🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.1 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
[제시문 (가)] 지수함수 \(y = a^x\) (\(a > 1\))와 로그함수 \(y = \log_a x\)는 서로 역함수 관계이므로 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다. 또한 기울기가 \(-1\)인 직선 \(y = -x + k\)와 두 곡선의 교점도 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다.
좌표평면에서 두 곡선 \(y = 2^x\)과 \(y = \log_2 x\)가 직선 \(y = -x + 6\)과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A}(x_1, y_1),\; \mathrm{B}(x_2, y_2)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(x_1 + x_2\)와 \(y_1 + y_2\)의 값을 구하고, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)의 좌표를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 방정식 \(2^x = -x + 6\)의 유일한 실근 \(x_1\)을 구하여 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 좌표를 확정하고, 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이와 삼각형 \(\mathrm{OAB}\) (단, \(\mathrm{O}\)는 원점)의 넓이를 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 곡선 \(y = 2^x\)을 \(x\)축의 방향으로 \(1\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(-1\)만큼 평행이동한 곡선의 역함수 \(g(x)\)의 식을 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 세 변의 길이를 \(a, b, c\), 외접원의 반지름을 \(R\)라 하면 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\)와 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)가 성립하며, 삼각형의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{abc}{4R}\)이다.
반지름의 길이가 \(R = \sqrt{7}\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle A = \dfrac{\pi}{3}\;(60^\circ)\)이고 \(\overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 3 : 2\) (\(\overline{\mathrm{AB}} > \overline{\mathrm{AC}}\))일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 코사인법칙을 이용하여 두 변 \(\overline{\mathrm{AB}}\)와 \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 길이를 각각 구하고, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 내접원의 반지름 \(r\)를 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r(\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}})\)를 이용하여 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅲ. 수열
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
[제시문 (가)] 환자에게 일정한 시간 간격으로 \(D\,(\text{mg})\)의 약물을 반복 투여할 때, 직전 투여 후 다음 투여 직전까지 체내에 남는 약물의 잔존율을 \(r\) (\(0 < r < 1\))라 하면, \(n\)번째 투여 직후 체내 약물의 총량 \(a_n\)은 점화식 \(a_{n+1} = r a_n + D\) (\(a_1 = D\))를 만족시킨다.
어떤 환자에게 매일 정오마다 \(D = 120\,(\text{mg})\)의 약물을 투여한다. 하루가 지났을 때 체내 약물의 \(75\%\)가 배출되고 \(25\%\)(\(r = \dfrac{1}{4}\))만 남는다고 할 때, \(n\)일째 정오 약물 투여 직후의 체내 약물 총량을 \(a_n\,(\text{mg})\)이라 하자. 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) \(a_1, a_2, a_3\)의 값을 구하고, 점화식 \(a_{n+1} - \alpha = \dfrac{1}{4}(a_n - \alpha)\)를 만족시키는 상수 \(\alpha\)를 구하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 투여 직후 체내 약물 총량 \(a_n\)이 \(159.5\,(\text{mg})\) 이상이 되는 최소의 자연수 \(n\)을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 만약 독성 한계치가 \(240\,(\text{mg})\)일 때, 잔존율이 \(r = \dfrac{1}{4}\)인 상태에서 매일 투여할 수 있는 최대 투여량 \(D_{\max}\)의 범위를 부등식 \(a_n < 240\) (모든 자연수 \(n\))으로부터 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
[제시문 (가)] 삼차함수 \(f(x)\)가 극값을 갖기 위한 필요충분조건은 이차방정식 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))를 갖는 것이며, 이때 방정식 \(f(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 \(f(\alpha)f(\beta) < 0\)이다.
실수 \(a\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x + 2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x) = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))를 \(a\)에 대한 식으로 구하고, 극댓값 \(f(\alpha)\)와 극솟값 \(f(\beta)\)의 차 \(f(\alpha) - f(\beta)\)가 \(a\)의 값에 관계없이 일정함을 보이시오.
[문항 4-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 극소점의 \(x\)좌표가 양수이고 극대점의 \(x\)좌표가 음수가 되도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) \(a = 1\)일 때 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 두개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 상수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)이고 시각 \(t = 0\)에서의 위치가 \(x_0\)일 때, 시각 \(t\)에서의 위치는 \(x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v(s)\,ds\)이고, 시각 \(t = a\)에서 \(t = b\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리는 \(\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt\)이다.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(0 \le t \le 4\))에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 그때의 점 \(\mathrm{P}\)의 위치를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 다시 원점을 지나는 시각 \(t_0\) (\(t_0 > 0\))을 구하고, 그 순간의 가속도 \(a(t_0)\)를 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.