🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
[제시문 (가)] 로그가 포함된 방정식이나 부등식을 풀 때는 먼저 모든 로그의 밑 조건(\(\text{밑} > 0,\; \text{밑} \ne 1\))과 진수 조건(\(\text{진수} > 0\))을 구하여 해의 허용 범위를 확정한 뒤 로그의 성질을 적용해야 한다.
실수 \(x\)에 대한 로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \ge 3\)과 닫힌구간 \([1, 8]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)에 따라 로그부등식 \(\log_2(x - 1) + \log_2(7 - x) \ge 3\)의 진수 조건을 구하고, 부등식의 해를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 닫힌구간 \([1, 8]\)에서 함수 \(f(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 5\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하고, 그때의 \(x\)의 값을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 모든 양수 \(x\)에 대하여 부등식 \(\log_2 x^2 + \log_2 y^2 \le 4\)를 만족시키는 두 양수 \(x, y\)에 대하여 곱 \(xy\)의 최댓값과 그때 \(x + y\)의 최솟값을 산술·기하평균 부등식으로 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 이웃한 두 내각의 합은 \(\pi\)이므로 \(\cos B = -\cos A\)이다. 따라서 두 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)와 \(\mathrm{ABC}\)에 각각 코사인법칙을 적용하면 두 대각선의 제곱의 합은 네 변의 제곱의 합과 같다(\(\overline{\mathrm{AC}}^2 + \overline{\mathrm{BD}}^2 = 2(\overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AD}}^2)\)).
이웃한 두 변의 길이가 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{AD}} = 5\)이고 \(\angle \mathrm{BAD} = \dfrac{2\pi}{3}\;(120^\circ)\)인 평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 두 대각선 \(\overline{\mathrm{BD}}\)와 \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 길이를 각각 구하고, 제시문 (가)의 등식이 성립함을 확인하시오.
[문항 2-2] (7점) 평행사변형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S\)를 구하고, 두 대각선 \(\mathrm{AC}\)와 \(\mathrm{BD}\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때 \(\sin\theta\)의 값을 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{BD}}\sin\theta\)를 이용하여 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)의 외접원의 반지름 \(R_1\)과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름 \(R_2\)의 비 \(\dfrac{R_1}{R_2}\)를 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
[제시문 (가)] 중심이 \((x_0, y_0)\)이고 반지름이 \(r\)인 원과 직선 \(ax + by + c = 0\) 사이의 거리를 \(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)라 할 때, 원과 직선의 교점의 개수는 \(d < r\)일 때 \(2\)개, \(d = r\)일 때 \(1\)개, \(d > r\)일 때 \(0\)개이다.
좌표평면에서 중심이 \((2, 1)\)이고 반지름의 길이가 \(2\)인 원 \(C : (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4\)와 기울기가 \(m\)인 직선 \(l_m : y = mx\)가 만나는 교점의 개수를 \(f(m)\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 원 \(C\)의 중심 \((2, 1)\)과 직선 \(mx - y = 0\) 사이의 거리 \(d(m)\)을 구하고, \(d(m) = 2\)가 되는 실수 \(m\)의 값을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 교점의 개수 함수 \(f(m)\)을 \(m\)의 구간에 따라 구하고, 함수 \(f(m)\)이 불연속이 되는 \(m\)의 값 \(m_0\)와 그때의 좌극한·우극한·함숫값을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 이차함수 \(g(m) = m^2 + am + b\)에 대하여 곱함수 \(f(m)g(m)\)이 실수 전체의 집합에서 연속이고 \(g(0) = 3\)일 때, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
[제시문 (가)] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, \(f(a) = f(b)\)이면 \(f'(c) = 0\)인 실수 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다(롤의 정리).
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)와 다항함수 \(P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 롤의 정리를 세 구간 \([1, 2], [2, 3], [3, 4]\)에 각각 적용하여 방정식 \(P'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가짐을 증명하시오.
[문항 4-2] (7점) 사차함수 \(P(x)\)의 그래프의 대칭축 \(x = \dfrac{5}{2}\)를 이용하여 방정식 \(P'(x) = 0\)의 세 실근을 직접 구하고, 함수 \(P(x)\)의 극댓값과 극솟값을 모두 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = 1,\; f(3) = 5\)를 만족시킬 때, 방정식 \(f'(x) = 2\)가 열린구간 \((1, 3)\)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보조함수 \(g(x) = f(x) - 2x\)에 롤의 정리를 적용하여 증명하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.53 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
[제시문 (가)] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(h(x)\)가 최솟값 \(m\)을 가질 때, 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(h(x) \ge 0\)이 성립하기 위한 필요충분조건은 \(m \ge 0\)인 것이다.
사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2\)와 일차함수 \(g(x) = 4x - k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 차이 함수 \(h(x) = f(x) - g(x)\)의 도함수 \(h'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(h(x)\)가 최솟값을 갖는 \(x\)의 값과 최솟값을 \(k\)에 대한 식으로 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 모든 실수 \(x\)에 대하여 곡선 \(y = f(x)\)가 직선 \(y = g(x)\)보다 위쪽에 있거나 접하도록(\(f(x) \ge g(x)\)) 하는 상수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) \(k = 3\)일 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)와 직선 \(y = 4t - 3\) 사이의 수직 거리 \(D(t) = f(t) - (4t - 3)\)이 최소가 되는 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표와 그때 점 \(\mathrm{P}\)에서의 곡선 \(y = f(x)\)의 접선의 방정식을 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.