2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집 | 2회 : 등차항열과 등비항열의, · 외접원의, 반지름과 사 · 3차 다항식 및 그래프 · 벡터를 및 이용한 공간 · 비복원 추출, 영역에서

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (2회차))

[대문항 1] (20점) 등차항열과 등비항열의, 공통항 항열 및 및 부분합, 추론

대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 15021 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

<제시문 (가)> 첫째항이 \(a{\kern0pt}{}{}{}\), 공차가, \(d{\kern0pt}{}{}{}\)인 등차항열의, 일반항은 \(a_n = a + (n - 1)d{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한,, 첫째항이 \(b{\kern0pt}{}{}{}\), 공비가, \(r{\kern0pt}{}{}{}\)인 등비항열의, 일반항은 \(b_m = b r^{m-1}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 첫째항부터, 제\(k{\kern0pt}{}{}{}\)항까지의 등비항열의, 합은 \(S_k = \dfrac{b(r^k - 1)}{r - 1}{\kern0pt}{}{}{}\) (\(r \ne 1{\kern0pt}{}{}{}\))이다.

등차항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}{}\)이 \(a_1 = 2,\; a_n = 3n - 1{\kern0pt}{}{}{}\)로 주어지고,, 등비항열 \(\{b_m\}{\kern0pt}{}{}{}\)이 \(b_1 = 2,\; b_m = 2^m{\kern0pt}{}{}{}\)으로 주어질, 때 두 항열에 공통으로, 나타나는 항들을 및 작은 수부터, 차례로 나열한 및 항열을 \(\{c_k\}{\kern0pt}{}{}{}\)라 하자., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(b_m = 2^m{\kern0pt}{}{}{}\)을 \(3{\kern0pt}{}{}{}\)으로 나눈, 나머지를 \(m{\kern0pt}{}{}{}\)의 홀짝성에, 따라 분류하고, 및 공통항이 되기, 위한 양의 및 정수 \(m{\kern0pt}{}{}{}\)의 조건을, 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 공통항 항열, \(\{c_k\}{\kern0pt}{}{}{}\)의 일반항, \(c_k{\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고,, \(c_k = a_{N_k}{\kern0pt}{}{}{}\)를 만족시키는, 등차항열의 항 번호 \(N_k{\kern0pt}{}{}{}\)를 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한, 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 합 \(\sum_{k=1}^{8} c_k{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(\sum_{k=1}^{8} N_k{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를, 각각 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(m\)은 홀수 (\(m = 2k - 1\)) | [1-2] \(c_k = 2 \cdot 4^{k-1},\; N_k = \dfrac{2 \cdot 4^{k-1} + 1}{3}\) | [1-3] \(\sum c_k = 43690,\; \sum N_k = 14566\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a_n = 3n - 1{\kern0pt}{}{}{}\)은 \(3{\kern0pt}{}{}{}\)으로 나눈, 나머지가 \(2{\kern0pt}{}{}{}\)인 양의, 정수들의 집합이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(2^m \equiv (-1)^m \pmod 3{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에, \(m{\kern0pt}{}{}{}\)이 홀수인, 조건에서 \(2^m \equiv 2 \pmod 3{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, \(m{\kern0pt}{}{}{}\)이 짝수인, 조건에서 \(2^m \equiv 1 \pmod 3{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 그러므로, \(m = 2k - 1{\kern0pt}{}{}{}\) (\(k \ge 1{\kern0pt}{}{}{}\))인 조건에서, 공통항이 되며 및 \(c_k = 2^{2k-1} = 2 \cdot 4^{k-1}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한,, \(3N_k - 1 = c_k \implies N_k = \dfrac{c_k + 1}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\sum_{k=1}^{8} c_k = \dfrac{2(4^8 - 1)}{4 - 1} = \dfrac{2 \times 65535}{3} = 43690{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한,, \(\sum_{k=1}^{8} N_k = \dfrac{1}{3}\left(\sum_{k=1}^{8} c_k + 8\right) = \dfrac{43698}{3} = 14566{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 거듭제곱 나머지 주기성 분석 +3점 / 홀수 지수 \(m = 2k - 1\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 일반항 \(c_k = 2 \cdot 4^{k-1}\) 산출 +4점 / 항 번호 \(N_k\) 표현 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 등비급수 합 \(43690\) 계산 +4점 / \(\sum N_k = 14566\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_n = 3n - 1{\kern0pt}{}{}{}\)을 만족시키는, 양의 정수 및 \(n{\kern0pt}{}{}{}\)은 \(2^m + 1{\kern0pt}{}{}{}\)이 \(3{\kern0pt}{}{}{}\)의 배수일, 필요충분조건과 동치입니다.

[대문항 2] (20점) 외접원의, 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 및 이용한 삼각형, 결정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 15022 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형, \(ABC{\kern0pt}{}{}{}\)의 외접원의 반지름을 및 \(R{\kern0pt}{}{}{}\)이라고, 둘 때 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R{\kern0pt}{}{}{}\)와 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A{\kern0pt}{}{}{}\)가 항상 성립한다.

반지름의, 길이가 \(R = \sqrt{7}{\kern0pt}{}{}{}\)인 원에 내접하는 및 삼각형 \(ABC{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 \(\angle A = \dfrac{\pi}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한 \(\overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 1{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서, 삼각형의 및 세 변과, 넓이를 분석하려 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을, 이용하여 변 \(BC{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이 \(a{\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고, \(\overline{AC} = k,\; \overline{AB} = 3k{\kern0pt}{}{}{}\)로 놓아 코사인법칙으로 및 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형, \(ABC{\kern0pt}{}{}{}\)의 넓이 \(S{\kern0pt}{}{}{}\)와 꼭짓점 \(A{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 변 \(BC{\kern0pt}{}{}{}\)에 내린 수선의 및 발 \(H{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 선분 및 \(AH{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이를 각각 및 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 \(A{\kern0pt}{}{}{}\)의 이등분선이 변 \(BC{\kern0pt}{}{}{}\)와 만나는 점을 및 \(D{\kern0pt}{}{}{}\)라고, 둘 때, 및 선분 \(AD{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = \sqrt{21},\; k = \sqrt{3}\) (\(\overline{AC}=\sqrt{3},\; \overline{AB}=3\sqrt{3}\)) | [2-2] \(S = \dfrac{9\sqrt{3}}{4},\; \overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}}\) | [2-3] \(\overline{AD} = \dfrac{9}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 사인법칙, \(a = 2R\sin A{\kern0pt}{}{}{}\)를 적용하고 코사인법칙에 및 \(\overline{AB}=3k,\; \overline{AC}=k{\kern0pt}{}{}{}\)를 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a = 2\sqrt{7}\sin\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{21}{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한, 코사인법칙 및 영역에서 \(21 = k^2 + 9k^2 - 3k^2 = 7k^2 \implies k = \sqrt{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이다., 그러므로 \(S = \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한, \(\dfrac{1}{2}\sqrt{21}\,\overline{AH} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4} \implies \overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 넓이, 분할 \(\operatorname{Area}(\triangle ABC) = \operatorname{Area}(\triangle ABD) + \operatorname{Area}(\triangle ACD){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 \(\dfrac{9\sqrt{3}}{4} = \dfrac{1}{2}(3\sqrt{3} + \sqrt{3})\overline{AD}\sin\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}\,\overline{AD} \implies \overline{AD} = \dfrac{9}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(a = \sqrt{21}\) 도출 +3점 / 코사인법칙 \(7k^2 = 21 \implies k = \sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점 / 수선의 길이 \(\overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}}\) 유도 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 넓이 분할 공식 수립 +4점 / \(\overline{AD} = \dfrac{9}{4}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 각의, 이등분선 길이는 및 \(\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{\pi}{6}{\kern0pt}{}{}{}\)을 이용한 넓이 및 합 공식으로, 가장 간결하게 및 유도됩니다.

[대문항 3] (20점) 3차 다항식 및 그래프의 변곡, 대칭성과 곡선 및 밖의 점 영역에서 그은 및 접선의 개수

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 15023 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\) 밖의 및 한 점 \((a, b){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 곡선에 그을, 수 있는 및 각각 상이한, 접선의 개수는 및 접점의 \(x{\kern0pt}{}{}{}\)좌표 \(t{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한 및 등식관계 \(b - f(t) = f'(t)(a - t){\kern0pt}{}{}{}\)의 각각 및 상이한 실근, \(t{\kern0pt}{}{}{}\)의 개수와 및 같다.

3차 다항식 및 \(f(x) = x^3 - 3x{\kern0pt}{}{}{}\)의 그래프와 및 점 \(P(1, k){\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 점 \(P{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\)에 그을 및 수 있는, 접선의 개수를 및 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\) 위의 및 점 \((t, t^3 - 3t){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 및 접선이 점 \(P(1, k){\kern0pt}{}{}{}\)를 지날 및 조건을 정리하여, \(k{\kern0pt}{}{}{}\)를 \(t{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한 및 삼차식 \(g(t){\kern0pt}{}{}{}\)로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 점 \(P(1, k){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\)에 각각 및 상이한 세 개의 접선을 및 그을 수 있도록 하는 및 실수 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)의 값의 및 범위를 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) \(k = -2{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 및 점 \(P(1, -2){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 곡선에 그은, 모든 접선의 및 등식관계과 세 접점(또는 두 접점)의 \(x{\kern0pt}{}{}{}\)좌표를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(k = -2t^3 + 3t^2 - 3\) | [3-2] \(-3 \lt k \lt -2\) | [3-3] 접점 \(t = -\dfrac{1}{2}, 1\), 접선 \(y = -2,\; y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{1}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 접선의 등식관계 및 \(y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t){\kern0pt}{}{}{}\)에 \((1, k){\kern0pt}{}{}{}\)를 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(k = (3t^2 - 3)(1 - t) + t^3 - 3t = -2t^3 + 3t^2 - 3 = g(t){\kern0pt}{}{}{}\)이다. \(g'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 \(g(0) = -3{\kern0pt}{}{}{}\) (극소), 및 \(g(1) = -2{\kern0pt}{}{}{}\) (극대)이기 및 때문에 각각, 상이한 세 실근을 가질, 조건은 \(-3 \lt k \lt -2{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(k = -2{\kern0pt}{}{}{}\)이면 \(-2t^3 + 3t^2 - 3 = -2 \implies (t - 1)^2(2t + 1) = 0{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에 및 접점의 \(x{\kern0pt}{}{}{}\)좌표는 \(t = 1{\kern0pt}{}{}{}\)과 \(t = -\dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}{}\)이다. \(t = 1{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 및 접선은 \(y = -2{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, 및 \(t = -\dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 및 기울기는 \(f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{9}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에 및 접선은 \(y + 2 = -\dfrac{9}{4}(x - 1) \implies y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{1}{4}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 접선 방정식 수립 +3점 / \(g(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(g(0) = -3,\; g(1) = -2\) 극값 계산 +4점 / \(-3 \lt k \lt -2\) 확정 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 중근 인수분해 \(t = 1, -\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점 / 두 접선의 방정식 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 3차 다항식 및 영역에서는 각각, 상이한 접점이 및 곧 각각, 상이한 접선에 및 일대일로 대응하므로, 등식관계 \(g(t) = k{\kern0pt}{}{}{}\)의 각각 및 상이한 실근의, 개수가 접선의 및 개수와 일치합니다.

[대문항 4] (20점) 벡터를 및 이용한 공간, 평면의 등식관계과 및 정사영 넓이, 및 사면체 및 부피

기하 Ⅲ-2. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 15024 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간 및 영역에서 점 \((x_0, y_0, z_0){\kern0pt}{}{}{}\)을 지나고 법선벡터가, \(\vec{n} = (a, b, c){\kern0pt}{}{}{}\)인 평면의 등식관계은, \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 및 두 평면이, 이루는 예각 및 \(\theta{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 및 또한 정사영의, 넓이는 \(S' = S\cos\theta{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

좌표공간 및 영역에서 세 점 \(A(3, 0, 0),\; B(0, 3, 0),\; C(0, 0, 6){\kern0pt}{}{}{}\)을 지나는 평면을, \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)라고 및 둘 때,, 평면 \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)의 등식관계과 정사영을, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 평면 및 \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)의 등식관계과 단위법선벡터를, 구하고, 원점 및 \(O(0, 0, 0){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 평면, \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)까지의 및 거리 \(d{\kern0pt}{}{}{}\)를 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 \(P(3, 3, 3){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 평면, \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)에 내린 수선의, 발 \(H{\kern0pt}{}{}{}\)의 좌표를 구하고,, 사면체 \(PABC{\kern0pt}{}{}{}\)의 부피를 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) [4-1] 및 \(2x + 2y + z - 6 = 0,\; d = 2{\kern0pt}{}{}{}\) | [4-2], \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{9}{2},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; S = \dfrac{27}{2}{\kern0pt}{}{}{}\) | [4-3], \(H(1, 1, 2),\; \text{부피 } \dfrac{27}{2}{\kern0pt}{}{}{}\)

🎯 모범 정답 : [4-1] \(2x + 2y + z - 6 = 0,\; d = 2\) | [4-2] \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{9}{2},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; S = \dfrac{27}{2}\) | [4-3] \(H\left(\dfrac{8}{9}, \dfrac{8}{9}, \dfrac{40}{9}\right),\; \text{부피 } \dfrac{15}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 절편형 및 평면의 등식관계, \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{6} = 1{\kern0pt}{}{}{}\)의 양변에 \(6{\kern0pt}{}{}{}\)을 곱한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 점 \(P(3, 3, 3){\kern0pt}{}{}{}\)을 지나고 법선벡터, 방향인 직선 및 위의 점 \(H(3 + 2t, 3 + 2t, 3 + t){\kern0pt}{}{}{}\)를 평면 \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)에 대입하면 \(2(3+2t)+2(3+2t)+(3+t)-6 = 9t + 9 = 0 \implies t = -1{\kern0pt}{}{}{}\)이기 및 때문에 \(H(1, 1, 2){\kern0pt}{}{}{}\)이다. 및 점 \(P{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 평면, \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)까지의 및 거리는 \(h = \dfrac{|6+6+3-6|}{3} = 3{\kern0pt}{}{}{}\)이기 및 때문에 사면체, \(PABC{\kern0pt}{}{}{}\)의 부피는 \(\dfrac{1}{3} S h = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{27}{2} \times 3 = \dfrac{27}{2}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 수선의 및 발 \(H(2 + 2t, 2 + 2t, 5 + t){\kern0pt}{}{}{}\)를 평면 \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)에 대입하면 \(2(2+2t)+2(2+2t)+(5+t)-6 = 9t + 7 = 0{\kern0pt}{}{}{}\) 대신 \(P(2, 2, 7){\kern0pt}{}{}{}\)이 아닌 \(P(2,2,5){\kern0pt}{}{}{}\)이면 및 \(t = -\dfrac{7}{9}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 및 또한 거리는, \(\dfrac{|4+4+5-6|}{3} = \dfrac{7}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 및 계산이 정수로, 떨어지도록 \(P(3, 3, 3){\kern0pt}{}{}{}\)으로 및 두거나 \(P(2,2,5){\kern0pt}{}{}{}\) 그대로 두어도, 되지만, 더 깔끔하게 점 \(P(4, 4, 3){\kern0pt}{}{}{}\)으로 및 설정하면 \(2(4)+2(4)+3-6 = 13{\kern0pt}{}{}{}\) 대신 \(P(3, 3, 3){\kern0pt}{}{}{}\)이면 및 \(6+6+3-6 = 9 \implies t = -1,\; H(1, 1, 2){\kern0pt}{}{}{}\), 거리는 \(\dfrac{9}{3} = 3{\kern0pt}{}{}{}\), 부피는 \(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{27}{2} \times 3 = \dfrac{27}{2}{\kern0pt}{}{}{}\)이다!

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 평면 방정식 \(2x + 2y + z - 6 = 0\) 도출 +3점 / 원점 거리 \(d = 2\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\) 유도 +3점 / 정사영 역산 \(S = \dfrac{27}{2}\) 도출 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 수선의 발 \(H(1, 1, 2)\) 산출 +4점 / 사면체 부피 \(\dfrac{27}{2}\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼각형 및 \(ABC{\kern0pt}{}{}{}\)의 세 변의, 길이를 직접 및 구하지 않고, \(xy{\kern0pt}{}{}{}\)평면 및 위로의 정사영, \(\triangle OAB{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)을 이용하면 계산, 시간을 대폭 및 단축할 수 있습니다.

[대문항 5] (20점) 비복원 추출, 영역에서 이산확률변량의 및 확률분포와 평균기댓값·분산

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15025 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 이산확률변량 \(X{\kern0pt}{}{}{}\)가 취하는, 값 \(x_1, x_2, \dots, x_n{\kern0pt}{}{}{}\)과 각 확률 \(p_i = P(X = x_i){\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여, 평균기댓값은 \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, 분산은 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 선형, 변환 \(Y = aX + b{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여, \(E(Y) = aE(X) + b,\; V(Y) = a^2 V(X){\kern0pt}{}{}{}\)이다.

붉은 공 \(4{\kern0pt}{}{}{}\)개와 푸른, 공 \(3{\kern0pt}{}{}{}\)개가 들어, 있는 주머니 및 영역에서 임의로, \(3{\kern0pt}{}{}{}\)개의 공을, 동시에 꺼낼 및 때, 나오는, 붉은 공의 및 개수를 확률변량, \(X{\kern0pt}{}{}{}\)라 하자., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률변량 \(X{\kern0pt}{}{}{}\)가 가질, 수 있는 및 모든 값에, 관하여 확률질량함수 및 \(P(X = k){\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고, 확률의 총합이 및 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)임을 확인하시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변량 \(X{\kern0pt}{}{}{}\)의 평균기댓값, \(E(X){\kern0pt}{}{}{}\)와 제곱의, 평균기댓값 \(E(X^2){\kern0pt}{}{}{}\)을 각각, 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 확률변량 \(X{\kern0pt}{}{}{}\)의 분산, \(V(X){\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고,, \(Y = 35X - 10{\kern0pt}{}{}{}\)의 평균, \(E(Y){\kern0pt}{}{}{}\)와 분산, \(V(Y){\kern0pt}{}{}{}\)를 각각, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(P(X=0)=\dfrac{1}{35},\; P(X=1)=\dfrac{12}{35},\; P(X=2)=\dfrac{18}{35},\; P(X=3)=\dfrac{4}{35}\) | [5-2] \(E(X)=\dfrac{12}{7},\; E(X^2)=\dfrac{24}{7}\) | [5-3] \(V(X)=\dfrac{24}{49},\; E(Y)=50,\; V(Y)=600\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 전체 경우의, 수 \({}_{7}\mathrm{C}_{3} = 35{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여, \(P(X = k) = \dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{k} \cdot {}_{3}\mathrm{C}_{3-k}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}}{\kern0pt}{}{}{}\) (\(k = 0, 1, 2, 3{\kern0pt}{}{}{}\))이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(k = 0, 1, 2, 3{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서, 분자는 각각 및 \(1, 12, 18, 4{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, 합은 \(35{\kern0pt}{}{}{}\)이기 때문에, 확률 합은 및 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)이다. \(E(X) = \dfrac{0\cdot 1 + 1\cdot 12 + 2\cdot 18 + 3\cdot 4}{35} = \dfrac{60}{35} = \dfrac{12}{7}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한,, \(E(X^2) = \dfrac{0 + 12 + 72 + 36}{35} = \dfrac{120}{35} = \dfrac{24}{7}{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(V(X) = \dfrac{24}{7} - \left(\dfrac{12}{7}\right)^2 = \dfrac{168 - 144}{49} = \dfrac{24}{49}{\kern0pt}{}{}{}\)이다. 그러므로, \(E(Y) = 35 \cdot \dfrac{12}{7} - 10 = 50{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한,, \(V(Y) = 35^2 \cdot \dfrac{24}{49} = 25 \times 24 = 600{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• 조합 공식 수립 +3점 / \(k=0,1,2,3\) 확률 \(4\)개 정확 도출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(E(X) = \dfrac{12}{7}\) 산출 +3점 / \(E(X^2) = \dfrac{24}{7}\) 계산 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(V(X) = \dfrac{24}{49}\) 도출 +3점 / \(E(Y) = 50,\; V(Y) = 600\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 선형 변환, \(Y = aX + b{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서, 상수항 \(b{\kern0pt}{}{}{}\)는 분산에, 영향을 주지 및 않으므로 \(V(aX + b) = a^2 V(X){\kern0pt}{}{}{}\)를 적용해야, 합니다.