🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]
[제시문 (가)] 밑이 \(0 < a < 1\)인 지수함수 \(y = a^x\)과 로그함수 \(y = \log_a x\)는 모두 정의역에서 순감소하므로, 부등식 \(a^{f(x)} \le a^{g(x)}\)는 부등호 방향이 바뀌어 \(f(x) \ge g(x)\)와 동치이다.
실수 \(x\)에 대한 지수부등식 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4x} \ge \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x + 3}\)과 로그부등식 \(\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) > -3\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 지수부등식 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4x} \ge \left(\dfrac{1}{9}\right)^{x + 3}\)의 해집합 \(A\)를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 진수 조건에 유의하여 로그부등식 \(\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) > -3\)의 해집합 \(B\)를 구하고, 연립부등식의 해집합 \(A \cap B\)에 속하는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 모든 실수 \(x\)에 대하여 지수부등식 \(9^x - 2\cdot 3^{x+1} + k - 2 > 0\)이 항상 성립하도록 하는 상수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅲ. 수열
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
[제시문 (가)] 공차가 \(d > 0\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 일반항이 \(\dfrac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}\)인 수열은 분모를 유리화하면 \(\dfrac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}\)가 되어 연쇄 소거로 부분합을 구할 수 있다.
일반항이 \(a_n = 2n - 1\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 부분합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}\)을 \(n\)에 대한 식으로 구하고, \(S_n = 8\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 모든 자연수 \(n \ge 1\)에 대하여 부등식 \(\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \ge 2\bigl(\sqrt{n + 1} - 1\bigr)\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (7점) [문항 2-2]의 부등식을 이용하여 합 \(T = \sum_{k=1}^{99} \dfrac{1}{\sqrt{k}}\)가 \(18\)보다 크거나 같음을 보이시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
[제시문 (가)] 구간별로 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} g(x) & (x < a) \\ h(x) & (x \ge a) \end{cases}\)가 \(x = a\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 연속 조건 \(g(a) = h(a)\)와 좌·우미분계수 일치 조건 \(g'(a) = h'(a)\)가 동시에 성립하는 것이다.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x) = \begin{cases} -x^2 + ax + b & (x < 1) \\ x^3 - 3x^2 + 4 & (x \ge 1) \end{cases}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 미분가능하도록 하는 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 기울기 \(f'(t)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 극한값 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1}\)과 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + 3h) - f(2 - h)}{2h}\)의 값을 각각 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.54 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
[제시문 (가)] 직선 \(x = 0\)에 대하여 선대칭인 포물선 \(y = a^2 - x^2\) (\(a > 0\))과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하는 직사각형의 제1사분면 꼭짓점을 \((t, a^2 - t^2)\) (\(0 < t < a\))라 하면, 직사각형의 가로의 길이는 \(2t\), 세로의 길이는 \(a^2 - t^2\)이다.
좌표평면에서 곡선 \(y = 12 - x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 영역에 내접하고 한 변이 \(x\)축 위에 있는 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에 대하여 제1사분면 위의 꼭짓점의 \(x\)좌표를 \(t\) (\(0 < t < 2\sqrt{3}\))라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 둘레의 길이 \(L(t)\)를 \(t\)에 대한 이차함수로 나타내고, 둘레의 길이가 최대가 될 때의 \(t\)의 값과 둘레의 최댓값을 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 삼차함수로 나타내고, 도함수를 이용하여 넓이가 최대가 될 때의 \(t\)의 값과 넓이의 최댓값을 구하시오.
[문항 4-3] (7점) [문항 4-2]의 최대 넓이 \(S_{\max}\)와 곡선 \(y = 12 - x^2\) 및 \(x\)축으로 둘러싸인 전체 영역의 넓이 \(A\)의 비 \(\dfrac{S_{\max}}{A}\)를 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
[제시문 (가)] 닫힌구간 \([0, a]\)에서 연속이고 순증가하는 함수 \(f(x)\)에 대하여, 상수 \(t \in [0, a]\)에 관한 정적분 함수 \(I(t) = \int_{0}^{a} |f(x) - f(t)|\,dx\)는 구간을 \([0, t]\)와 \([t, a]\)로 나누어 절댓값을 풀고 \(t\)에 대하여 미분하면 구간의 중점 \(t = \dfrac{a}{2}\)에서 최솟값을 갖는다.
닫힌구간 \([0, 2]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 3x^2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) \(0 \le t \le 2\)인 실수 \(t\)에 대하여 정적분 \(I(t) = \int_{0}^{2} |3x^2 - 3t^2|\,dx\)를 \(t\)에 대한 다항식으로 나타내시오.
[문항 5-2] (7점) 도함수 \(I'(t)\)를 구하여 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 함수 \(I(t)\)가 최소가 되는 \(t\)의 값과 그때의 최솟값을 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = 3x^2\)과 직선 \(x = 2\) 및 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 곡선 \(y = ax^2\) (\(0 < a < 3\))이 이등분할 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.