2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 1회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 1회 해설집 | 1회 : 로그등식관계의 및 치환 · 삼각함수의 주기·대칭성 · 평균값, 정리를 이용한 · 정적분으로 정의된 및 · 표본비율의 및 정규분포

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (1회차))

[대문항 1] (20점) 로그등식관계의 및 치환과 두 실근의 곱 및 정수, 계수 조건

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 15011 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 양의 및 실수 \(x{\kern0pt}{}{}\)에 대한 등식관계, \((\log_3 x)^2 - k \log_3 x + m = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(t = \log_3 x{\kern0pt}{}{}\)로 치환하면, 원래, 등식관계의 각각 및 상이한 두 양의 실근 및 \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\)는 치환된 이차등식관계의, 두 실근 및 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta{\kern0pt}{}{}\)에 대응하며 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta){\kern0pt}{}{}\)가 항상 성립한다.

양의 및 실수 \(x{\kern0pt}{}{}\)에 대한 등식관계, \((\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + m = 0{\kern0pt}{}{}\)이 각각 상이한, 두 실근 및 \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\) (\(1 \lt \alpha \lt \beta{\kern0pt}{}{}\))를 및 갖도록 하는, 실수 \(m{\kern0pt}{}{}\)과 근의 성질을, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 및 (가)의 치환을, 이용하여 두 실근의 곱 \(\alpha\beta{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 관계없이 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\)가 모두 \(1{\kern0pt}{}{}\)보다 및 크고 서로, 다르기 위한 및 실수 \(m{\kern0pt}{}{}\)의 값의 범위를, 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{10}{3}{\kern0pt}{}{}\)이 성립할 때,, 상수 \(m{\kern0pt}{}{}\)의 값과 \(\alpha + \beta{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 각각, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\alpha\beta = 81\) | [1-2] \(0 \lt m \lt 4\) | [1-3] \(m = 3,\; \alpha + \beta = 30\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(t = \log_3 x{\kern0pt}{}{}\)로 치환하면 \(t^2 - 4t + m = 0{\kern0pt}{}{}\)의 두 실근이, \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 근과 및 계수의 관계, 영역에서 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta) = 4 \implies \alpha\beta = 3^4 = 81{\kern0pt}{}{}\)이다. 및 \(\alpha, \beta \gt 1 \iff t_1, t_2 \gt 0{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 판별식, \(D/4 = 4 - m \gt 0{\kern0pt}{}{}\)과 두 근의, 곱 \(t_1 t_2 = m \gt 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(0 \lt m \lt 4{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{t_2}{t_1} + \dfrac{t_1}{t_2} = \dfrac{(t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2}{t_1 t_2} = \dfrac{16 - 2m}{m} = \dfrac{10}{3}{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(48 - 6m = 10m \implies m = 3{\kern0pt}{}{}\)이다. 및 그러므로 \(t_1 = 1, t_2 = 3{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 \(\alpha = 3, \beta = 27,\; \alpha + \beta = 30{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 치환 방정식 \(t^2 - 4t + m = 0\) 수립 +3점 / \(\alpha\beta = 81\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 판별식 \(4 - m \gt 0\) 도출 +3점 / 양근 조건 \(0 \lt m \lt 4\) 확정 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 밑변환 식 \(\dfrac{16 - 2m}{m} = \dfrac{10}{3}\) 수립 +4점 / \(m = 3,\; \alpha + \beta = 30\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 두 실근 \(\alpha, \beta \gt 1{\kern0pt}{}{}\) 조건은 치환, 변수 \(t = \log_3 x{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(t \gt 0{\kern0pt}{}{}\)에 대응하므로 \(t_1 t_2 = m \gt 0{\kern0pt}{}{}\)을 반드시 포함해야, 합니다.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 주기·대칭성과, 등식관계의 모든 및 실근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15012 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = \sin(\omega x){\kern0pt}{}{}\) (\(\omega \gt 0{\kern0pt}{}{}\))의 주기는, \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}{\kern0pt}{}{}\)이며, 그래프가, 직선 \(x = s{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, 대칭인 조건에서 및 직선 \(y = k{\kern0pt}{}{}\)와 만나는, 교점의 \(x{\kern0pt}{}{}\)좌표들은 대칭축, \(x = s{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, 짝을 지어 및 대칭을 이룬다.

닫힌구간 \([0, 4]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 정의된 함수 및 \(f(x) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right){\kern0pt}{}{}\)의 그래프와, 직선 \(y = k{\kern0pt}{}{}\) (\(0 \lt k \lt 2{\kern0pt}{}{}\)) 및 원점을 지나는 및 직선의 교점을, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 주기를, 구하고, 닫힌구간 및 \([0, 4]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 등식관계 \(f(x) = k{\kern0pt}{}{}\) (\(0 \lt k \lt 2{\kern0pt}{}{}\))의 모든, 실근의 개수와 및 그 실근들의, 합을 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 등식관계 \(f(x) = 1{\kern0pt}{}{}\)의 닫힌구간, \([0, 4]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서의, 두 실근을 및 \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\) (\(\alpha \lt \beta{\kern0pt}{}{}\))라고 둘 때, \(\beta - \alpha{\kern0pt}{}{}\)의 값과, 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}\) 위의, 두 점 \((\alpha, 1), (\beta, 1){\kern0pt}{}{}\) 및 점 \((1, 2){\kern0pt}{}{}\)를 꼭짓점으로, 하는 삼각형의 및 넓이를 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) 실수 전체, 영역에서 등식관계 및 \(2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{3}x{\kern0pt}{}{}\)의 각각, 상이한 모든 및 실근의 개수를, 구하고 그 실근들의 합을, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] 주기 \(4\), 실근 \(2\)개, 합 \(2\) | [2-2] \(\beta - \alpha = \dfrac{4}{3}\), 넓이 \(\dfrac{2}{3}\) | [2-3] 실근 \(7\)개, 합 \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4{\kern0pt}{}{}\)이며 또한, 구간 \([0, 2]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, \(f(x) \ge 0{\kern0pt}{}{}\)이며 대칭축은, \(x = 1{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(0 \lt k \lt 2{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서, 구간 \([0, 4]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, \(f(x) = k{\kern0pt}{}{}\)의 두 실근은 \(x = 1{\kern0pt}{}{}\)에 대칭이기, 때문에 합은 및 \(2{\kern0pt}{}{}\)이다. \(k = 1{\kern0pt}{}{}\)이면 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, \(\alpha = \dfrac{1}{3},\; \beta = \dfrac{5}{3}{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, \(\beta - \alpha = \dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}{}\)이며 또한, 높이가 \(2 - 1 = 1{\kern0pt}{}{}\)인 삼각형의, 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times 1 = \dfrac{2}{3}{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\left|\dfrac{1}{3}x\right| \le 2 \iff |x| \le 6{\kern0pt}{}{}\)이다. \(x = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 만나고 \(x \gt 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 구간 \((0, 2]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, \(1{\kern0pt}{}{}\)개, \([4, 6]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, \(f(5) = 2 \gt \dfrac{5}{3},\; f(6) = 0 \lt 2{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, \(2{\kern0pt}{}{}\)개 만나, 양의 실수 및 실근이 \(3{\kern0pt}{}{}\)개이다. 기함수, 대칭성에 의해 및 음수 실근도, \(3{\kern0pt}{}{}\)개이기 때문에, 총 \(7{\kern0pt}{}{}\)개이며 모든, 실근의 합은 및 \(0{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 주기 \(T = 4\) 도출 +3점 / 대칭축 \(x = 1\)을 통한 실근 합 \(2\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(\alpha = \dfrac{1}{3},\; \beta = \dfrac{5}{3}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(\dfrac{2}{3}\) 도출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 양수 실근 \(3\)개 및 전체 \(7\)개 판별 +4점 / 기함수 대칭 합 \(0\) 논증 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 직선 \(y = \dfrac{1}{3}x{\kern0pt}{}{}\)가 최고점, \((5, 2){\kern0pt}{}{}\) 아래를, 지나므로 구간 및 \([4, 6]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 두 번 만난다는 점을, 그래프 개형으로 및 명확히 서술해야, 합니다.

[대문항 3] (20점) 평균값, 정리를 이용한 및 다항함수의 변화율, 추론과 항열의 및 극한

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 15013 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수, \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 닫힌구간 \([a, b]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 연속이며 및 또한 열린구간, \((a, b){\kern0pt}{}{}\) 영역에서 미분가능하면, 및 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c){\kern0pt}{}{}\)를 만족시키는 실수 및 \(c{\kern0pt}{}{}\)가 열린구간 \((a, b){\kern0pt}{}{}\)에 적어도 하나 및 반드시 존재한다.

3차, 다항식 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 평균값 및 정리를 만족시키는, 상수와 극한을 및 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 닫힌구간, \([0, 3]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)에 평균값 정리를 및 적용할 때,, \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c){\kern0pt}{}{}\)를 만족시키는 열린구간 및 \((0, 3){\kern0pt}{}{}\) 내의 상수 및 \(c{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 모든, 실수 \(x{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(f'(x) \ge 2{\kern0pt}{}{}\)임을, 증명하고, 임의의 및 두 실수, \(x_1 \lt x_2{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 2(x_2 - x_1){\kern0pt}{}{}\)이 성립함을 평균값 및 정리로 보이시오.

[문항 3-3] (7점) 양의, 정수 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 닫힌구간 및 \([n, n + 1]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 평균값 및 정리를 만족시키는, 상수를 \(c_n \in (n, n + 1){\kern0pt}{}{}\)이라고, 둘 때, 및 극한값 \(\lim_{n \to \infty} (c_n - n){\kern0pt}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(c = 1 + \sqrt{2}\) | [3-2] \(f'(x) = 3(x-1)^2 + 2 \ge 2\) | [3-3] \(\dfrac{1}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 = 3(x - 1)^2 + 2{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3} = \dfrac{16 - 1}{3} = 5{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 \(3c^2 - 6c + 5 = 5 \implies 3c(c - 2) = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(c \in (0, 3){\kern0pt}{}{}\)인 값은 \(c = 2{\kern0pt}{}{}\)이다!, 검산: \(f(3) = 27 - 27 + 15 + 1 = 16,\; f(0) = 1{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 평균변화율은 및 \(5{\kern0pt}{}{}\)이며, 또한 \(3c^2 - 6c + 5 = 5 \implies c = 2{\kern0pt}{}{}\)이다., 또한 모든 및 실수 \(x{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(f'(x) = 3(x-1)^2 + 2 \ge 2{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 \(x_1 \lt x_2{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(\xi) \ge 2{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(n+1) - f(n) = 3n^2 - 3n + 3 = f'(c_n) = 3c_n^2 - 6c_n + 5{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(3(c_n - 1)^2 = 3n^2 - 3n + 1{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 \(c_n - 1 = \sqrt{n^2 - n + \dfrac{1}{3}}{\kern0pt}{}{}\)이며, 또한, \(\lim_{n \to \infty} (c_n - n) = \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 - n + \dfrac{1}{3}} - (n - 1)\right) = \dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 평균변화율 \(5\) 계산 +3점 / \(c = 2 \in (0, 3)\) 확정 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 완전제곱식 \(3(x-1)^2 + 2 \ge 2\) 변형 +3점 / 평균값 정리 부등식 논증 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(c_n\)에 대한 이차방정식 수립 +4점 / 유리화 극한 \(\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(3c(c - 2) = 0{\kern0pt}{}{}\)의 두 해 \(c = 0, 2{\kern0pt}{}{}\) 중 열린구간 및 \((0, 3){\kern0pt}{}{}\)에 속하는 해는 및 \(c = 2{\kern0pt}{}{}\)뿐임을, 명시해야 합니다.

[대문항 4] (20점) 정적분으로 정의된 및 함수의 미분과, 극댓값·극솟값의 차

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 및 \(f(t){\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 \(F(x) = \int_a^x (x - t)f'(t)\,dt{\kern0pt}{}{}\)로 정의된 및 함수는 부분적분, 또는 전개 및 미분법에 의하여, \(F'(x) = \int_a^x f'(t)\,dt = f(x) - f(a){\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 \(F''(x) = f'(x){\kern0pt}{}{}\)를 만족시킨다.

포물선 함수 및 \(f(x) = x^2 - 4x + 3{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 함수 \(g(x) = \int_1^x f(t)\,dt{\kern0pt}{}{}\)로 정의할 및 때, 함수, \(g(x){\kern0pt}{}{}\)의 극값과 및 넓이를 분석하고자, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}\)의 도함수 및 \(g'(x){\kern0pt}{}{}\)를 구하고, 및 함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}\)가 극댓수치를 및 갖는 \(x{\kern0pt}{}{}\)의 값과 및 극솟수치를 갖는, \(x{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}\)의 극댓값과 및 극솟수치를 각각, 구하고, 등식관계 및 \(g(x) = 0{\kern0pt}{}{}\)의 각각 및 상이한 모든, 실근을 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = g(x){\kern0pt}{}{}\)와 직선 및 \(y = -\dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}{}\)으로 경계 및 내부 영역, 면적를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(g'(x) = (x-1)(x-3)\), 극대 \(x = 1\), 극소 \(x = 3\) | [4-2] 극댓값 \(0\), 극솟값 \(-\dfrac{4}{3}\), 실근 \(x = 1, 4\) | [4-3] \(\dfrac{4}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미적분의 기본정리에 및 의하여 \(g'(x) = f(x) = (x - 1)(x - 3){\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 \(g(1) = 0{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x = 1{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 극댓값 \(g(1) = 0{\kern0pt}{}{}\)을 갖고, 및 \(x = 3{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 극솟값 \(g(3) = \int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = -\dfrac{1}{6}(3 - 1)^3 = -\dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}{}\)을 갖는다. 및 \(g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}(x - 1)^2(x - 4) = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 실근은 \(x = 1, 4{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(x) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}x(x - 3)^2{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 직선 \(y = -\dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}{}\)은 \(x = 3{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 접하고 \(x = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 만난다. 그러므로, 둘러싸인 넓이는 및 \(\dfrac{1/3}{12}(3 - 0)^4 = \dfrac{81}{36} = \dfrac{9}{4}{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(g'(x) = (x-1)(x-3)\) 도출 +3점 / 극대 \(x=1,\;\) 극소 \(x=3\) 판별 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 극댓값 \(0,\;\) 극솟값 \(-\dfrac{4}{3}\) 산출 +4점 / 실근 \(x = 1, 4\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 교점 \(x = 0, 3\) 인수분해 +3점 / 넓이 \(\dfrac{9}{4}\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(g(x) = \dfrac{1}{3}(x-1)^2(x-4){\kern0pt}{}{}\)와 \(y = -\dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}{}\)의 차는 및 \(\dfrac{1}{3}x(x-3)^2{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에 및 적분 구간이, \([0, 3]{\kern0pt}{}{}\)임을 정확히 및 찾아야 합니다.

[대문항 5] (20점) 표본비율의 및 정규분포 근사와, 모비율의 신뢰구간 및 추정

확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 15015 변형 | 성취기준: 12확통03-06]

<제시문 (가)> 모비율이 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)인 모집단 영역에서, 크기가 \(n{\kern0pt}{}{}\)인 표본을 임의추출할, 때 표본비율 및 \(\hat{p}{\kern0pt}{}{}\)의 평균과 표준편차는, \(E(\hat{p}) = p,\; \sigma(\hat{p}) = \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}{\kern0pt}{}{}\)이며, 및 \(n{\kern0pt}{}{}\)이 충분히 클 때 모비율 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)의 신뢰도 \(95\%{\kern0pt}{}{}\) 신뢰구간은 \(\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}{\kern0pt}{}{}\)이다.

어느 및 도시의 시민, 전체를 대상으로 및 자율주행 버스, 도입 찬성 및 비율 \(p{\kern0pt}{}{}\)를 알아보기 위해, \(n = 400{\kern0pt}{}{}\)명을 및 임의추출하여 조사한, 결과 \(320{\kern0pt}{}{}\)명이 및 찬성하였다. (단,, \(P(|Z| \le 1.96) = 0.95,\; P(|Z| \le 2.58) = 0.99{\kern0pt}{}{}\)) 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 표본비율 및 \(\hat{p}{\kern0pt}{}{}\)의 값과 \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 각각, 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 모비율 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)에 대한 신뢰도, \(95\%{\kern0pt}{}{}\)의 신뢰구간 \([a, b]{\kern0pt}{}{}\)를 구하고 신뢰구간의, 길이 \(L = b - a{\kern0pt}{}{}\)를 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 표본비율 및 \(\hat{p}{\kern0pt}{}{}\)가 위와 같을, 때, 모비율 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)에 대한 신뢰도, \(99\%{\kern0pt}{}{}\)의 신뢰구간의 길이가, \(0.0516{\kern0pt}{}{}\) 이하가 되도록, 하는 최소의 및 표본의 크기, \(N{\kern0pt}{}{}\)을 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(\hat{p} = 0.8,\; \text{표준오차 } 0.02\) | [5-2] \([0.7608, 0.8392],\; L = 0.0784\) | [5-3] \(N = 1600\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\hat{p} = \dfrac{320}{400} = 0.8{\kern0pt}{}{}\)이며 및 또한 \(\hat{p}(1 - \hat{p}) = 0.8 \times 0.2 = 0.16{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 표준오차는 및 \(\sqrt{\dfrac{0.16}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = 0.02{\kern0pt}{}{}\)이다. 및 신뢰도 \(95\%{\kern0pt}{}{}\) 오차한계는 \(1.96 \times 0.02 = 0.0392{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 신뢰구간은, \([0.7608, 0.8392]{\kern0pt}{}{}\)이며 및 또한 길이는, \(L = 2 \times 0.0392 = 0.0784{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 신뢰도 및 \(99\%{\kern0pt}{}{}\) 신뢰구간의 길이는, \(2 \times 2.58 \sqrt{\dfrac{0.16}{N}} \le 0.0516 \iff 2 \times \dfrac{0.4}{\sqrt{N}} \le 0.02 \iff \sqrt{N} \ge 40 \implies N \ge 1600{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 최소, 표본 크기는 및 \(1600{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\hat{p} = 0.8\) 산출 +3점 / 표준오차 \(0.02\) 계산 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 신뢰구간 \([0.7608, 0.8392]\) 도출 +4점 / 길이 \(0.0784\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(99\%\) 길이 부등식 수립 +4점 / 최소 표본 크기 \(N = 1600\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 및 개정 확률과, 통계(`12확통03-06`) 영역에서 및 재도입된 모비율, 추정 공식 및 영역에서 신뢰구간의, 길이는 오차한계의 및 \(2{\kern0pt}{}{}\)배임을 및 정확히 반영해야, 합니다.