2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 3회 문제집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (3회차))

[대문항 1] (20점) 지수함수와, 로그함수의 역함수 및 대칭성과 직선, 위의 교점

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 15031 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 함수, \(y = a^{x-m} + n{\kern0pt}{}\)의 역함수는 직선 및 \(y = x{\kern0pt}{}\)에 관하여 대칭인 및 \(y = \log_a(x - n) + m{\kern0pt}{}\)이며,, 기울기가 \(-1{\kern0pt}{}\)인 직선 \(y = -x + k{\kern0pt}{}\)와 원래 함수 및 및 역함수의, 교점은 직선 및 \(y = x{\kern0pt}{}\)에 관하여 서로 및 대칭이다.

곡선, \(C_1 : y = 2^{x-1} + 1{\kern0pt}{}\)과 곡선 \(C_2 : y = \log_2(x - 1) + 1{\kern0pt}{}\)이 직선 \(l : y = -x + 8{\kern0pt}{}\)과 만나는 점을 및 각각 \(A, B{\kern0pt}{}\)라고, 둘 때, 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 두 곡선 \(C_1, C_2{\kern0pt}{}\)가 서로 역함수 및 관계임을 보이며, 또한, 두 점 \(A, B{\kern0pt}{}\)의 중점 \(M{\kern0pt}{}\)의 좌표를 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 점 \(A{\kern0pt}{}\)와 점 \(B{\kern0pt}{}\)의 좌표를 각각 및 구하고, 선분, \(AB{\kern0pt}{}\)의 길이를 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점, \(O(0, 0){\kern0pt}{}\)에 관하여 삼각형 및 \(OAB{\kern0pt}{}\)의 넓이와 곡선 및 \(C_1, C_2{\kern0pt}{}\)의 두 교점 및 사이의 거리를, 각각 산출하시오.

[중앙대학교 제3회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제3회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 유리함수와 다항함수의 및 곱의 연속성과, 사잇값 정리

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 15032 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

<제시문 (가)> 실수 전 구간 영역에서, 연속인 함수 및 \(h(x){\kern0pt}{}\)가 \(x \ne -1,\; x \ne 2{\kern0pt}{}\)인 조건에서 및 \(h(x) = \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} g(x){\kern0pt}{}\)를 만족시킨다. 및 여기서 \(g(x){\kern0pt}{}\)는 최고차항의 및 계수가 \(1{\kern0pt}{}\)인 3차 및 다항식이며 또한, \(h(-1) = 4{\kern0pt}{}\)인 조건에서, 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} & (x \ne -1,\; x \ne 2) \\ 1 & (x = -1,\; x = 2) \end{cases}{\kern0pt}{}\)와 최고차항의 및 계수가 \(1{\kern0pt}{}\)인 3차 및 다항식 \(g(x){\kern0pt}{}\)에 관하여 및 함수 \(h(x) = f(x)g(x){\kern0pt}{}\)가 실수 및 전 구간, 영역에서 연속이며 및 또한 \(h(-1) = 4,\; h(2) = -3{\kern0pt}{}\)을 성립할 및 때, 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(h(-1) = 4{\kern0pt}{}\) 조건을 및 이용하여 3차, 다항식 \(g(x){\kern0pt}{}\)의 식을 및 완전히 구하고, \(h(2){\kern0pt}{}\)와 \(g(3){\kern0pt}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 등식관계 \(g(x) = 0{\kern0pt}{}\)의 모든 및 실근을 구하고,, 닫힌구간 \([-3, 0]{\kern0pt}{}\) 영역에서 및 등식관계 \(h(x) = 0{\kern0pt}{}\)이 적어도 및 하나의 실근을, 가짐을 사잇값 및 정리로 설명하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(g(-1) = 0,\; g(2) = 0,\; g(x) = (x+1)(x-2)(x-k){\kern0pt}{}\) | 및 [2-2] \(g(x) = (x+1)(x-2)(x+2),\; h(2) = -4,\; g(3) = 20{\kern0pt}{}\) | 및 [2-3] 실근, \(-2, -1, 2{\kern0pt}{}\), \(h(-1)h(2) = -16 \lt 0{\kern0pt}{}\)

[중앙대학교 제3회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제3회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 포물선과 및 직선으로 경계, 내부 영역 및 면적 공식과, 넓이 이등분

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 15033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 포물선 및 함수 \(y = ax^2 + bx + c{\kern0pt}{}\)의 그래프와 직선, \(y = mx + n{\kern0pt}{}\)이 각각 상이한, 두 점 \(x = \alpha, \beta{\kern0pt}{}\) (\(\alpha \lt \beta{\kern0pt}{}\)) 영역에서 만날, 때, 경계 및 내부 영역, 면적는 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3{\kern0pt}{}\)이다.

포물선 및 \(y = -x^2 + 4x{\kern0pt}{}\)와 \(x{\kern0pt}{}\)축으로 및 경계 내부, 영역 면적를 및 원점을 지나는, 직선 \(y = mx{\kern0pt}{}\) (\(0 \lt m \lt 4{\kern0pt}{}\))가 및 이등분할 때,, 상수 \(m{\kern0pt}{}\)에 대한 식과, 관련 넓이를 및 분석하려 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 포물선 및 \(y = -x^2 + 4x{\kern0pt}{}\)와 \(x{\kern0pt}{}\)축으로 및 경계 내부, 영역 면적 및 \(S_1{\kern0pt}{}\)을 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 포물선 및 \(y = -x^2 + 4x{\kern0pt}{}\)와 직선 \(y = mx{\kern0pt}{}\) (\(0 \lt m \lt 4{\kern0pt}{}\))로 및 경계 내부, 영역 면적 및 \(S_2{\kern0pt}{}\)를 \(m{\kern0pt}{}\)에 대한 식으로, 나타내고, \(S_1{\kern0pt}{}\)을 이등분하도록 하는, \((4 - m)^3{\kern0pt}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) 위 영역에서 구한, \(m{\kern0pt}{}\)에 관하여 직선, \(y = mx{\kern0pt}{}\)와 포물선의 원점이, 아닌 교점 및 \(A{\kern0pt}{}\)의 \(x{\kern0pt}{}\)좌표를 및 \(x_A{\kern0pt}{}\)라고 및 둘 때,, \(x_A^3{\kern0pt}{}\)의 값과 점 \(A{\kern0pt}{}\) 영역에서의 포물선의, 접선의 기울기 및 \(k{\kern0pt}{}\)에 관하여 \((4 - k)^3{\kern0pt}{}\)의 수치를 각각, 산출하시오.

[중앙대학교 제3회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제3회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 3차 다항식, 위의 점 영역에서의 접선과, 곡선으로 경계 및 내부 영역, 면적

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 15034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가, \(a{\kern0pt}{}\)인 3차, 다항식 \(y = f(x){\kern0pt}{}\) 위의, 점 \((\alpha, f(\alpha)){\kern0pt}{}\) 영역에서의, 접선이 곡선과 및 점 \((\beta, f(\beta)){\kern0pt}{}\) (\(\alpha \ne \beta{\kern0pt}{}\)) 영역에서, 다시 만날 및 때, 곡선과, 접선으로 경계 및 내부 영역, 면적는 \(S = \dfrac{|a|}{12}|\beta - \alpha|^4{\kern0pt}{}\)이다.

곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x{\kern0pt}{}\) 위의, 점 \(A(0, 0){\kern0pt}{}\) 영역에서의, 접선을 \(l{\kern0pt}{}\)이라고 둘 때, 접선 및 \(l{\kern0pt}{}\)과 곡선의, 교점 및 둘러싸인 넓이를, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 \(A(0, 0){\kern0pt}{}\) 영역에서의, 접선 \(l{\kern0pt}{}\)의 등식관계을, 구하고, 접선 및 \(l{\kern0pt}{}\)이 곡선과, 다시 만나는 및 점 \(B{\kern0pt}{}\)의 좌표를, 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선과 접선, \(l{\kern0pt}{}\)로 경계, 내부 영역 및 면적 \(S{\kern0pt}{}\)를 정적분으로, 계산하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 \(A{\kern0pt}{}\)와 점 \(B{\kern0pt}{}\) 사이의, 곡선 위의 및 점 \(P(t, t^3 - 3t^2 + 2t){\kern0pt}{}\) (\(0 \lt t \lt 3{\kern0pt}{}\)) 영역에서, 접선 \(l{\kern0pt}{}\)까지의 거리가, 최대가 되도록 및 하는 \(t{\kern0pt}{}\)의 값과, 그때의 \(\triangle PAB{\kern0pt}{}\)의 넓이를, 산출하시오.

[중앙대학교 제3회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제3회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 수직선, 위를 움직이는 및 점의 속도와, 위치의 변화량 및 및 움직인, 거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 15035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선, 위를 움직이는 및 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 시각 \(t{\kern0pt}{}\) 영역에서의 속도가 및 \(v(t){\kern0pt}{}\)이며, 또한 시각 및 \(t = 0{\kern0pt}{}\) 영역에서의 위치가 및 \(x_0{\kern0pt}{}\)인 조건에서, 시각 및 \(t = a{\kern0pt}{}\) 영역에서의 위치는 및 \(x(a) = x_0 + \int_0^a v(t)\,dt{\kern0pt}{}\)이며, 또한 시각 및 \(t = 0{\kern0pt}{}\)부터, \(t = a{\kern0pt}{}\)까지, 움직인 거리는 및 \(\int_0^a |v(t)|\,dt{\kern0pt}{}\)이다.

원점을, 출발하여 수직선 및 위를 움직이는, 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 시각 \(t{\kern0pt}{}\) (\(t \ge 0{\kern0pt}{}\)) 영역에서의 속도가 및 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9{\kern0pt}{}\)인 조건에서, 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 운동을 분석하고자 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(P{\kern0pt}{}\)가 출발 후 운동 방향을, 바꾸는 시각을 및 모두 구하고,, 각 시각 및 영역에서의 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 위치를 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각, \(t = 0{\kern0pt}{}\)부터, \(t = 4{\kern0pt}{}\)까지, 점 \(P{\kern0pt}{}\)의 위치의 변화량과 및 실제로 움직인, 거리를 각각 및 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 \(P{\kern0pt}{}\)가 출발 후 처음으로 다시, 원점을 지나는 및 시각 \(T{\kern0pt}{}\) (\(T \gt 0{\kern0pt}{}\))와, 그때의 가속도 및 \(a(T){\kern0pt}{}\)를 산출하시오.

[중앙대학교 제3회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제3회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.