[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] 최소 \(16\)시간 | [1-2] \(t \ge \dfrac{4(1 - \log_{10} 1.5)}{0.3010} \approx 13.6\)시간 | [1-3] \(x = 100\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(C(t) = 160\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} \le 160 \times \dfrac{1}{16} = 10\)을 세운다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \iff \dfrac{t}{4} \ge 4 \iff t \ge 16\)시간이다. 또한 \(160\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} \le 15 \iff 2^{\frac{t}{4}} \ge \dfrac{32}{3}\)에서 상용로그를 취하면 \(\dfrac{t}{4}\log_{10} 2 \ge 5\log_{10} 2 - \log_{10} 3 = 1.5050 - 0.4771 = 1.0279 \implies t \ge \dfrac{4.1116}{0.3010} \approx 13.66\)시간이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(2 \le \log_{10} x < 3\)이고 두 상용로그의 소수부분이 같으므로 차 \(\log_{10} x^2 - \log_{10} x = \log_{10} x\)가 정수여야 한다. 따라서 \(\log_{10} x = 2 \implies x = 10^2 = 100\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [1-1] 6점 | • 반감기 지수부등식 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/4} \le 2^{-4}\) 수립 +3점 / 최소 \(16\)시간 도출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • \(2^{t/4} \ge \dfrac{32}{3}\) 상용로그 변환 +4점 / \(5\log_{10} 2 - \log_{10} 3 = 1.0279\) 대입 계산 +3점 |
| [1-3] 7점 | • \(\log_{10} x^2 - \log_{10} x = \log_{10} x \in \mathbb{Z}\) 조건 도출 +4점 / \(x = 100\) 산출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 가톨릭대 간호학과 수리논술 빈출 유형인 약동학 반감기 모델에서는 \(\dfrac{32}{3}\)처럼 분모·분자를 \(2\)와 \(3\)의 거듭제곱으로 소인수분해해야 주어진 상용로그 값을 정확히 대입할 수 있습니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] 주기 \(\pi\), 최댓값 \(3\), 최솟값 \(-1\), 실근 합 \(3\pi\) | [2-2] \(3\pi\) | [2-3] \(N(1) = 2,\; N(2) = 4\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 주기는 \(\dfrac{2\pi}{2} = \pi\), 최댓값은 \(2 + 1 = 3\), 최솟값은 \(-2 + 1 = -1\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(f(x) = 2 \iff \sin(2x) = \dfrac{1}{2}\)에서 \(2x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{13\pi}{6}, \dfrac{17\pi}{6}\)이므로 네 실근은 \(\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}, \dfrac{17\pi}{12}\)이고 합은 \(3\pi\)이다. 임의의 \(1 < k < 3\)에서도 \(\alpha_1 + \alpha_2 = 2\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}\)이고 \(\alpha_3 + \alpha_4 = 2\cdot\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{2}\)이므로 네 근의 합은 \(k\)에 관계없이 항상 \(3\pi\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(n = 1\)일 때 직선 \(y = \dfrac{x}{\pi}\)는 \((0, 0)\)과 \((\pi, 1)\)을 지나므로 \([0, \pi]\)에서 \(x = 0\)과 \((0, \pi/2)\) 사이의 \(1\)개 교점만 만나 \(N(1) = 2\)개이다. \(n = 2\)일 때 직선 \(y = \dfrac{x}{2\pi}\)는 \((2\pi, 1)\)을 지나므로 첫 주기에서 \(2\)개, 둘째 주기 마루 \((5\pi/4, 1)\) 근처에서 \(2\)개 만나 총 \(N(2) = 4\)개이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • 주기 \(\pi\), 최댓값 \(3\), 최솟값 \(-1\) 도출 +3점 / 네 근 및 합 \(3\pi\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • 대칭축 \(x = \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{4}\) 명시 +4점 / \(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{5\pi}{2} = 3\pi\) 유도 +3점 |
| [2-3] 7점 | • \((n\pi, 1)\) 통과점 기준 그래프 교점 분석 +4점 / \(N(1) = 2,\; N(2) = 4\) 산출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 삼각함수와 수평선 \(y = k\)의 교점들의 합을 구할 때는 개별 근을 구하지 않고 대칭축(마루·골의 \(x\)좌표)의 \(2\)배로 묶어 계산하는 것이 핵심입니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(-2 < k < 3\), 정수 \(k\)는 \(4\)개 | [3-2] \(a = 1\) | [3-3] \(k = \dfrac{5}{2}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 모든 실수 \(x\)에서 \(g(x) = x^2 - 2kx + k + 6 \ne 0\)이려면 이차방정식 \(g(x) = 0\)의 판별식 \(D < 0\)이어야 한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(D/4 = k^2 - (k + 6) = (k - 3)(k + 2) < 0 \implies -2 < k < 3\)이므로 정수 \(k \in \{-1, 0, 1, 2\}\)로 총 \(4\)개이다. 또한 \(\lim_{x \to 1-} f(x) = 3 \ne \lim_{x \to 1+} f(x) = 2\)이므로 \(f(x)\)는 \(x = 1\)에서 불연속이고, \(p(x) = f(x)(x - a)\)가 \(x = 1\)에서 연속이 되려면 \(3(1 - a) = 2(1 - a) \implies a = 1\)이어야 한다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \((g \circ f)(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이 되려면 \(\lim_{x \to 1-} g(f(x)) = g(3)\)과 \(\lim_{x \to 1+} g(f(x)) = g(2)\)가 같아야 한다. \(g(3) = g(2) \iff\) 이차함수 \(g(x)\)의 대칭축이 \(x = k = \dfrac{2 + 3}{2} = \dfrac{5}{2}\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • 분모 \(g(x) \ne 0 \iff D/4 = k^2 - k - 6 < 0\) 도출 +3점 / \(-2 < k < 3\) 및 정수 \(4\)개 산출 +3점 |
| [3-2] 7점 | • 좌극한 \(3\), 우극한 \(2\) 비교 서술 +3점 / \(3(1-a) = 2(1-a) \implies a = 1\) 도출 +4점 |
| [3-3] 7점 | • \(g(3) = g(2)\) 연속 조건 수립 +4점 / 대칭축 \(k = \dfrac{5}{2}\) 산출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 이차함수 \(g(x)\)에 대하여 \(g(\alpha) = g(\beta)\) (\(\alpha \ne \beta\))가 성립할 조건은 직접 대입해 풀지 않고도 대칭축이 \(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\)라는 성질로 즉시 구할 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.50 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-04, 12미적Ⅰ-02-05]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(b = -\dfrac{1}{4}\) (직선 \(y = -\dfrac{1}{4}\)) | [4-2] 직선 \(\mathrm{AB} : y = 2x + \dfrac{1}{4},\; \overline{\mathrm{AB}} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}\) | [4-3] \(\dfrac{S}{T} = \dfrac{2}{3}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 두 접선의 기울기는 \(2t_1, 2t_2\)이므로 수직 조건은 \((2t_1)(2t_2) = 4t_1 t_2 = -1\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 방정식 \(t^2 - 2at + b = 0\)에서 근과 계수의 관계에 의해 \(t_1 t_2 = b\)이므로 \(4b = -1 \implies b = -\dfrac{1}{4}\)이다. \(a = 1,\; b = -\dfrac{1}{4}\)일 때 \(t_1 + t_2 = 2,\; t_1 t_2 = -\dfrac{1}{4}\)이므로 \((t_2 - t_1)^2 = 4 - (-1) = 5 \implies |t_2 - t_1| = \sqrt{5}\)이다. 직선 \(\mathrm{AB}\)는 \(y = (t_1 + t_2)x - t_1 t_2 = 2x + \dfrac{1}{4}\)이고, 기울기가 \(2\)이므로 \(\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{1 + 2^2}|t_2 - t_1| = 5\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 포물선과 할선 \(\mathrm{AB}\)로 둘러싸인 넓이는 \(S = \dfrac{1}{6}(t_2 - t_1)^3 = \dfrac{5\sqrt{5}}{6}\)이고, 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이는 \(T = \dfrac{1}{4}(t_2 - t_1)^3 = \dfrac{5\sqrt{5}}{4}\)이므로 비율은 \(\dfrac{S}{T} = \dfrac{1/6}{1/4} = \dfrac{2}{3}\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • \(4t_1 t_2 = -1\) 및 \(t_1 t_2 = b\) 적용 +3점 / \(b = -\dfrac{1}{4}\) 도출 +3점 |
| [4-2] 7점 | • 직선 \(\mathrm{AB} : y = 2x + \dfrac{1}{4}\) 도출 +3점 / \(|t_2 - t_1| = \sqrt{5}\)로부터 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5\) 산출 +4점 |
| [4-3] 7점 | • 포물선 넓이 \(S = \dfrac{5\sqrt{5}}{6}\) 및 \(\triangle\mathrm{PAB}\) 넓이 \(T = \dfrac{5\sqrt{5}}{4}\) 산출 +4점 / 비율 \(\dfrac{2}{3}\) 도출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 아르키메데스의 포물선 넓이 정리에 의해 포물선과 두 접점 연결 할선으로 둘러싸인 넓이 \(S\)와 두 접선·할선이 이루는 삼각형 넓이 \(T\)의 비는 항상 \(\dfrac{S}{T} = \dfrac{2}{3}\)입니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(a = -3,\; b = 2\) | [5-2] \(\dfrac{1}{2}\) | [5-3] \(42\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 주기성에 의해 \(f(2) = f(0) = 0\)이고, \(x = 2\)에서의 미분가능성에 의해 \(f'(2) = f'(0) = b\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(f(2) = 8 + 4a + 2b = 0\)이고 \(f'(2) = 12 + 4a + b = b \implies 4a = -12 \implies a = -3,\; b = 2\)이다. 따라서 \([0, 2]\)에서 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x = x(x - 1)(x - 2)\)이고, 점 \((1, 0)\) 대칭이므로 \(\int_{0}^{2} |f(x)|\,dx = 2\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 점 \((1, 0)\) 대칭성에 의해 한 주기 정적분은 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 0\)이다. 구간 \([-4, 10]\)의 길이는 \(14 = 7 \times 2\) (주기 \(7\)개)이므로 \(\int_{-4}^{10} \bigl(f(x) + 3\bigr)\,dx = 7\int_{0}^{2} f(x)\,dx + 3 \times 14 = 0 + 42 = 42\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • \(f(2) = f(0),\; f'(2) = f'(0)\) 조건식 수립 +3점 / \(a = -3,\; b = 2\) 산출 +3점 |
| [5-2] 7점 | • \(f(x) = x(x-1)(x-2)\) 부호 분리 +3점 / \(\int_0^2 |f(x)|\,dx = \dfrac{1}{2}\) 산출 +4점 |
| [5-3] 7점 | • 한 주기 정적분 \(\int_0^2 f(x)\,dx = 0\) 도출 +4점 / \(3 \times 14 = 42\) 산출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 주기가 \(2\)인 함수가 실수 전체에서 미분가능하려면 구간 양 끝점에서의 함숫값 일치(\(f(0)=f(2)\))뿐만 아니라 미분계수 일치(\(f'(0)=f'(2)\))까지 연립해야 합니다.