[1-1] \(\tan\theta(x)\) 유도:
\(\tan\theta = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} = \frac{3/x - 1/x}{1 + (3/x)(1/x)} = \frac{2/x}{1 + 3/x^2}\).
분모·분자에 \(x\)를 곱하면: \(\tan\theta(x) = \frac{2}{x + \frac{3}{x}}\).

[1-2] 산술·기하평균을 이용한 최댓값:
\(x > 0\)이므로 산술·기하평균 부등식에 의해:
\(x + \frac{3}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{3}{x}} = 2\sqrt{3}\).
등호 성립 조건: \(x = \frac{3}{x} \iff x^2 = 3 \iff x = \sqrt{3}\).
분모가 최소일 때 \(\tan\theta(x)\)는 최댓값을 가지므로:
\(\tan\theta_{\max} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
따라서 \(x = \sqrt{3}\)일 때 최댓값 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) (이때 각도 \(\theta = 30^\circ\))을 갖는다.

[정답] [1-1] \(\tan\theta(x) = \frac{2}{x + 3/x}\), [1-2] \(x = \sqrt{3}\)일 때 최댓값 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

[2-1] 접선 및 교점 \(Q\) 계산:
\(f'(x) = 3x^2 - 3 \implies f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0\).
기울기가 0이므로 접선의 방정식: \(y = -2\).
곡선과의 교점 방정식: \(x^3 - 3x = -2 \iff x^3 - 3x + 2 = 0\).
\(x = 1\)이 중근이므로: \((x - 1)^2(x + 2) = 0\).
따라서 다른 교점은 \(x = -2\)이며, 점 \(Q\)의 좌표는 \(Q(-2, -2)\)이다.

[2-2] 둘러싸인 도형의 넓이:
구간 \([-2, 1]\)에서 \(f(x) \ge -2\) (즉 \(x^3-3x+2 \ge 0\)).
\(S = \int_{-2}^1 (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^1\).
• \(x = 1\) 대입: \(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{1 - 6 + 8}{4} = \frac{3}{4}\).
• \(x = -2\) 대입: \(\frac{16}{4} - \frac{3(4)}{2} + 2(-2) = 4 - 6 - 4 = -6\).
\(S = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{27}{4}\).
(참고: 3차함수-접선 넓이 공식 \(S = \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4 = \frac{1}{12}(1 - (-2))^4 = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}\))

[정답] [2-1] 접선 \(y = -2\), 교점 \(Q(-2, -2)\), [2-2] \(\frac{27}{4}\)

[3-1] 피적분함수 유도:
\(f'(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\).
\((f'(x))^2 = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}\).
\(1 + (f'(x))^2 = 1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2\).
모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\frac{e^x + e^{-x}}{2} > 0\)이므로
\(\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \sqrt{\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\)이다. (증명 완료)

[3-2] 곡선의 길이 계산:
곡선의 길이 \(L = \int_{-1}^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2}\,dx\).
우함수이므로:
\(L = 2 \int_0^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2}\,dx = \int_0^1 (e^x + e^{-x})\,dx = [e^x - e^{-x}]_0^1\)
\(= (e^1 - e^{-1}) - (e^0 - e^0) = e - \frac{1}{e}\).

[정답] [3-1] 증명 완료, [3-2] \(e - \frac{1}{e}\)