[1-1] 개차수열 일반항 유도:
\(a_{n+1} - a_n = 2n + 1\).
\(n \ge 2\)일 때:
\(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 1 + 2\frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 1 + n(n-1) + n - 1 = n^2 - n + n = n^2\).
\(n = 1\)일 때 \(a_1 = 1^2 = 1\)이므로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = n^2\)이다.

[1-2] 시그마 합 계산:
\(\sum_{k=1}^{10} a_k = \sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(10+1)(2(10)+1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385\).

[정답] [1-1] \(a_n = n^2\), [1-2] \(385\)

[2-1] \(f(4)\)의 범위 계산:
구간 \([0, 4]\)에서 평균값 정리를 적용하면:
\(\frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = f'(c)\)인 \(c \in (0, 4)\)가 존재한다.
\(f(4) - 2 = 4 f'(c) \implies f(4) = 2 + 4 f'(c)\).
제시문 나에서 \(1 \le f'(c) \le 3\)이므로
\(2 + 4(1) \le f(4) \le 2 + 4(3) \implies 6 \le f(4) \le 14\).
따라서 최댓값은 \(14\), 최솟값은 \(6\)이다.

[2-2] 부등식 증명:
구간 \([x_1, x_2]\)에서 평균값 정리를 적용하면:
\(\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)\)인 \(c \in (x_1, x_2)\)가 존재한다.
\(1 \le f'(c) \le 3\)이므로
\(1 \le \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \le 3\).
\(x_2 - x_1 > 0\)이므로 각 변에 \(x_2 - x_1\)을 곱하면:
\(x_2 - x_1 \le f(x_2) - f(x_1) \le 3(x_2 - x_1)\)이 성립한다. (증명 완료)

[정답] [2-1] 최댓값 \(14\), 최솟값 \(6\), [2-2] 증명 완료

[3-1] 도함수 및 극값:
\(f'(x) = \frac{1(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}\).
분모는 항상 양수이므로 \(f'(x) = 0 \iff x = -1\) 또는 \(x = 1\).
• \(x = -1\)에서 \(f'(x)\)가 \(- \to +\)이므로 극솟값 \(f(-1) = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}\).
• \(x = 1\)에서 \(f'(x)\)가 \(+ \to -\)이므로 극댓값 \(f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\).

[3-2] 정적분 넓이 계산:
구간 \([0, 1]\)에서 \(f(x) \ge 0\).
\(S = \int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\,dx\).
치환적분: \(u = x^2 + 1 \implies du = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2}du\).
\(x: 0 \to 1 \implies u: 1 \to 2\).
\(S = \int_1^2 \frac{1/2}{u}\,du = \left[ \frac{1}{2}\ln u \right]_1^2 = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2\).

[정답] [3-1] 극솟값 \(-\frac{1}{2}\) (\(x=-1\)), 극댓값 \(\frac{1}{2}\) (\(x=1\)), [3-2] \(\frac{1}{2}\ln 2\)