2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 2회 문제집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (2회차))

[대문항 1] (20점) 등차항열과 등비항열의, 공통항 항열 및 및 부분합, 추론

대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 15021 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

<제시문 (가)> 첫째항이 \(a{\kern0pt}{}{}{}\), 공차가, \(d{\kern0pt}{}{}{}\)인 등차항열의, 일반항은 \(a_n = a + (n - 1)d{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한,, 첫째항이 \(b{\kern0pt}{}{}{}\), 공비가, \(r{\kern0pt}{}{}{}\)인 등비항열의, 일반항은 \(b_m = b r^{m-1}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 첫째항부터, 제\(k{\kern0pt}{}{}{}\)항까지의 등비항열의, 합은 \(S_k = \dfrac{b(r^k - 1)}{r - 1}{\kern0pt}{}{}{}\) (\(r \ne 1{\kern0pt}{}{}{}\))이다.

등차항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}{}\)이 \(a_1 = 2,\; a_n = 3n - 1{\kern0pt}{}{}{}\)로 주어지고,, 등비항열 \(\{b_m\}{\kern0pt}{}{}{}\)이 \(b_1 = 2,\; b_m = 2^m{\kern0pt}{}{}{}\)으로 주어질, 때 두 항열에 공통으로, 나타나는 항들을 및 작은 수부터, 차례로 나열한 및 항열을 \(\{c_k\}{\kern0pt}{}{}{}\)라 하자., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(b_m = 2^m{\kern0pt}{}{}{}\)을 \(3{\kern0pt}{}{}{}\)으로 나눈, 나머지를 \(m{\kern0pt}{}{}{}\)의 홀짝성에, 따라 분류하고, 및 공통항이 되기, 위한 양의 및 정수 \(m{\kern0pt}{}{}{}\)의 조건을, 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 공통항 항열, \(\{c_k\}{\kern0pt}{}{}{}\)의 일반항, \(c_k{\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고,, \(c_k = a_{N_k}{\kern0pt}{}{}{}\)를 만족시키는, 등차항열의 항 번호 \(N_k{\kern0pt}{}{}{}\)를 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한, 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 합 \(\sum_{k=1}^{8} c_k{\kern0pt}{}{}{}\)와 \(\sum_{k=1}^{8} N_k{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를, 각각 산출하시오.

[중앙대학교 제2회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제2회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 외접원의, 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 및 이용한 삼각형, 결정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 15022 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형, \(ABC{\kern0pt}{}{}{}\)의 외접원의 반지름을 및 \(R{\kern0pt}{}{}{}\)이라고, 둘 때 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R{\kern0pt}{}{}{}\)와 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A{\kern0pt}{}{}{}\)가 항상 성립한다.

반지름의, 길이가 \(R = \sqrt{7}{\kern0pt}{}{}{}\)인 원에 내접하는 및 삼각형 \(ABC{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 \(\angle A = \dfrac{\pi}{3}{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 또한 \(\overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 1{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서, 삼각형의 및 세 변과, 넓이를 분석하려 및 한다. 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을, 이용하여 변 \(BC{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이 \(a{\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고, \(\overline{AC} = k,\; \overline{AB} = 3k{\kern0pt}{}{}{}\)로 놓아 코사인법칙으로 및 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형, \(ABC{\kern0pt}{}{}{}\)의 넓이 \(S{\kern0pt}{}{}{}\)와 꼭짓점 \(A{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 변 \(BC{\kern0pt}{}{}{}\)에 내린 수선의 및 발 \(H{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 선분 및 \(AH{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이를 각각 및 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 \(A{\kern0pt}{}{}{}\)의 이등분선이 변 \(BC{\kern0pt}{}{}{}\)와 만나는 점을 및 \(D{\kern0pt}{}{}{}\)라고, 둘 때, 및 선분 \(AD{\kern0pt}{}{}{}\)의 길이를 산출하시오.

[중앙대학교 제2회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제2회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 3차 다항식 및 그래프의 변곡, 대칭성과 곡선 및 밖의 점 영역에서 그은 및 접선의 개수

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 15023 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\) 밖의 및 한 점 \((a, b){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 곡선에 그을, 수 있는 및 각각 상이한, 접선의 개수는 및 접점의 \(x{\kern0pt}{}{}{}\)좌표 \(t{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한 및 등식관계 \(b - f(t) = f'(t)(a - t){\kern0pt}{}{}{}\)의 각각 및 상이한 실근, \(t{\kern0pt}{}{}{}\)의 개수와 및 같다.

3차 다항식 및 \(f(x) = x^3 - 3x{\kern0pt}{}{}{}\)의 그래프와 및 점 \(P(1, k){\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 및 점 \(P{\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\)에 그을 및 수 있는, 접선의 개수를 및 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\) 위의 및 점 \((t, t^3 - 3t){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서의 및 접선이 점 \(P(1, k){\kern0pt}{}{}{}\)를 지날 및 조건을 정리하여, \(k{\kern0pt}{}{}{}\)를 \(t{\kern0pt}{}{}{}\)에 대한 및 삼차식 \(g(t){\kern0pt}{}{}{}\)로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 점 \(P(1, k){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}{}\)에 각각 및 상이한 세 개의 접선을 및 그을 수 있도록 하는 및 실수 \(k{\kern0pt}{}{}{}\)의 값의 및 범위를 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) \(k = -2{\kern0pt}{}{}{}\)인 조건에서 및 점 \(P(1, -2){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 및 곡선에 그은, 모든 접선의 및 등식관계과 세 접점(또는 두 접점)의 \(x{\kern0pt}{}{}{}\)좌표를 산출하시오.

[중앙대학교 제2회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제2회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 벡터를 및 이용한 공간, 평면의 등식관계과 및 정사영 넓이, 및 사면체 및 부피

기하 Ⅲ-2. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 15024 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간 및 영역에서 점 \((x_0, y_0, z_0){\kern0pt}{}{}{}\)을 지나고 법선벡터가, \(\vec{n} = (a, b, c){\kern0pt}{}{}{}\)인 평면의 등식관계은, \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 및 두 평면이, 이루는 예각 및 \(\theta{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여 \(\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}{\kern0pt}{}{}{}\)이며 및 또한 정사영의, 넓이는 \(S' = S\cos\theta{\kern0pt}{}{}{}\)이다.

좌표공간 및 영역에서 세 점 \(A(3, 0, 0),\; B(0, 3, 0),\; C(0, 0, 6){\kern0pt}{}{}{}\)을 지나는 평면을, \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)라고 및 둘 때,, 평면 \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)의 등식관계과 정사영을, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 평면 및 \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)의 등식관계과 단위법선벡터를, 구하고, 원점 및 \(O(0, 0, 0){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 평면, \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)까지의 및 거리 \(d{\kern0pt}{}{}{}\)를 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 \(P(3, 3, 3){\kern0pt}{}{}{}\) 영역에서 평면, \(\alpha{\kern0pt}{}{}{}\)에 내린 수선의, 발 \(H{\kern0pt}{}{}{}\)의 좌표를 구하고,, 사면체 \(PABC{\kern0pt}{}{}{}\)의 부피를 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) [4-1] 및 \(2x + 2y + z - 6 = 0,\; d = 2{\kern0pt}{}{}{}\) | [4-2], \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{9}{2},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; S = \dfrac{27}{2}{\kern0pt}{}{}{}\) | [4-3], \(H(1, 1, 2),\; \text{부피 } \dfrac{27}{2}{\kern0pt}{}{}{}\)

[중앙대학교 제2회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제2회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 비복원 추출, 영역에서 이산확률변량의 및 확률분포와 평균기댓값·분산

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15025 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 이산확률변량 \(X{\kern0pt}{}{}{}\)가 취하는, 값 \(x_1, x_2, \dots, x_n{\kern0pt}{}{}{}\)과 각 확률 \(p_i = P(X = x_i){\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여, 평균기댓값은 \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i{\kern0pt}{}{}{}\)이며 또한, 분산은 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2{\kern0pt}{}{}{}\)이며, 선형, 변환 \(Y = aX + b{\kern0pt}{}{}{}\)에 관하여, \(E(Y) = aE(X) + b,\; V(Y) = a^2 V(X){\kern0pt}{}{}{}\)이다.

붉은 공 \(4{\kern0pt}{}{}{}\)개와 푸른, 공 \(3{\kern0pt}{}{}{}\)개가 들어, 있는 주머니 및 영역에서 임의로, \(3{\kern0pt}{}{}{}\)개의 공을, 동시에 꺼낼 및 때, 나오는, 붉은 공의 및 개수를 확률변량, \(X{\kern0pt}{}{}{}\)라 하자., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률변량 \(X{\kern0pt}{}{}{}\)가 가질, 수 있는 및 모든 값에, 관하여 확률질량함수 및 \(P(X = k){\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고, 확률의 총합이 및 \(1{\kern0pt}{}{}{}\)임을 확인하시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변량 \(X{\kern0pt}{}{}{}\)의 평균기댓값, \(E(X){\kern0pt}{}{}{}\)와 제곱의, 평균기댓값 \(E(X^2){\kern0pt}{}{}{}\)을 각각, 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 확률변량 \(X{\kern0pt}{}{}{}\)의 분산, \(V(X){\kern0pt}{}{}{}\)를 구하고,, \(Y = 35X - 10{\kern0pt}{}{}{}\)의 평균, \(E(Y){\kern0pt}{}{}{}\)와 분산, \(V(Y){\kern0pt}{}{}{}\)를 각각, 산출하시오.

[중앙대학교 제2회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제2회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.