2027학년도 대비 중앙대학교 수리논술 모의고사 10회 해설집

2027학년도 대비 중앙대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 3합6 · 중앙대 자연계열 수능최저 3합6 적용 (10회차))

[대문항 1] (20점) 선형 비제차, 귀납 관계식의 및 특성근 변환과, 등비급수 합

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 15101 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-05]

<제시문 (가)> 항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_{n+1} = p a_n + q{\kern0pt}{}{}\) (\(p \ne 1{\kern0pt}{}{}\))를 성립할, 때, \(\alpha = p\alpha + q{\kern0pt}{}{}\)를 만족시키는, 상수 \(\alpha = \dfrac{q}{1 - p}{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, \(a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha){\kern0pt}{}{}\)가 성립하므로, 항열 \(\{a_n - \alpha\}{\kern0pt}{}{}\)는 공비가, \(p{\kern0pt}{}{}\)인 등비항열이다.

항열 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)이 \(a_1 = 5{\kern0pt}{}{}\)이며 또한, 모든 양의 및 정수 \(n{\kern0pt}{}{}\)에 관하여, \(a_{n+1} = 2a_n - 3{\kern0pt}{}{}\)을 성립할, 때, 일반항과 및 부분합을 분석하려, 한다. 아래 및 물음에 논리적으로, 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 주어진 조건을, 적용해 상수 및 \(\alpha{\kern0pt}{}{}\)의 수치를, 구하고, 항열 및 \(\{a_n\}{\kern0pt}{}{}\)의 일반항, \(a_n{\kern0pt}{}{}\)을 산출하시오.

[문항 1-2] (7점) 합 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{2^{k-1}}{(a_k - 1)(a_{k+1} - 1)}{\kern0pt}{}{}\)의 수치를, 기약분수로 산출하시오.

[문항 1-3] (7점) [1-1] \(\alpha = 3,\; a_n = 2^n + 3{\kern0pt}{}{}\) | , [1-2] \(S_n = 2^{n+1} + 3n - 2{\kern0pt}{}{}\) | , [1-3] \(\dfrac{1023}{4100}{\kern0pt}{}{}\)

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\alpha = 3,\; a_n = 2^n + 3\) | [1-2] \(S_n = 2^{n+1} + 3n - 2\) | [1-3] \(\dfrac{1023}{6150}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\alpha = 2\alpha - 3 \implies \alpha = 3{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, \(a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3){\kern0pt}{}{}\)이며 또한, \(a_1 - 3 = 2{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a_n - 3 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \implies a_n = 2^n + 3{\kern0pt}{}{}\)이다. 그러므로, \(S_n = \sum_{k=1}^{n} (2^k + 3) = \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} + 3n = 2^{n+1} + 3n - 2{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a_k - 1 = 2^k + 2{\kern0pt}{}{}\)이며 또한, \((a_{k+1} - 1) - (a_k - 1) = 2^{k+1} - 2^k = 2^k{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, \(\dfrac{2^{k-1}}{(a_k-1)(a_{k+1}-1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2^k+2} - \dfrac{1}{2^{k+1}+2}\right){\kern0pt}{}{}\)이다. 그러므로, \(k = 1{\kern0pt}{}{}\)부터 \(10{\kern0pt}{}{}\)까지 합하면, \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2050}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1023}{2050} = \dfrac{1023}{4100}{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(\alpha = 3\) 도출 +2점 / 일반항 \(a_n = 2^n + 3\) 산출 +4점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 등비수열 합과 상수항 합 분리 +3점 / \(S_n = 2^{n+1} + 3n - 2\) 도출 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 차 \(a_{k+1} - a_k = 2^k\)를 이용한 망원 분해 +4점 / \(\dfrac{1023}{4100}\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \((a_{k+1} - 1) - (a_k - 1) = a_{k+1} - a_k = 2^k{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, 분자의 \(2^{k-1} = \dfrac{1}{2} \cdot 2^k{\kern0pt}{}{}\)가 정확히, 분모의 차의 및 \(\dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}\)배가 됩니다.

[대문항 2] (20점) 삼각형의, 코사인법칙과 중선·내접원 및 반지름의 기하적, 추론

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 15102 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형, \(ABC{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 세 변의 길이가, \(a, b, c{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서 코사인법칙 및 \(\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}{\kern0pt}{}{}\)가 성립하며, 삼각형의 및 넓이 \(S{\kern0pt}{}{}\)와 내접원의 반지름 및 \(r{\kern0pt}{}{}\) 사이에는 \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c){\kern0pt}{}{}\)가 항상 성립한다.

세 변의 길이가 및 \(\overline{AB} = 5,\; \overline{BC} = 7,\; \overline{CA} = 8{\kern0pt}{}{}\)인 삼각형 \(ABC{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 내각의 및 크기, 외접원·내접원, 반지름 및 중선의 길이를, 분석하려 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을, 이용하여 \(\cos B{\kern0pt}{}{}\)의 값과 각 \(B{\kern0pt}{}{}\)의 크기를 구하고, 및 삼각형 \(ABC{\kern0pt}{}{}\)의 넓이 \(S{\kern0pt}{}{}\)를 산출하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형, \(ABC{\kern0pt}{}{}\)의 외접원의 반지름 및 \(R{\kern0pt}{}{}\)과 내접원의 반지름 및 \(r{\kern0pt}{}{}\)을 각각 산출하시오.

[문항 2-3] (7점) 변 \(BC{\kern0pt}{}{}\)의 중점을 \(M{\kern0pt}{}{}\)이라고, 둘 때 선분 \(AM{\kern0pt}{}{}\)의 길이를 구하고, 및 변 \(AC{\kern0pt}{}{}\) 위를 움직이는 및 점 \(P{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(\overline{BP}^2 + \overline{MP}^2{\kern0pt}{}{}\)의 극소·최소치을 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\cos B = \dfrac{1}{2},\; B = \dfrac{\pi}{3},\; S = 10\sqrt{3}\) | [2-2] \(R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3},\; r = \sqrt{3}\) | [2-3] \(\overline{AM} = \dfrac{\sqrt{129}}{2}\), 최솟값 \(\dfrac{393}{32}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 세 변 \(c = 5, a = 7, b = 8{\kern0pt}{}{}\)을 코사인법칙에 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\cos B = \dfrac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7}{\kern0pt}{}{}\)이 아닌 \(\cos A = \dfrac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}{\kern0pt}{}{}\)이다!, 그러므로 각 \(A{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(\cos A = \dfrac{1}{2},\; A = \dfrac{\pi}{3}{\kern0pt}{}{}\)이며, 또한 \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}{\kern0pt}{}{}\)이다., 외접원 반지름은 및 \(2R = \dfrac{7}{\sin(\pi/3)} = \dfrac{14}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}{\kern0pt}{}{}\)이며, 또한, 둘레가 및 \(20{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 \(10r = 10\sqrt{3} \implies r = \sqrt{3}{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 삼각형, \(ABM{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(\overline{BM} = \dfrac{7}{2}{\kern0pt}{}{}\)이며, 또한 \(\cos B = \dfrac{1}{7}{\kern0pt}{}{}\)이기, 때문에 \(\overline{AM}^2 = 25 + \dfrac{49}{4} - 2 \cdot 5 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{1}{7} = \dfrac{129}{4} \implies \overline{AM} = \dfrac{\sqrt{129}}{2}{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 코사인법칙으로 \(\cos A = \dfrac{1}{2},\; A = \dfrac{\pi}{3}\) 도출 +3점 / 넓이 \(10\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 사인법칙 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 계산 +3점 / 내접원 반지름 \(r = \sqrt{3}\) 도출 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 중선 정리 또는 코사인법칙으로 \(\overline{AM} = \dfrac{\sqrt{129}}{2}\) 산출 +4점 / 최솟값 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 세 변이 \(5, 7, 8{\kern0pt}{}{}\)인 삼각형 영역에서는 및 길이가 \(7{\kern0pt}{}{}\)인 대변의 마주 및 보는 각이, \(\dfrac{\pi}{3}{\kern0pt}{}{}\) (\(60^\circ{\kern0pt}{}{}\))라는, 성질을 기억하면 및 검산이 매우, 빠릅니다.

[대문항 3] (20점) 3차 다항식의 및 극값 존재, 조건과 극댓값·극솟값의 및 차 공식

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 15103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 및 \(a{\kern0pt}{}{}\)인 3차 및 다항식 \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 도함수 및 \(f'(x) = 3a(x - \alpha)(x - \beta){\kern0pt}{}{}\) (\(\alpha \lt \beta{\kern0pt}{}{}\))가 각각 및 상이한 두 실근을 가질 및 때, 극댓값과, 극솟값의 차는 및 \(|f(\alpha) - f(\beta)| = \left|\int_\alpha^\beta f'(x)\,dx\right| = \dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3{\kern0pt}{}{}\)이다.

3차 다항식 및 \(f(x) = x^3 - 3kx^2 + 3(k^2 - 1)x + 2{\kern0pt}{}{}\) (\(k{\kern0pt}{}{}\)는 실수)의 및 극대·극소와 변곡점을, 분석하고자 한다. 및 아래 물음에, 논리적으로 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x){\kern0pt}{}{}\)를 구하고, 및 실수 \(k{\kern0pt}{}{}\)의 값에 및 관계없이 함수, \(f(x){\kern0pt}{}{}\)가 항상 및 극댓값과 극솟수치를, 가짐을 보이시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 \(y = f(x){\kern0pt}{}{}\)의 극댓점 및 \(P{\kern0pt}{}{}\)와 극솟점 및 \(Q{\kern0pt}{}{}\)를 잇는 및 선분 \(PQ{\kern0pt}{}{}\)의 중점 및 \(M{\kern0pt}{}{}\)이 직선 및 \(y = -2x + 2{\kern0pt}{}{}\) 위에 및 있을 때,, 양의 상수 및 \(k{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 및 산출하시오.

[문항 3-3] (7점) [3-1] \(f'(x) = 3(x - k + 1)(x - k - 1){\kern0pt}{}{}\), 항상 및 두 실근, | [3-2] 및 극값 차 \(4{\kern0pt}{}{}\) | 및 [3-3] \(k = 1{\kern0pt}{}{}\)

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(x) = 3(x - k + 1)(x - k - 1)\), 항상 두 실근 | [3-2] 극값 차 \(4\) | [3-3] \(k = 2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6kx + 3(k^2 - 1) = 3\{(x - k)^2 - 1\} = 3(x - k + 1)(x - k - 1){\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 중점 \(M{\kern0pt}{}{}\)은 3차 및 다항식의 변곡점이기, 때문에 \(x{\kern0pt}{}{}\)좌표는 \(k{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 \(y{\kern0pt}{}{}\)좌표는 \(f(k) = k^3 - 3k^3 + 3k^3 - 3k + 2 = k^3 - 3k + 2{\kern0pt}{}{}\)이다. 점 \(M(k, k^3 - 3k + 2){\kern0pt}{}{}\)가 직선 및 \(y = -2x + 2{\kern0pt}{}{}\) 위에 및 있으므로 \(k^3 - 3k + 2 = -2k + 2 \implies k(k^2 - 1) = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 및 양의 실수, \(k = 1{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 중점 \(M{\kern0pt}{}{}\)의 \(x{\kern0pt}{}{}\)좌표는 \(k{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 \(y{\kern0pt}{}{}\)좌표는 \(f(k) = k^3 - 3k^3 + 3k^3 - 3k + 2 = k^3 - 3k + 2{\kern0pt}{}{}\)이다. 점 \(M(k, k^3 - 3k + 2){\kern0pt}{}{}\)가 직선 및 \(y = 2x - 6{\kern0pt}{}{}\) 위에 및 있으므로 \(k^3 - 3k + 2 = 2k - 6 \implies k^3 - 5k + 8 = 0{\kern0pt}{}{}\) 대신 및 직선 \(y = -2x + 2{\kern0pt}{}{}\)로 두면 및 \(k^3 - 3k + 2 = -2k + 2 \implies k(k^2 - 1) = 0{\kern0pt}{}{}\)이며 또한 및 양의 실수, \(k = 1{\kern0pt}{}{}\)이다!

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(f'(x) = 3(x-k+1)(x-k-1)\) 인수분해 +3점 / 두 실근 존재 논증 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(\beta - \alpha = 2\) 산출 +3점 / 극값 차 \(4\) 계산 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 중점 \(M(k, k^3 - 3k + 2)\) 유도 +4점 / 직선 대입으로 \(k\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 3차 다항식의 및 극댓점과 극솟점의, 중점은 곧 곡선의 대칭, 중심인 변곡점 및 \((k, f(k)){\kern0pt}{}{}\)와 일치합니다.

[대문항 4] (20점) 대칭구간 및 영역에서 다항함수와, 절댓값 함수의 및 정적분 최소, 추론

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.11 탐구 15104 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 닫힌구간 및 \([-a, a]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 우함수, \(f(-x) = f(x){\kern0pt}{}{}\)와 기함수 \(g(-x) = -g(x){\kern0pt}{}{}\)의 정적분 성질을, 이용하면 대칭구간 및 적분을 \([0, a]{\kern0pt}{}{}\) 구간으로 단순화할, 수 있다.

포물선 및 함수 \(f(x) = ax^2 + bx + c{\kern0pt}{}{}\)가 모든 실수, \(x{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 \(f(-x) = f(x){\kern0pt}{}{}\)를 만족시키고 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 4,\; \int_{-1}^{1} x^2 f(x)\,dx = \dfrac{12}{5}{\kern0pt}{}{}\)를 성립할 때,, 아래 물음에 및 논리적으로 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 상수 및 \(b{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 구하고,, 두 정적분 및 조건을 이용하여, 상수 \(a, c{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 각각, 산출하시오.

[문항 4-2] (7점) 실수 및 \(k{\kern0pt}{}{}\)에 관하여 함수, \(H(k) = \int_{-1}^{1} \{f(x) - k\}^2\,dx{\kern0pt}{}{}\)가 최소가 되도록, 하는 \(k{\kern0pt}{}{}\)의 값과 그때의, 극소·최소치을 산출하시오.

[문항 4-3] (7점) 정적분 및 \(\int_{-1}^{1} |f(x) - 2|\,dx{\kern0pt}{}{}\)의 수치를 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(a = 3,\; b = 0,\; c = 1\) | [4-2] \(k = 2,\; \text{최솟값 } \dfrac{8}{5}\) | [4-3] \(\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 우함수 및 조건 \(f(-x) = f(x){\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(b = 0{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 \(f(x) = ax^2 + c{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\int_{-1}^{1} (ax^2 + c)\,dx = \dfrac{2}{3}a + 2c = 4{\kern0pt}{}{}\)이며 및 또한, \(\int_{-1}^{1} (ax^4 + cx^2)\,dx = \dfrac{2}{5}a + \dfrac{2}{3}c = \dfrac{12}{5}{\kern0pt}{}{}\)이다. 및 연립하면 \(a = 3,\; c = 1{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 \(f(x) = 3x^2 + 1{\kern0pt}{}{}\)이다. 및 \(H(k) = \int_{-1}^{1} f(x)^2\,dx - 2k\int_{-1}^{1} f(x)\,dx + 2k^2 = \dfrac{48}{5} - 8k + 2k^2 = 2(k - 2)^2 + \dfrac{8}{5}{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 \(k = 2{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서 극소·최소치, \(\dfrac{8}{5}{\kern0pt}{}{}\)를 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(|3x^2 - 1| = 0{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 \(x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}{\kern0pt}{}{}\)이기 및 때문에 \(\int_{-1}^{1} |3x^2 - 1|\,dx = 2\left\{\int_0^{1/\sqrt{3}} (1 - 3x^2)\,dx + \int_{1/\sqrt{3}}^{1} (3x^2 - 1)\,dx\right\} = 2\left(\dfrac{2}{3\sqrt{3}} + \dfrac{2}{3\sqrt{3}}\right) = \dfrac{8\sqrt{3}}{9}{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(b = 0\) 및 연립방정식 수립 +3점 / \(a = 3,\; c = 1\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 이차함수 \(H(k) = 2(k-2)^2 + \dfrac{8}{5}\) 전개 +4점 / \(k = 2,\; \text{최솟값 } \dfrac{8}{5}\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 절댓값 경계 \(x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) 분할 +3점 / 정적분 \(\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(\int_{-a}^{a} \{f(x) - k\}^2\,dx{\kern0pt}{}{}\)가 최소가 되는, 상수 \(k{\kern0pt}{}{}\)는 항상 구간, \([-a, a]{\kern0pt}{}{}\) 영역에서 함수, \(f(x){\kern0pt}{}{}\)의 평균값 \(\dfrac{1}{2a}\int_{-a}^{a} f(x)\,dx{\kern0pt}{}{}\)와 같습니다.

[대문항 5] (20점) 정규분포의 표준화와, 표본평균의 확률 및 추론

확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 15105 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 모평균이 \(m{\kern0pt}{}{}\), 모표준편차가, \(\sigma{\kern0pt}{}{}\)인 정규분포, \(N(m, \sigma^2){\kern0pt}{}{}\)을 따르는, 모집단 영역에서 및 크기가 \(n{\kern0pt}{}{}\)인 표본을, 임의추출할 때, 및 표본평균 \(\overline{X}{\kern0pt}{}{}\)는 정규분포, \(N\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right){\kern0pt}{}{}\)을 따르며, \(Z = \dfrac{\overline{X} - m}{\sigma / \sqrt{n}}{\kern0pt}{}{}\)은 표준정규분포, \(N(0, 1){\kern0pt}{}{}\)을 따른다.

어느 공장, 영역에서 생산되는 및 전기차 배터리, 셀의 용량 및 \(X{\kern0pt}{}{}\)는 평균이, \(m = 500{\kern0pt}{}{}\), 표준편차가, \(\sigma = 20{\kern0pt}{}{}\)인 정규분포, \(N(500, 20^2){\kern0pt}{}{}\)을 따른다고, 한다. (단, 및 \(P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413,\; P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332,\; P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772{\kern0pt}{}{}\)) 아래, 물음에 논리적으로 및 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 생산된 배터리, 셀 중 영역에서 임의로, 택한 \(1{\kern0pt}{}{}\)개의 용량, \(X{\kern0pt}{}{}\)가 \(480{\kern0pt}{}{}\) 이상, \(530{\kern0pt}{}{}\) 이하일, 확률을 산출하시오.

[문항 5-2] (7점) 이 공장, 영역에서 크기 및 \(n = 16{\kern0pt}{}{}\)인 표본을, 임의추출할 때, 및 표본평균 \(\overline{X}{\kern0pt}{}{}\)의 평균과, 표준편차를 구하고 및 \(P(490 \le \overline{X} \le 505){\kern0pt}{}{}\)의 수치를, 산출하시오.

[문항 5-3] (7점) 크기 \(n{\kern0pt}{}{}\)인 표본을, 임의추출할 때 \(P(\overline{X} \ge 504) \le 0.0228{\kern0pt}{}{}\)이 성립하도록, 하는 최소의 및 양의 정수, \(n{\kern0pt}{}{}\)의 수치를, 산출하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(0.7745\) | [5-2] 평균 \(500\), 표준편차 \(5,\; 0.8185\) | [5-3] \(n = 100\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(Z = \dfrac{X - 500}{20}{\kern0pt}{}{}\)으로 표준화하여, 표준정규분포 확률을 및 합산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(P(480 \le X \le 530) = P(-1.0 \le Z \le 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745{\kern0pt}{}{}\)이다. \(n = 16{\kern0pt}{}{}\)인 조건에서, \(E(\overline{X}) = 500,\; \sigma(\overline{X}) = \dfrac{20}{\sqrt{16}} = 5{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, \(P(490 \le \overline{X} \le 505) = P(-2.0 \le Z \le 1.0) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185{\kern0pt}{}{}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(P\left(Z \ge \dfrac{4}{20/\sqrt{n}}\right) = P\left(Z \ge \dfrac{\sqrt{n}}{5}\right) \le 0.0228 = 0.5 - 0.4772{\kern0pt}{}{}\)이기 때문에, \(\dfrac{\sqrt{n}}{5} \ge 2.0 \iff \sqrt{n} \ge 10 \implies n \ge 100{\kern0pt}{}{}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	중앙대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• 표준화 구간 \([-1.0, 1.5]\) 변환 +3점 / 확률 \(0.7745\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(\sigma(\overline{X}) = 5\) 도출 +3점 / 확률 \(0.8185\) 계산 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 임계값 \(z = 2.0\) 판별 +3점 / 최소 표본 크기 \(n = 100\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 개별 확률변량, \(X{\kern0pt}{}{}\)의 표준편차, \(\sigma = 20{\kern0pt}{}{}\)과 표본평균, \(\overline{X}{\kern0pt}{}{}\)의 표준편차, \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}{\kern0pt}{}{}\)을 혼동하지, 않도록 표준화 및 분모를 명확히, 적어야 합니다.