[1-1] 로그부등식 풀이:
진수 조건: \(x - 1 > 0 \implies x > 1\), \(x - 3 > 0 \implies x > 3\). 따라서 \(x > 3\).
로그 결합: \(\log_2[(x-1)(x-3)] \le 3 = \log_2 8\).
밑이 \(2 > 1\)이므로 부등호 방향 불변: \((x-1)(x-3) \le 8\).
\(x^2 - 4x + 3 \le 8 \implies x^2 - 4x - 5 \le 0 \implies (x-5)(x+1) \le 0 \implies -1 \le x \le 5\).
진수 조건 \(x > 3\)과 연립하면: \(3 < x \le 5\).
만족하는 정수 \(x\)는 \(4, 5\)이다. 따라서 \(A = \{4, 5\}\).

[1-2] 등차수열의 합 계산:
원소의 개수 \(k = |A| = 2\).
\(a_1 = 5, d = 3\)이므로
\(S_2 = \frac{2(2(5) + (2-1)3)}{2} = 10 + 3 = 13\). (또는 \(a_1 + a_2 = 5 + 8 = 13\))

[정답] [1-1] \(A = \{4, 5\}\), [1-2] \(S_2 = 13\)

[2-1] 도함수 및 극값:
\(f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)\).
\(f'(x) = 0 \iff x = 0\) 또는 \(x = 2\).
• \(x = 0\)의 좌우에서 \(f'(x)\)가 \(- \to +\)이므로 \(x = 0\)에서 극솟값 \(f(0) = 0\).
• \(x = 2\)의 좌우에서 \(f'(x)\)가 \(+ \to -\)이므로 \(x = 2\)에서 극댓값 \(f(2) = -(8) + 3(4) = 4\).

[2-2] 곡선과 \(x\)축 사이의 넓이:
\(x\)축과의 교점: \(-x^3 + 3x^2 = 0 \iff -x^2(x - 3) = 0 \implies x = 0\) (접함), \(x = 3\).
구간 \([0, 3]\)에서 \(f(x) = x^2(3-x) \ge 0\)이므로 넓이 \(S\)는:
\(S = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2)\,dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^3 = -\frac{81}{4} + 27 = -\frac{81}{4} + \frac{108}{4} = \frac{27}{4}\).

[정답] [2-1] 극솟값 \(0\) (\(x=0\)), 극댓값 \(4\) (\(x=2\)), [2-2] \(\frac{27}{4}\)

[3-1] 치환적분 식 계산:
\(u = 1 + t^2 \implies du = 2t dt \implies t dt = \frac{1}{2}du\).
\(F(x) = \int_0^x \frac{t}{1+t^2} dt = \left[ \frac{1}{2}\ln(1+t^2) \right]_0^x = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\).

[3-2] \(g(x)\)의 최댓값 계산:
\(g(x) = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) - \frac{1}{2}x\).
\(g'(x) = \frac{x}{1+x^2} - \frac{1}{2} = \frac{2x - (1+x^2)}{2(1+x^2)} = -\frac{x^2 - 2x + 1}{2(1+x^2)} = -\frac{(x-1)^2}{2(1+x^2)}\).
모든 \(x \ne 1\)에서 \(-(x-1)^2 < 0\)이므로 \(g'(x) \le 0\)이다.
따라서 \(g(x)\)는 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 단조감소한다.
따라서 최댓값은 구간의 왼쪽 끝점 \(x = 0\)에서 발생한다:
최댓값 \(g(0) = \frac{1}{2}\ln(1) - 0 = 0\).

[정답] [3-1] \(F(x) = \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\), [3-2] \(x = 0\)에서 최댓값 \(0\)