[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(A = \{x \mid 3 - \sqrt{15} \le x \le 3 + \sqrt{15}\}\) | [1-2] \(B = \{x \mid 2 < x < 10\}\), 정수 합 \(18\) | [1-3] \(k > 11\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x+3} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x+6}\)이고 밑 \(\dfrac{1}{3} \in (0, 1)\)이므로 부등호 방향을 바꾼다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(x^2 - 4x \le 2x + 6 \iff x^2 - 6x - 6 \le 0 \implies 3 - \sqrt{15} \le x \le 3 + \sqrt{15}\;\;(\approx -0.87 \le x \le 6.87)\)이다. [문항 1-2]에서 진수 조건 \(x > 2\)와 \(x - 2 < 2^3 = 8 \implies 2 < x < 10\)이므로 \(A \cap B\)에 속하는 정수는 \(x \in \{3, 4, 5, 6\}\)이고 합은 \(3 + 4 + 5 + 6 = 18\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(t = 3^x > 0\)으로 치환하면 \(t^2 - 6t + k - 2 = (t - 3)^2 + k - 11 > 0\)이 모든 \(t > 0\)에서 성립해야 한다. 대칭축 \(t = 3 > 0\)에서의 최솟값이 \(k - 11\)이므로 \(k - 11 > 0 \iff k > 11\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [1-1] 6점 | • 밑 \(1/3\) 통일 및 부등호 반전 \(x^2 - 6x - 6 \le 0\) 도출 +3점 / 해집합 \(3 - \sqrt{15} \le x \le 3 + \sqrt{15}\) 산출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • 진수 조건 \(x > 2\) 및 \(B = (2, 10)\) 도출 +3점 / 교집합 정수 \(\{3, 4, 5, 6\}\)의 합 \(18\) 산출 +4점 |
| [1-3] 7점 | • \(t = 3^x > 0\) 치환 및 \((t - 3)^2 + k - 11\) 변형 +4점 / \(k > 11\) 도출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 밑이 \(1\)보다 작은 로그부등식 \(\log_{1/2}(x - 2) > -3\)에서는 부등호 반전으로 생기는 상한 \(x < 10\)뿐만 아니라 진수 조건에서 생기는 하한 \(x > 2\)를 반드시 교집합해야 합니다.
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(S_n = \sqrt{2n + 1} - 1,\; n = 40\) | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] \(T \ge 2(\sqrt{100} - 1) = 18\) 증명 완료
[1줄 공식선언 (30%)]: \(a_{k+1} - a_k = 2\)이므로 \(\dfrac{2}{\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1}} = \sqrt{2k+1} - \sqrt{2k-1}\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 연쇄 소거하면 \(S_n = \sqrt{2n + 1} - 1\)이고, \(\sqrt{2n + 1} - 1 = 8 \implies 2n + 1 = 81 \implies n = 40\)이다. [문항 2-2] 귀납법 증명: (i) \(n = 1\)일 때 \(1 \ge 2(\sqrt{2} - 1) \approx 0.828\) 성립. (ii) \(n = m\)일 때 성립 가정 시 양변에 \(\dfrac{1}{\sqrt{m+1}}\)을 더하면 \(\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} = \dfrac{2}{2\sqrt{m+1}} > \dfrac{2}{\sqrt{m+1} + \sqrt{m+2}} = 2(\sqrt{m+2} - \sqrt{m+1})\)이므로 좌변 \(\ge 2(\sqrt{m+1} - 1) + 2(\sqrt{m+2} - \sqrt{m+1}) = 2(\sqrt{m+2} - 1)\)이 되어 \(n = m + 1\)에서도 성립한다.
[3줄 최종결론 (30%)]: [문항 2-2]의 부등식에 \(n = 99\)를 대입하면 \(\sum_{k=1}^{99} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \ge 2(\sqrt{99 + 1} - 1) = 2(10 - 1) = 18\)이 성립한다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • 분모 유리화로 \(S_n = \sqrt{2n+1} - 1\) 도출 +3점 / \(n = 40\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • 초기조건 \(n=1\) 확인 +2점 / \(\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} > 2(\sqrt{m+2}-\sqrt{m+1})\) 부등식 연결 증명 +5점 |
| [2-3] 7점 | • \(n = 99\) 대입 +4점 / \(2(\sqrt{100} - 1) = 18\) 유도 완료 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 무리수 급수 귀납법 증명에서 핵심 보조부등식 \(\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} > \dfrac{2}{\sqrt{m+1} + \sqrt{m+2}} = 2(\sqrt{m+2} - \sqrt{m+1})\)을 정확히 제시하면 만점 답안이 완성됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(a = -1,\; b = 4\) | [3-2] 최댓값 \(9\), 최솟값 \(-3\) | [3-3] \(-\dfrac{3}{2},\; 0\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(x = 1\)에서의 연속 조건 \(-1 + a + b = 1 - 3 + 4 = 2\)와 미분계수 조건 \(-2 + a = 3 - 6 = -3\)을 연립한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(-2 + a = -3 \implies a = -1\)이고 \(b = 3 - a = 4\)이다. 따라서 \(t \in [0, 1)\)에서는 \(f'(t) = -2t - 1 \in (-3, -1]\)이고, \(t \in [1, 3]\)에서는 \(f'(t) = 3t^2 - 6t = 3(t - 1)^2 - 3 \in [-3, 9]\)이므로 \([0, 3]\)에서 \(f'(t)\)의 최댓값은 \(9\) (\(t = 3\)), 최솟값은 \(-3\) (\(t = 1\))이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1} = \dfrac{f'(1)}{2} = -\dfrac{3}{2}\)이고, \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{2h} = \dfrac{4}{2}f'(2) = 2(12 - 12) = 0\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • 연속 조건 \(a + b = 3\) 및 미분계수 조건 \(-2 + a = -3\) 수립 +3점 / \(a = -1,\; b = 4\) 산출 +3점 |
| [3-2] 7점 | • 구간 \([0, 1)\)과 \([1, 3]\)에서 \(f'(t)\)의 치역 분석 +4점 / 최댓값 \(9\), 최솟값 \(-3\) 도출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • \(\dfrac{1}{2}f'(1) = -\dfrac{3}{2}\) 산출 +3점 / \(2f'(2) = 0\) 산출 +4점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(x = 1\)이 경계점이더라도 이미 [문항 3-1]에서 \(x = 1\)에서의 미분가능성을 확보했으므로 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = f'(1) = -3\)이 좌·우극한 구분 없이 성립합니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.54 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(t = 1\)에서 둘레 최댓값 \(26\) | [4-2] \(t = 2\)에서 넓이 최댓값 \(S_{\max} = 32\) | [4-3] \(A = 32\sqrt{3},\; \dfrac{S_{\max}}{A} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 가로의 길이는 \(2t\), 세로의 길이는 \(12 - t^2\) (\(0 < t < 2\sqrt{3}\))이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 둘레는 \(L(t) = 4t + 2(12 - t^2) = -2(t - 1)^2 + 26\)이므로 \(t = 1\)에서 최댓값 \(26\)을 갖는다. 넓이는 \(S(t) = 2t(12 - t^2) = 24t - 2t^3\)이고 \(S'(t) = 24 - 6t^2 = 6(2 - t)(2 + t) = 0\)에서 \(t = 2\)일 때 극대이자 최대이므로 최대 넓이는 \(S_{\max} = S(2) = 4 \times 8 = 32\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 포물선과 \(x\)축의 교점은 \(x = \pm 2\sqrt{3}\)이므로 둘러싸인 전체 넓이는 \(A = \dfrac{1}{6}(4\sqrt{3})^3 = \dfrac{192\sqrt{3}}{6} = 32\sqrt{3}\)이다. 따라서 비율은 \(\dfrac{S_{\max}}{A} = \dfrac{32}{32\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • \(L(t) = -2t^2 + 4t + 24\) 식 수립 +3점 / \(t = 1\)에서 최댓값 \(26\) 산출 +3점 |
| [4-2] 7점 | • \(S(t) = 24t - 2t^3\) 및 \(S'(t) = 6(4 - t^2) = 0\) 도출 +4점 / \(t = 2,\; S_{\max} = 32\) 산출 +3점 |
| [4-3] 7점 | • 포물선 넓이 \(A = 32\sqrt{3}\) 산출 +4점 / 비율 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 도출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 포물선 아치 내부에 내접하는 최대 넓이 직사각형의 넓이는 항상 포물선 아치 전체 넓이의 \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)배가 됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(I(t) = 4t^3 - 6t^2 + 8\) | [5-2] \(t = 1\)에서 최솟값 \(6\) | [5-3] \(a = \dfrac{3}{2}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(0 \le x \le t\)에서는 \(3t^2 - 3x^2 \ge 0\)이고, \(t \le x \le 2\)에서는 \(3x^2 - 3t^2 \ge 0\)으로 구간을 분리한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(I(t) = \int_{0}^{t} (3t^2 - 3x^2)\,dx + \int_{t}^{2} (3x^2 - 3t^2)\,dx = (3t^3 - t^3) + \bigl((8 - t^3) - 3t^2(2 - t)\bigr) = 2t^3 + 8 - t^3 - 6t^2 + 3t^3 = 4t^3 - 6t^2 + 8\)이다. 미분하면 \(I'(t) = 12t^2 - 12t = 12t(t - 1) = 0\)이므로 \(t = 1\)에서 극소이자 최솟값 \(I(1) = 4 - 6 + 8 = 6\)을 갖는다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 임의의 \(k > 0\)에 대하여 \(\int_{0}^{2} kx^2\,dx = \dfrac{8}{3}k\)로 넓이가 계수 \(k\)에 정비례한다. 따라서 \(y = 3x^2\) 아래의 넓이 \(\dfrac{8}{3} \times 3 = 8\)을 곡선 \(y = ax^2\)이 이등분하려면 \(\dfrac{8}{3}a = 4 \implies a = \dfrac{3}{2}\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • \([0, t]\)와 \([t, 2]\) 구간 분리 적분 +3점 / \(I(t) = 4t^3 - 6t^2 + 8\) 도출 +3점 |
| [5-2] 7점 | • \(I'(t) = 12t(t - 1) = 0\) 도출 +4점 / \(t = 1\)에서 최솟값 \(6\) 산출 +3점 |
| [5-3] 7점 | • 전체 넓이 \(8\) 및 아랫부분 넓이 \(\dfrac{8}{3}a\) 계산 +4점 / \(a = \dfrac{3}{2}\) 도출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 제시문 (가)와 같이 임의의 단조증가함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\int_a^b |f(x) - f(t)|\,dx\)를 \(t\)로 미분하면 \(f'(t)\{(t - a) - (b - t)\} = 2f'(t)\left(t - \dfrac{a+b}{2}\right)\)가 되어 함수 모양에 관계없이 항상 구간의 중점 \(t = \dfrac{a+b}{2}\)에서 최솟값을 갖습니다.