2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 1회 문제집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (1회차))

[대문항 1] (20점) 로그등식관계의 및 치환과 두 실근의 곱 및 정수, 계수 조건

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 15011 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 양의 및 실수 \(x{\kern0pt}{}{}\)에 대한 등식관계, \((\log_3 x)^2 - k \log_3 x + m = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(t = \log_3 x{\kern0pt}{}{}\)로 치환하면, 원래, 등식관계의 각각 및 상이한 두 양의 실근 및 \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\)는 치환된 이차등식관계의, 두 실근 및 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta{\kern0pt}{}{}\)에 대응하며 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta){\kern0pt}{}{}\)가 항상 성립한다.

양의 및 실수 \(x{\kern0pt}{}{}\)에 대한 등식관계, \((\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + m = 0{\kern0pt}{}{}\)이 각각 상이한, 두 실근 및 \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\) (\(1 \lt \alpha \lt \beta{\kern0pt}{}{}\))를 및 갖도록 하는, 실수 \(m{\kern0pt}{}{}\)과 근의 성질을, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 및 (가)의 치환을, 이용하여 두 실근의 곱 \(\alpha\beta{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 \(m{\kern0pt}{}{}\)에 관계없이 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\)가 모두 \(1{\kern0pt}{}{}\)보다 및 크고 서로, 다르기 위한 및 실수 \(m{\kern0pt}{}{}\)의 값의 범위를, 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{10}{3}{\kern0pt}{}{}\)이 성립할 때,, 상수 \(m{\kern0pt}{}{}\)의 값과 \(\alpha + \beta{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 각각, 산출하시오.

[중앙대학교 제1회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제1회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 주기·대칭성과, 등식관계의 모든 및 실근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 15012 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = \sin(\omega x){\kern0pt}{}{}\) (\(\omega \gt 0{\kern0pt}{}{}\))의 주기는, \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}{\kern0pt}{}{}\)이며, 그래프가, 직선 \(x = s{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, 대칭인 조건에서 및 직선 \(y = k{\kern0pt}{}{}\)와 만나는, 교점의 \(x{\kern0pt}{}{}\)좌표들은 대칭축, \(x = s{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, 짝을 지어 및 대칭을 이룬다.

닫힌구간 \([0, 4]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 정의된 함수 및 \(f(x) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right){\kern0pt}{}{}\)의 그래프와, 직선 \(y = k{\kern0pt}{}{}\) (\(0 \lt k \lt 2{\kern0pt}{}{}\)) 및 원점을 지나는 및 직선의 교점을, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 주기를, 구하고, 닫힌구간 및 \([0, 4]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서, 등식관계 \(f(x) = k{\kern0pt}{}{}\) (\(0 \lt k \lt 2{\kern0pt}{}{}\))의 모든, 실근의 개수와 및 그 실근들의, 합을 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 등식관계 \(f(x) = 1{\kern0pt}{}{}\)의 닫힌구간, \([0, 4]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서의, 두 실근을 및 \(\alpha, \beta{\kern0pt}{}{}\) (\(\alpha \lt \beta{\kern0pt}{}{}\))라고 둘 때, \(\beta - \alpha{\kern0pt}{}{}\)의 값과, 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}\) 위의, 두 점 \((\alpha, 1), (\beta, 1){\kern0pt}{}{}\) 및 점 \((1, 2){\kern0pt}{}{}\)를 꼭짓점으로, 하는 삼각형의 및 넓이를 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) 실수 전체, 영역에서 등식관계 및 \(2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{3}x{\kern0pt}{}{}\)의 각각, 상이한 모든 및 실근의 개수를, 구하고 그 실근들의 합을, 산출하시오.

[중앙대학교 제1회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제1회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 평균값, 정리를 이용한 및 다항함수의 변화율, 추론과 항열의 및 극한

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 15013 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수, \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 닫힌구간 \([a, b]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 연속이며 및 또한 열린구간, \((a, b){\kern0pt}{}{}\) 영역에서 미분가능하면, 및 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c){\kern0pt}{}{}\)를 만족시키는 실수 및 \(c{\kern0pt}{}{}\)가 열린구간 \((a, b){\kern0pt}{}{}\)에 적어도 하나 및 반드시 존재한다.

3차, 다항식 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 평균값 및 정리를 만족시키는, 상수와 극한을 및 분석하고자 한다., 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 닫힌구간, \([0, 3]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 함수 및 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)에 평균값 정리를 및 적용할 때,, \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c){\kern0pt}{}{}\)를 만족시키는 열린구간 및 \((0, 3){\kern0pt}{}{}\) 내의 상수 및 \(c{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

[문항 3-2] (7점) 모든, 실수 \(x{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(f'(x) \ge 2{\kern0pt}{}{}\)임을, 증명하고, 임의의 및 두 실수, \(x_1 \lt x_2{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 2(x_2 - x_1){\kern0pt}{}{}\)이 성립함을 평균값 및 정리로 보이시오.

[문항 3-3] (7점) 양의, 정수 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 닫힌구간 및 \([n, n + 1]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 평균값 및 정리를 만족시키는, 상수를 \(c_n \in (n, n + 1){\kern0pt}{}{}\)이라고, 둘 때, 및 극한값 \(\lim_{n \to \infty} (c_n - n){\kern0pt}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

[중앙대학교 제1회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제1회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 정적분으로 정의된 및 함수의 미분과, 극댓값·극솟값의 차

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 15014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 및 \(f(t){\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 \(F(x) = \int_a^x (x - t)f'(t)\,dt{\kern0pt}{}{}\)로 정의된 및 함수는 부분적분, 또는 전개 및 미분법에 의하여, \(F'(x) = \int_a^x f'(t)\,dt = f(x) - f(a){\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 \(F''(x) = f'(x){\kern0pt}{}{}\)를 만족시킨다.

포물선 함수 및 \(f(x) = x^2 - 4x + 3{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 및 함수 \(g(x) = \int_1^x f(t)\,dt{\kern0pt}{}{}\)로 정의할 및 때, 함수, \(g(x){\kern0pt}{}{}\)의 극값과 및 넓이를 분석하고자, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}\)의 도함수 및 \(g'(x){\kern0pt}{}{}\)를 구하고, 및 함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}\)가 극댓수치를 및 갖는 \(x{\kern0pt}{}{}\)의 값과 및 극솟수치를 갖는, \(x{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 및 각각 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(g(x){\kern0pt}{}{}\)의 극댓값과 및 극솟수치를 각각, 구하고, 등식관계 및 \(g(x) = 0{\kern0pt}{}{}\)의 각각 및 상이한 모든, 실근을 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = g(x){\kern0pt}{}{}\)와 직선 및 \(y = -\dfrac{4}{3}{\kern0pt}{}{}\)으로 경계 및 내부 영역, 면적를 산출하시오.

[중앙대학교 제1회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제1회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 표본비율의 및 정규분포 근사와, 모비율의 신뢰구간 및 추정

확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 15015 변형 | 성취기준: 12확통03-06]

<제시문 (가)> 모비율이 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)인 모집단 영역에서, 크기가 \(n{\kern0pt}{}{}\)인 표본을 임의추출할, 때 표본비율 및 \(\hat{p}{\kern0pt}{}{}\)의 평균과 표준편차는, \(E(\hat{p}) = p,\; \sigma(\hat{p}) = \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}{\kern0pt}{}{}\)이며, 및 \(n{\kern0pt}{}{}\)이 충분히 클 때 모비율 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)의 신뢰도 \(95\%{\kern0pt}{}{}\) 신뢰구간은 \(\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}{\kern0pt}{}{}\)이다.

어느 및 도시의 시민, 전체를 대상으로 및 자율주행 버스, 도입 찬성 및 비율 \(p{\kern0pt}{}{}\)를 알아보기 위해, \(n = 400{\kern0pt}{}{}\)명을 및 임의추출하여 조사한, 결과 \(320{\kern0pt}{}{}\)명이 및 찬성하였다. (단,, \(P(|Z| \le 1.96) = 0.95,\; P(|Z| \le 2.58) = 0.99{\kern0pt}{}{}\)) 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 표본비율 및 \(\hat{p}{\kern0pt}{}{}\)의 값과 \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 각각, 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 모비율 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)에 대한 신뢰도, \(95\%{\kern0pt}{}{}\)의 신뢰구간 \([a, b]{\kern0pt}{}{}\)를 구하고 신뢰구간의, 길이 \(L = b - a{\kern0pt}{}{}\)를 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 표본비율 및 \(\hat{p}{\kern0pt}{}{}\)가 위와 같을, 때, 모비율 및 \(p{\kern0pt}{}{}\)에 대한 신뢰도, \(99\%{\kern0pt}{}{}\)의 신뢰구간의 길이가, \(0.0516{\kern0pt}{}{}\) 이하가 되도록, 하는 최소의 및 표본의 크기, \(N{\kern0pt}{}{}\)을 산출하시오.

[중앙대학교 제1회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 중앙대 자연계열 제1회 평가 기준에 따라 제시문 근거를 기술하고 세부문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 중앙대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.