[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(x_1 + x_2 = 6,\; y_1 + y_2 = 6,\; \mathrm{M}(3, 3)\) | [1-2] \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2),\; \overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2},\; S = 6\) | [1-3] \(g(x) = \log_2(x + 1) + 1\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 두 교점 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\)과 \(\mathrm{B}(x_2, y_2)\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로 \(x_2 = y_1,\; y_2 = x_1\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 점 \(\mathrm{A}\)가 \(y = -x + 6\) 위에 있으므로 \(x_1 + x_2 = x_1 + y_1 = 6\)이고 \(y_1 + y_2 = 6\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(3, 3)\)이다. \(2^x = -x + 6\)에서 좌변은 순증가, 우변은 순감소이고 \(x = 2\)일 때 \(2^2 = 4 = -2 + 6\)이므로 \(x_1 = 2\), 즉 \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2)\)이다. 따라서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}\)이고, 원점에서 직선 \(x + y - 6 = 0\)까지의 거리는 \(3\sqrt{2}\)이므로 \(\triangle \mathrm{OAB} = \dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2} = 6\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 평행이동한 함수는 \(y = 2^{x-1} - 1\) (\(y > -1\))이다. \(x\)와 \(y\)를 바꾸면 \(x = 2^{y-1} - 1 \iff 2^{y-1} = x + 1 \iff y = \log_2(x + 1) + 1\) (\(x > -1\))이므로 \(g(x) = \log_2(x + 1) + 1\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [1-1] 6점 | • \(y = x\) 대칭성으로 \(x_2 = y_1\) 도출 +3점 / \(x_1 + x_2 = 6\) 및 \(\mathrm{M}(3, 3)\) 산출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(4, 2)\) 및 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\sqrt{2}\) 도출 +4점 / \(\triangle\mathrm{OAB} = 6\) 산출 +3점 |
| [1-3] 7점 | • \(y = 2^{x-1} - 1\) 평행이동 식 수립 +3점 / 역함수 \(g(x) = \log_2(x+1)+1\) 도출 +4점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(y = f(x)\)를 \((a, b)\)만큼 평행이동한 함수의 역함수는 원래 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)를 \((b, a)\)만큼 평행이동한 함수와 항상 일치합니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{21}\) | [2-2] \(\overline{\mathrm{AB}} = 3\sqrt{3},\; \overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{3},\; S = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) | [2-3] \(r = \dfrac{9(5 - \sqrt{7})}{14}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2R\sin 60^\circ = 2\sqrt{7}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{21}\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overline{\mathrm{AB}} = 3k,\; \overline{\mathrm{AC}} = 2k\) (\(k > 0\))로 놓으면 코사인법칙에 의해 \(21 = 9k^2 + 4k^2 - 2(3k)(2k)\cos 60^\circ = 7k^2 \implies k = \sqrt{3}\)이다. 따라서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3\sqrt{3},\; \overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}(3\sqrt{3})(2\sqrt{3})\sin 60^\circ = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 둘레의 길이는 \(5\sqrt{3} + \sqrt{21} = \sqrt{3}(5 + \sqrt{7})\)이므로 \(\dfrac{1}{2}r\sqrt{3}(5 + \sqrt{7}) = \dfrac{9\sqrt{3}}{2} \implies r = \dfrac{9}{5 + \sqrt{7}} = \dfrac{9(5 - \sqrt{7})}{18} = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{2}\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • 사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{7}\sin 60^\circ\) 적용 +3점 / \(\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{21}\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • \(7k^2 = 21 \implies k = \sqrt{3}\) 및 \(\overline{\mathrm{AB}}=3\sqrt{3},\; \overline{\mathrm{AC}}=2\sqrt{3}\) 도출 +4점 / 넓이 \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) 산출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • 내접원 넓이 식 \(\dfrac{1}{2}r(5\sqrt{3}+\sqrt{21}) = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) 수립 +4점 / 유리화하여 \(r = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{2}\) 도출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 변의 길이의 비 \(\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 2\)가 주어졌을 때 비례상수 \(k\)를 도입하면 코사인법칙이 \(7k^2 = 21\)이라는 단항 이차방정식으로 간결하게 풀립니다.
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(\alpha = 160,\; a_n = 160\left\{1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right\}\) | [3-2] 최소 \(n = 5\) | [3-3] \(D < 180\,(\text{mg})\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(a_1 = 120,\; a_2 = 30 + 120 = 150,\; a_3 = \dfrac{375}{2}\)이고, 특성방정식 \(\alpha = \dfrac{1}{4}\alpha + 120\)에서 \(\alpha = 160\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(a_n - 160 = (a_1 - 160)\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} = -40\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} = -160\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\)이므로 \(a_n = 160\left\{1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right\}\)이다. \(a_n \ge 159.5 \iff 160\left(\dfrac{1}{4}\right)^n \le 0.5 = \dfrac{1}{2} \iff 4^n \ge 320\)이고 \(4^4 = 256 < 320 < 4^5 = 1024\)이므로 최소 자연수는 \(n = 5\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 일반 투여량 \(D\)에 대하여 \(a_n = \dfrac{4}{3}D\left\{1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right\}\)은 증가수열이고 상한이 \(\dfrac{4}{3}D\)이다. 모든 자연수 \(n\)에서 \(a_n < 240\)이 성립하려면 \(\dfrac{4}{3}D \le 240 \implies D \le 180\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • \(\alpha = 160\) 도출 +2점 / 일반항 \(a_n = 160\left\{1 - (1/4)^n\right\}\) 유도 +4점 |
| [3-2] 7점 | • \(4^n \ge 320\) 부등식 변환 +4점 / \(4^4 = 256,\; 4^5 = 1024\) 비교로 \(n = 5\) 산출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • \(a_n = \dfrac{4}{3}D(1 - 4^{-n})\) 일반화 +4점 / 상한 \(\dfrac{4}{3}D \le 240 \implies D \le 180\) 도출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 약물 반복 투여 점화식 \(a_{n+1} = r a_n + D\)는 등비수열의 합 공식 \(a_n = D(1 + r + \cdots + r^{n-1}) = \dfrac{D(1 - r^n)}{1 - r}\)으로도 즉시 유도할 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(\alpha = a - 1,\; \beta = a + 1\), 극값 차 \(4\) | [4-2] \(-1 < a < 1\) | [4-3] \(-2 < k < 2\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(f'(x) = 3\bigl(x^2 - 2ax + (a^2 - 1)\bigr) = 3(x - a + 1)(x - a - 1) = 0\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 두 근은 \(\alpha = a - 1,\; \beta = a + 1\)이다. 극값의 차는 \(\int_{a-1}^{a+1} |f'(x)|\,dx = \dfrac{3}{6}\bigl((a+1) - (a-1)\bigr)^3 = \dfrac{1}{2} \times 8 = 4\)로 \(a\)에 무관하게 항상 \(4\)이다. 극대점 \(\alpha = a - 1 < 0\)이고 극소점 \(\beta = a + 1 > 0\)이려면 \(-1 < a < 1\)이어야 한다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(a = 1\)이면 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)이고 극댓값은 \(f(0) = 2\), 극솟값은 \(f(2) = -2\)이다. \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 양수에서 두 번, 음수에서 한 번 만나려면 \(f(2) < k < f(0)\), 즉 \(-2 < k < 2\)이어야 한다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • \(f'(x) = 3(x-a+1)(x-a-1)\) 인수분해 및 \(\alpha = a-1,\; \beta = a+1\) 도출 +3점 / 극값 차 \(4\) 일정 증명 +3점 |
| [4-2] 7점 | • \(a - 1 < 0\) 및 \(a + 1 > 0\) 부등식 수립 +4점 / \(-1 < a < 1\) 도출 +3점 |
| [4-3] 7점 | • \(a = 1\)일 때 \(f(0) = 2,\; f(2) = -2\) 계산 +3점 / 그래프 교점 부호 분석으로 \(-2 < k < 2\) 산출 +4점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + \cdots\)의 두 극값의 차는 항상 \(\dfrac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3\)이므로 \(\beta - \alpha = 2\)가 상수이면 극값의 차도 상수가 됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(t = 1\) (위치 \(4\)), \(t = 3\) (위치 \(0\)) | [5-2] 위치 변화량 \(4\), 이동 거리 \(12\) | [5-3] \(t_0 = 3\), 가속도 \(a(3) = 6\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 \(t = 1, 3\)일 때 속도의 부호가 바뀌므로 운동 방향을 바꾼다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 위치 함수는 \(x(t) = \int_{0}^{t} (3s^2 - 12s + 9)\,ds = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2\)이다. 따라서 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\)이다. \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 위치 변화량은 \(x(4) - x(0) = 4\)이고, 실제 이동 거리는 \(|4 - 0| + |0 - 4| + |4 - 0| = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(x(t) = t(t - 3)^2 = 0\)에서 \(t > 0\)인 해는 \(t_0 = 3\)이다. 가속도 함수는 \(a(t) = v'(t) = 6t - 12\)이므로 \(a(3) = 18 - 12 = 6\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • \(v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\)으로 \(t = 1, 3\) 도출 +3점 / \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\) 산출 +3점 |
| [5-2] 7점 | • 위치 변화량 \(x(4) = 4\) 산출 +3점 / 구간별 절댓값 적분으로 이동 거리 \(12\) 도출 +4점 |
| [5-3] 7점 | • \(x(t) = t(t-3)^2 = 0 \implies t_0 = 3\) 도출 +4점 / 가속도 \(a(3) = 6\) 산출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 실제 이동 거리 \(\int_0^4 |v(t)|\,dt\)를 계산할 때는 위치 함수 \(x(t)\)의 극댓값·극솟값·끝점 함숫값들의 변위 절댓값 합 \(|x(1)-x(0)| + |x(3)-x(1)| + |x(4)-x(3)|\)으로 구하면 적분 실수를 원천 방지할 수 있습니다.