[1-1] 역함수 \(g(x)\) 유도:
\(y = 2^{x-1} + 1 \implies y - 1 = 2^{x-1}\).
양변에 밑이 2인 로그를 취하면: \(\log_2(y - 1) = x - 1 \implies x = \log_2(y - 1) + 1\).
\(x\)와 \(y\)를 바꾸면: \(g(x) = \log_2(x - 1) + 1\) (\(x > 1\)).

[1-2] 교점의 좌표 계산:
\(f(x)\)는 순증가 함수이므로 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 교점은 \(y = f(x)\)와 \(y = x\)의 교점과 같다.
\(2^{x-1} + 1 = x \iff 2^{x-1} = x - 1\).
• \(x = 1\) 대입: \(2^0 = 1 - 1 \implies 1 \ne 0\) (불성립)
• \(x = 2\) 대입: \(2^1 = 2 - 1 \implies 2 \ne 1\) (불성립)
직접 방정식 \(2^{x-1} - x + 1 = 0\)의 근을 찾으면:
\(x = 1\)일 때 \(2^0 = 1\), \(x - 1 = 0\). (교점 없음)
실제 교점은 \(x = 1\)에서 \(f(1) = 2 \ne 1\), \(x = 2\)에서 \(f(2) = 3 \ne 2\).
그래프 분석: \(h(x) = 2^{x-1} + 1 - x\). \(h'(x) = 2^{x-1}\ln 2 - 1 = 0 \implies 2^{x-1} = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.442 \implies x = 1 + \log_2(1/\ln 2) \approx 1.53\).
최솟값 \(h(1.53) = 1.442 + 1 - 1.53 = 0.91 > 0\).
따라서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) > x\)이므로 두 곡선은 만나지 않는다. (교점 없음)

[정답] [1-1] \(g(x) = \log_2(x-1)+1\), [1-2] 두 곡선의 교점은 존재하지 않음

[2-1] 운동 방향을 바꾸는 시각:
속도의 부호가 바뀌는 점: \(v(t) = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\).
\(t = 1\)의 좌우에서 \(v(t)\)의 부호가 \(+ \to -\)로 바뀌고,
\(t = 3\)의 좌우에서 \(v(t)\)의 부호가 \(- \to +\)로 바뀐다.
따라서 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 1\)과 \(t = 3\)이다.

[2-2] 이동 거리 정적분 계산:
• \(0 \le t \le 1\)에서 \(v(t) \ge 0\):
\(s_1 = \int_0^1 (3t^2 - 12t + 9)\,dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_0^1 = 1 - 6 + 9 = 4\).
• \(1 \le t \le 3\)에서 \(v(t) \le 0\):
\(s_2 = \int_1^3 -(3t^2 - 12t + 9)\,dt = [-t^3 + 6t^2 - 9t]_1^3 = (-27 + 54 - 27) - (-1 + 6 - 9) = 0 - (-4) = 4\).
따라서 총 움직인 거리: \(s = s_1 + s_2 = 4 + 4 = 8\).

[정답] [2-1] \(t = 1, 3\), [2-2] \(8\)

[3-1] 리만합 형태 변형:
일반항의 분모와 분자를 \(n^2\)으로 나누면:
\(\frac{k}{n^2 + k^2} = \frac{k/n^2}{1 + (k/n)^2} = \frac{k/n}{1 + (k/n)^2} \cdot \frac{1}{n}\).
따라서 \(\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1 + (k/n)^2} \cdot \frac{1}{n}\)이다.

[3-2] 정적분 변환 및 극한 계산:
\(x_k = \frac{k}{n}, \Delta x = \frac{1}{n}\)로 두면 구간은 \([0, 1]\)이고 피적분함수는 \(f(x) = \frac{x}{1+x^2}\)이다.
\(\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1 + (k/n)^2} \cdot \frac{1}{n} = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx\).
치환적분: \(u = 1+x^2 \implies du = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2}du\).
\(= \int_1^2 \frac{1/2}{u}\,du = \left[ \frac{1}{2}\ln u \right]_1^2 = \frac{1}{2}\ln 2\).

[정답] [3-1] \(\sum_{k=1}^n \frac{k/n}{1+(k/n)^2}\cdot\frac{1}{n}\), [3-2] \(\frac{1}{2}\ln 2\)