 3){\kern0pt}{}\)이며, 또한 \(\overline{AB} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점, \(O{\kern0pt}{}\) 영역에서 직선 및 \(x + y - 8 = 0{\kern0pt}{}\)까지의, 거리는 \(\dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 8{\kern0pt}{}\)이다., \(C_1, C_2{\kern0pt}{}\)의 교점은 \(2^{x-1} + 1 = x{\kern0pt}{}\) 영역에서 \((2, 2), (3, 3){\kern0pt}{}\)이기, 때문에 거리는 및 \(\sqrt{2}{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 역함수 관계 증명 +3점 / 중점 \(M(4, 4)\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 단조성을 이용한 교점 \(A(3, 5),\; B(5, 3)\) 확정 +4점 / \(\overline{AB} = 2\sqrt{2}\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(\triangle OAB\) 넓이 \(8\) 계산 +4점 / 교점 \((2,2),(3,3)\) 거리 \(\sqrt{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(2^{x-1} + x = 7{\kern0pt}{}\) 영역에서 좌변은 및 엄격한 증가함수이기, 때문에 실근 및 \(x = 3{\kern0pt}{}\)이 유일함을 명시해야 및 감점을 피할, 수 있습니다.

[대문항 2] (20점) 유리함수와 다항함수의 및 곱의 연속성과, 사잇값 정리

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 15032 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

<제시문 (가)> 실수 전 구간 영역에서, 연속인 함수 및 \(h(x){\kern0pt}{}\)가 \(x \ne -1,\; x \ne 2{\kern0pt}{}\)인 조건에서 및 \(h(x) = \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} g(x){\kern0pt}{}\)를 만족시킨다. 및 여기서 \(g(x){\kern0pt}{}\)는 최고차항의 및 계수가 \(1{\kern0pt}{}\)인 3차 및 다항식이며 또한, \(h(-1) = 4{\kern0pt}{}\)인 조건에서, 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} & (x \ne -1,\; x \ne 2) \\ 1 & (x = -1,\; x = 2) \end{cases}{\kern0pt}{}\)와 최고차항의 및 계수가 \(1{\kern0pt}{}\)인 3차 및 다항식 \(g(x){\kern0pt}{}\)에 관하여 및 함수 \(h(x) = f(x)g(x){\kern0pt}{}\)가 실수 및 전 구간, 영역에서 연속이며 및 또한 \(h(-1) = 4,\; h(2) = -3{\kern0pt}{}\)을 성립할 및 때, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(h(-1) = 4{\kern0pt}{}\) 조건을 및 이용하여 3차, 다항식 \(g(x){\kern0pt}{}\)의 식을 및 완전히 구하고, \(h(2){\kern0pt}{}\)와 \(g(3){\kern0pt}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 등식관계 \(g(x) = 0{\kern0pt}{}\)의 모든 및 실근을 구하고,, 닫힌구간 \([-3, 0]{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 등식관계 \(h(x) = 0{\kern0pt}{}\)이 적어도 및 하나의 실근을, 가짐을 사잇값 및 정리로 설명하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(g(-1) = 0,\; g(2) = 0,\; g(x) = (x+1)(x-2)(x-k){\kern0pt}{}\) | 및 [2-2] \(g(x) = (x+1)(x-2)(x+2),\; h(2) = -4,\; g(3) = 20{\kern0pt}{}\) | 및 [2-3] 실근, \(-2, -1, 2{\kern0pt}{}\), \(h(-1)h(2) = -16 \lt 0{\kern0pt}{}\)

🎯 모범 정답 : [2-1] \(g(-1) = 0,\; g(2) = 0,\; g(x) = (x+1)(x-2)(x-k)\) | [2-2] \(g(x) = (x+1)(x-2)(x+2),\; g(3) = 20\) | [2-3] 실근 \(-2, -1, 2\), \(h(-1)h(2) = -12 \lt 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g(x) = (x+1)(x-2)(x-k){\kern0pt}{}\)로 놓으면 및 \(x \ne -1, 2{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 \(h(x) = (x-3)(x-k){\kern0pt}{}\)이다. 연속성에 및 의해 \(h(-1) = \lim_{x \to -1} (x-3)(x-k) = -4(-1 - k) = 4 \implies k = -2{\kern0pt}{}\)이다. 그러므로 및 \(g(x) = (x+1)(x-2)(x+2){\kern0pt}{}\)이며 또한 및 \(h(2) = \lim_{x \to 2} (x-3)(x+2) = -4{\kern0pt}{}\)이며 \(g(3) = 4 \cdot 1 \cdot 5 = 20{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(g(x) = 0{\kern0pt}{}\)의 세 실근은 \(x = -2, -1, 2{\kern0pt}{}\)이며, 연속인 및 함수 \(h(x) = (x-3)(x+2){\kern0pt}{}\)는 닫힌구간 및 \([-3, 0]{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 \(h(-3) = 6 \gt 0,\; h(0) = -6 \lt 0{\kern0pt}{}\)이기 때문에 및 사잇값 정리에, 의해 열린구간 및 \((-3, 0){\kern0pt}{}\)에 실근(\(x = -2{\kern0pt}{}\))을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(x) = 0{\kern0pt}{}\)의 세 실근은 \(x = -2, -1, 2{\kern0pt}{}\)이며, \(h(x){\kern0pt}{}\)는 닫힌구간 및 \([-1, 2]{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 연속이며 또한, \(h(-1) = 4 \gt 0,\; h(2) = -4 \lt 0{\kern0pt}{}\)이기 때문에 및 사잇값 정리에, 의해 열린구간 및 \((-1, 2){\kern0pt}{}\)에 적어도 및 하나의 실근(\(x = -2{\kern0pt}{}\)가 아닌 및 구간 밖을, 제외한 연속성 및 논증)을 갖는다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(g(-1) = g(2) = 0\) 논증 +3점 / 인수 설정 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 극한 계산으로 \(k = -2\) 확정 +4점 / \(g(3) = 20\) 산출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 세 실근 \(-2, -1, 2\) 도출 +3점 / 사잇값 정리 부호 변화 서술 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(x = -1, 2{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 \(f(x) = 1{\kern0pt}{}\)이기 때문에 및 \(h(-1) = f(-1)g(-1) = 0{\kern0pt}{}\)이 되지 및 않도록 정의를, \(\lim_{x \to -1} f(x)g(x) = h(-1){\kern0pt}{}\) 형태인 및 연속 확장, 함수로 서술하면 및 논리적 완결성이, 높아집니다.

[대문항 3] (20점) 포물선과 및 직선으로 경계, 내부 영역 및 면적 공식과, 넓이 이등분

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 15033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 포물선 및 함수 \(y = ax^2 + bx + c{\kern0pt}{}\)의 그래프와 직선, \(y = mx + n{\kern0pt}{}\)이 각각 상이한, 두 점 \(x = \alpha, \beta{\kern0pt}{}\) (\(\alpha \lt \beta{\kern0pt}{}\)) 영역에서 만날, 때, 경계 및 내부 영역, 면적는 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3{\kern0pt}{}\)이다.

포물선 및 \(y = -x^2 + 4x{\kern0pt}{}\)와 \(x{\kern0pt}{}\)축으로 및 경계 내부, 영역 면적를 및 원점을 지나는, 직선 \(y = mx{\kern0pt}{}\) (\(0 \lt m \lt 4{\kern0pt}{}\))가 및 이등분할 때,, 상수 \(m{\kern0pt}{}\)에 대한 식과, 관련 넓이를 및 분석하려 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 포물선 및 \(y = -x^2 + 4x{\kern0pt}{}\)와 \(x{\kern0pt}{}\)축으로 및 경계 내부, 영역 면적 및 \(S_1{\kern0pt}{}\)을 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 포물선 및 \(y = -x^2 + 4x{\kern0pt}{}\)와 직선 \(y = mx{\kern0pt}{}\) (\(0 \lt m \lt 4{\kern0pt}{}\))로 및 경계 내부, 영역 면적 및 \(S_2{\kern0pt}{}\)를 \(m{\kern0pt}{}\)에 대한 식으로, 나타내고, \(S_1{\kern0pt}{}\)을 이등분하도록 하는, \((4 - m)^3{\kern0pt}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) 위 영역에서 구한, \(m{\kern0pt}{}\)에 관하여 직선, \(y = mx{\kern0pt}{}\)와 포물선의 원점이, 아닌 교점 및 \(A{\kern0pt}{}\)의 \(x{\kern0pt}{}\)좌표를 및 \(x_A{\kern0pt}{}\)라고 및 둘 때,, \(x_A^3{\kern0pt}{}\)의 값과 점 \(A{\kern0pt}{}\) 영역에서의 포물선의, 접선의 기울기 및 \(k{\kern0pt}{}\)에 관하여 \((4 - k)^3{\kern0pt}{}\)의 수치를 각각, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [3-2] \(S_2 = \dfrac{(4 - m)^3}{6},\; (4 - m)^3 = 32\) | [3-3] \(x_A^3 = 32,\; (4 - k)^3 = 256\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 교점의 및 \(x{\kern0pt}{}\)좌표 및 차에 넓이, 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3{\kern0pt}{}\)을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(-x^2 + 4x = 0{\kern0pt}{}\)의 두 근은, \(0, 4{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 \(S_1 = \dfrac{1}{6} \times 4^3 = \dfrac{32}{3}{\kern0pt}{}\)이다. 및 \(-x^2 + 4x = mx \implies x(x - (4 - m)) = 0{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3{\kern0pt}{}\)이며 및 또한, \(S_2 = \dfrac{1}{2}S_1 = \dfrac{16}{3}{\kern0pt}{}\) 영역에서 \((4 - m)^3 = 32{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 교점 및 \(A{\kern0pt}{}\)의 \(x{\kern0pt}{}\)좌표는 및 \(x_A = 4 - m{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 \(x_A^3 = 32{\kern0pt}{}\)이다. 및 점 \(A{\kern0pt}{}\) 영역에서의 접선의, 기울기는 \(k = -2x_A + 4{\kern0pt}{}\)이기 및 때문에 \(4 - k = 2x_A{\kern0pt}{}\)이며 및 또한, 그러므로, \((4 - k)^3 = 8 x_A^3 = 8 \times 32 = 256{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 교점 \(0, 4\) 도출 +3점 / \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(S_2 = \dfrac{(4-m)^3}{6}\) 표현 +4점 / \((4 - m)^3 = 32\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(x_A^3 = 32\) 확인 +3점 / \(4 - k = 2x_A\)를 통한 \(256\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 포물선 및 함수 넓이, 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3{\kern0pt}{}\)을 쓸 때도, 정적분 식 \(\int_0^{4-m} (-x^2 + (4-m)x)\,dx{\kern0pt}{}\)를 함께 적어주면, 서술형 감점을 및 완벽히 방어합니다.

[대문항 4] (20점) 3차 다항식, 위의 점 영역에서의 접선과, 곡선으로 경계 및 내부 영역, 면적

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 15034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가, \(a{\kern0pt}{}\)인 3차, 다항식 \(y = f(x){\kern0pt}{}\) 위의, 점 \((\alpha, f(\alpha)){\kern0pt}{}\) 영역에서의, 접선이 곡선과 및 점 \((\beta, f(\beta)){\kern0pt}{}\) (\(\alpha \ne \beta{\kern0pt}{}\)) 영역에서, 다시 만날 및 때, 곡선과, 접선으로 경계 및 내부 영역, 면적는 \(S = \dfrac{|a|}{12}|\beta - \alpha|^4{\kern0pt}{}\)이다.

곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x{\kern0pt}{}\) 위의, 점 \(A(0, 0){\kern0pt}{}\) 영역에서의, 접선을 \(l{\kern0pt}{}\)이라고 둘 때, 접선 및 \(l{\kern0pt}{}\)과 곡선의, 교점 및 둘러싸인 넓이를, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 \(A(0, 0){\kern0pt}{}\) 영역에서의, 접선 \(l{\kern0pt}{}\)의 등식관계을, 구하고, 접선 및 \(l{\kern0pt}{}\)이 곡선과, 다시 만나는 및 점 \(B{\kern0pt}{}\)의 좌표를, 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선과 접선, \(l{\kern0pt}{}\)로 경계, 내부 영역 및 면적 \(S{\kern0pt}{}\)를 정적분으로, 계산하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 \(A{\kern0pt}{}\)와 점 \(B{\kern0pt}{}\) 사이의, 곡선 위의 및 점 \(P(t, t^3 - 3t^2 + 2t){\kern0pt}{}\) (\(0 \lt t \lt 3{\kern0pt}{}\)) 영역에서, 접선 \(l{\kern0pt}{}\)까지의 거리가, 최대가 되도록 및 하는 \(t{\kern0pt}{}\)의 값과, 그때의 \(\triangle PAB{\kern0pt}{}\)의 넓이를, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(y = 2x,\; B(3, 6)\) | [4-2] \(S = \dfrac{27}{4}\) | [4-3] \(t = 2,\; \text{넓이 } 6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x{\kern0pt}{}\) 영역에서, \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2{\kern0pt}{}\)이기 때문에, \(f'(0) = 2{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 접선 \(l{\kern0pt}{}\)은 \(y = 2x{\kern0pt}{}\)이며 또한,, \(x^3 - 3x^2 + 2x = 2x \implies x^2(x - 3) = 0{\kern0pt}{}\) 영역에서, \(B(3, 6){\kern0pt}{}\)이다. 둘러싸인, 넓이는 \(S = \int_0^3 (2x - (x^3 - 3x^2 + 2x))\,dx = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2)\,dx = \left[-\dfrac{1}{4}x^4 + x^3\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 접선 \(l{\kern0pt}{}\)까지의 거리가, 최대인 점 \(P{\kern0pt}{}\) 영역에서의, 접선의 기울기는 및 직선 \(AB{\kern0pt}{}\)의 기울기, \(2{\kern0pt}{}\)와 같으므로, \(3t^2 - 6t + 2 = 2 \implies t = 2{\kern0pt}{}\) (\(0 \lt t \lt 3{\kern0pt}{}\))이다. 점 \(P(2, 0){\kern0pt}{}\)과 \(A(0, 0), B(3, 6){\kern0pt}{}\)이 이루는, \(\triangle PAB{\kern0pt}{}\)의 넓이는, 밑변 \(\overline{AP} = 2{\kern0pt}{}\), 높이, \(6{\kern0pt}{}\)이기 때문에, \(\dfrac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 접선 \(y = 2x\) 도출 +3점 / 교점 \(B(3, 6)\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 정적분 피적분함수 설정 +3점 / 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 계산 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 평행 접선 조건 \(t = 2\) 도출 +4점 / \(\triangle PAB\) 넓이 \(6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점 \(A(0,0){\kern0pt}{}\)과 \(P(2,0){\kern0pt}{}\)이 모두, \(x{\kern0pt}{}\)축 위에, 놓이기 때문에 및 밑변의 길이를, \(2{\kern0pt}{}\), 점 \(B(3,6){\kern0pt}{}\)의 \(y{\kern0pt}{}\)좌표 \(6{\kern0pt}{}\)을 높이로, 두면 넓이를 및 즉시 검산할, 수 있습니다.

[대문항 5] (20점) 수직선, 위를 움직이는 및 점의 속도와, 위치의 변화량 및 및 움직인, 거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 15035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선, 위를 움직이는 및 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 시각 \(t{\kern0pt}{}\) 영역에서의 속도가 및 \(v(t){\kern0pt}{}\)이며, 또한 시각 및 \(t = 0{\kern0pt}{}\) 영역에서의 위치가 및 \(x_0{\kern0pt}{}\)인 조건에서, 시각 및 \(t = a{\kern0pt}{}\) 영역에서의 위치는 및 \(x(a) = x_0 + \int_0^a v(t)\,dt{\kern0pt}{}\)이며, 또한 시각 및 \(t = 0{\kern0pt}{}\)부터, \(t = a{\kern0pt}{}\)까지, 움직인 거리는 및 \(\int_0^a |v(t)|\,dt{\kern0pt}{}\)이다.

원점을, 출발하여 수직선 및 위를 움직이는, 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 시각 \(t{\kern0pt}{}\) (\(t \ge 0{\kern0pt}{}\)) 영역에서의 속도가 및 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9{\kern0pt}{}\)인 조건에서, 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 운동을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(P{\kern0pt}{}\)가 출발 후 운동 방향을, 바꾸는 시각을 및 모두 구하고,, 각 시각 및 영역에서의 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 위치를 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각, \(t = 0{\kern0pt}{}\)부터, \(t = 4{\kern0pt}{}\)까지, 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 위치의 변화량과 및 실제로 움직인, 거리를 각각 및 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 \(P{\kern0pt}{}\)가 출발 후 처음으로 다시, 원점을 지나는 및 시각 \(T{\kern0pt}{}\) (\(T \gt 0{\kern0pt}{}\))와, 그때의 가속도 및 \(a(T){\kern0pt}{}\)를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(t = 1, 3\), 위치 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\) | [5-2] 위치 변화량 \(4\), 움직인 거리 \(12\) | [5-3] \(T = 3,\; a(3) = 6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(t = 1, 3{\kern0pt}{}\)인 조건에서 속도의 및 부호가 바뀐다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 위치, 함수는 \(x(t) = \int_0^t (3s^2 - 12s + 9)\,ds = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2{\kern0pt}{}\)이기, 때문에 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0{\kern0pt}{}\)이다., \(t = 4{\kern0pt}{}\)인 조건에서 위치 및 변화량은 \(x(4) = 4{\kern0pt}{}\)이며, 또한, 움직인 및 거리는 \(\int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12{\kern0pt}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x(t) = t(t - 3)^2 = 0{\kern0pt}{}\) (\(t \gt 0{\kern0pt}{}\)) 영역에서 처음으로 및 원점에 도달하는, 시각은 \(T = 3{\kern0pt}{}\)이며,, 가속도 \(a(t) = v'(t) = 6t - 12{\kern0pt}{}\) 영역에서 \(a(3) = 6{\kern0pt}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• 운동 방향 전환 시각 \(t = 1, 3\) 도출 +3점 / \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 위치 변화량 \(4\) 계산 +3점 / 구간별 절댓값 적분 거리 \(12\) 도출 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 원점 재도달 시각 \(T = 3\) 판별 +3점 / 가속도 \(a(3) = 6\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 위치의, 변화량 \(\int_0^4 v(t)\,dt{\kern0pt}{}\)와 실제 움직인 및 거리 \(\int_0^4 |v(t)|\,dt{\kern0pt}{}\)는 속도가 음수인 및 구간 \([1, 3]{\kern0pt}{}\)의 부호 처리 및 영역에서 차이가, 발생합니다.