[1-1] 삼각방정식의 해:
\(2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0 \implies 2 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0\).
\(-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \implies 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\).
\((2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = 1\).
구간 \(0 \le x < 2\pi\)에서:
• \(\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\).
• \(\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2}\).
따라서 실근은 \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\)이다.

[1-2] 실근의 합 계산:
모든 실근의 합: \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi + 3\pi + 5\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}\).

[정답] [1-1] \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\), [1-2] \(\frac{3\pi}{2}\)

[2-1] 도함수 및 극값:
\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)\).
\(f'(x) = 0 \iff x = 0, 1, 2\).
• \(x = 0\): 극솟값 \(f(0) = k\).
• \(x = 1\): 극댓값 \(f(1) = 1 - 4 + 4 + k = k + 1\).
• \(x = 2\): 극솟값 \(f(2) = 16 - 32 + 16 + k = k\).

[2-2] 서로 다른 4개의 실근 조건:
\(W\)자형 4차 함수가 서로 다른 4개의 실근을 가지려면 두 극솟값은 음수이고, 극댓값은 양수여야 한다.
• 극솟값 \(< 0 \implies k < 0\).
• 극댓값 \(> 0 \implies k + 1 > 0 \implies k > -1\).
두 조건을 동시에 만족하는 범위는:
\(-1 \lt k \lt 0\)이다.

[정답] [2-1] 극솟값 \(k\) (\(x=0, 2\)), 극댓값 \(k+1\) (\(x=1\)), [2-2] \(-1 \lt k \lt 0\)

[3-1] \(I_1\) 계산:
\(u = x \implies u' = 1\), \(v' = e^{-x} \implies v = -e^{-x}\).
\(I_1 = \int_0^1 x e^{-x} dx = [-x e^{-x}]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-x})dx = -e^{-1} - [e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (e^{-1} - 1) = 1 - 2e^{-1}\).

[3-2] 점화식 증명 및 \(I_2\) 계산:
\(I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} e^{-x} dx\).
\(u = x^{n+1} \implies u' = (n+1)x^n\), \(v' = e^{-x} \implies v = -e^{-x}\).
부분적분법에 의해:
\(I_{n+1} = [-x^{n+1} e^{-x}]_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^n e^{-x} dx = -e^{-1} + (n+1)I_n = (n+1)I_n - e^{-1}\). (증명 완료)
\(n = 1\) 대입:
\(I_2 = 2 I_1 - e^{-1} = 2(1 - 2e^{-1}) - e^{-1} = 2 - 4e^{-1} - e^{-1} = 2 - 5e^{-1}\).

[정답] [3-1] \(1 - 2e^{-1}\), [3-2] 점화식 증명 완료, \(I_2 = 2 - 5e^{-1}\)