[1줄 공식선언 (30%)]: 진수 조건에서 \(x - 1 > 0\)이고 \(7 - x > 0\)이므로 \(1 < x < 7\)이다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\log_2\{(x - 1)(7 - x)\} \ge \log_2 8 \iff (x - 1)(7 - x) \ge 8 \iff x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \le 0\)이므로 진수 조건과 결합하면 \(3 \le x \le 5\)이다. 또한 \(t = \log_2 x\) (\(0 \le t \le 3\))로 치환하면 \(g(t) = (t - 1)^2 + 4\)이므로 \(t = 1\) (\(x = 2\))에서 최솟값 \(m = 4\), \(t = 3\) (\(x = 8\))에서 최댓값 \(M = 8\)을 갖는다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(\log_2(x^2 y^2) \le 4 \iff (xy)^2 \le 16 \implies 0 < xy \le 4\)이므로 \(xy\)의 최댓값은 \(4\)이다. \(xy = 4\)일 때 산술·기하평균 부등식에 의해 \(x + y \ge 2\sqrt{xy} = 4\) (등호는 \(x = y = 2\)일 때 성립)이므로 최솟값은 \(4\)이다.

[1줄 공식선언 (30%)]: \(\angle A = 120^\circ,\; \angle B = 60^\circ\)이므로 \(\triangle \mathrm{ABD}, \triangle \mathrm{ABC}\)에 코사인법칙을 적용한다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos 120^\circ = 34 + 15 = 49 \implies \overline{\mathrm{BD}} = 7\)이고, \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos 60^\circ = 34 - 15 = 19 \implies \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{19}\)이며 \(49 + 19 = 68 = 2(9 + 25)\)가 성립한다. 넓이는 \(S = 3\cdot 5\sin 120^\circ = \dfrac{15\sqrt{3}}{2}\)이고, \(\dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot\sqrt{19}\sin\theta = \dfrac{15\sqrt{3}}{2} \implies \sin\theta = \dfrac{15\sqrt{3}}{7\sqrt{19}} = \dfrac{15\sqrt{57}}{133}\)이다.

[3줄 최종결론 (30%)]: 사인법칙에서 \(2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin 120^\circ},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin 60^\circ}\)이고 \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ\)이므로 \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = \dfrac{7}{\sqrt{19}} = \dfrac{7\sqrt{19}}{19}\)이다.

[1줄 공식선언 (30%)]: 점과 직선 사이의 거리 공식에 의해 \(d(m) = \dfrac{|2m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)이다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(d(m) = 2 \iff (2m - 1)^2 = 4(m^2 + 1) \iff 4m^2 - 4m + 1 = 4m^2 + 4 \iff -4m = 3 \iff m = -\dfrac{3}{4}\)이다. 따라서 \(m < -\dfrac{3}{4}\)일 때 \(d(m) > 2\)이므로 \(f(m) = 0\), \(m = -\dfrac{3}{4}\)일 때 \(f(m) = 1\), \(m > -\dfrac{3}{4}\)일 때 \(d(m) < 2\)이므로 \(f(m) = 2\)가 되어 \(m_0 = -\dfrac{3}{4}\)에서만 불연속이다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(g(0) = 3 \implies b = 3\)이고, 불연속점 \(m_0 = -\dfrac{3}{4}\)에서 곱함수 \(f(m)g(m)\)이 연속이 되려면 \(g\left(-\dfrac{3}{4}\right) = 0\)이어야 한다. 따라서 \(\dfrac{9}{16} - \dfrac{3}{4}a + 3 = 0 \implies \dfrac{3}{4}a = \dfrac{57}{16} \implies a = \dfrac{19}{4}\)이다.

[1줄 공식선언 (30%)]: \(P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0\)이고 다항함수 \(P(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: 롤의 정리에 의해 \(P'(c_1) = 0,\; P'(c_2) = 0,\; P'(c_3) = 0\)을 만족시키는 \(c_1 \in (1, 2),\; c_2 \in (2, 3),\; c_3 \in (3, 4)\)가 각각 존재하고 세 구간이 서로소이므로 \(P'(x) = 0\)은 서로 다른 세 실근을 갖는다. 또한 \(t = (x - 1)(x - 4) = x^2 - 5x + 4\)로 놓으면 \(P(x) = t(t + 2) = (t + 1)^2 - 1\)이므로 \(t = -1 \iff x = \dfrac{5 \pm \sqrt{5}}{2}\)에서 극솟값 \(-1\)을 갖고, \(x = \dfrac{5}{2}\) (\(t = -\dfrac{9}{4}\))에서 극댓값 \(\dfrac{9}{16}\)을 갖는다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(g(x) = f(x) - 2x\)는 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 연속, 열린구간 \((1, 3)\)에서 미분가능하며 \(g(1) = 1 - 2 = -1,\; g(3) = 5 - 6 = -1\)로 \(g(1) = g(3)\)이다. 따라서 롤의 정리에 의해 \(g'(c) = f'(c) - 2 = 0 \iff f'(c) = 2\)인 \(c \in (1, 3)\)가 적어도 하나 존재한다.

[1줄 공식선언 (30%)]: \(h(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + k\)를 미분하면 \(h'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 4(x - 1)^3\)이다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(h'(x) = 0 \iff x = 1\)이고 \(x = 1\)의 좌우에서 \(h'(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 \(h(x)\)는 \(x = 1\)에서 극소이자 최소이다. 최솟값은 \(h(1) = 1 - 4 + 6 - 4 + k = k - 1\)이므로 모든 실수 \(x\)에서 \(h(x) \ge 0\)일 조건은 \(k - 1 \ge 0 \iff k \ge 1\)이다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(k = 3\)일 때 \(D(t) = (t - 1)^4 + 2\)는 \(t = 1\)에서 최솟값 \(2\)를 갖는다. 따라서 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표는 \((1, f(1)) = (1, 3)\)이고, \(f'(1) = 4 - 12 + 12 = 4\)이므로 접선의 방정식은 \(y = 4(x - 1) + 3 = 4x - 1\)이다.