[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(A = 2^{2/3} < B = 2^{3/4} < C = 2^{5/6}\) | [1-2] \(n_0 = 4,\; 2^9 = 512\) | [1-3] \(3 < k < 4\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(A = 2^{2/3} = 2^{8/12},\; B = 2^{3/4} = 2^{9/12},\; C = 2^{5/6} = 2^{10/12}\)으로 지수의 분모를 \(12\)로 통분한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 밑 \(2 > 1\)이므로 \(A < B < C\)이다. 또한 \(A\cdot B\cdot C = 2^{\frac{8+9+10}{12}} = 2^{\frac{27}{12}} = 2^{\frac{9}{4}}\)이므로 \((A\cdot B\cdot C)^n = 2^{\frac{9n}{4}}\)이 자연수가 되려면 \(n\)은 \(4\)의 배수여야 한다. 따라서 최소 자연수는 \(n_0 = 4\)이고 그때의 값은 \(2^9 = 512\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(t = 2^x\)로 치환하면 \(x > 0 \iff t > 1\)이다. 이차방정식 \(f(t) = t^2 - 4t + k = 0\)이 \(t > 1\)에서 서로 다른 두 실근을 가지려면 대칭축 \(t = 2 > 1\)에서 \(D/4 = 4 - k > 0 \implies k < 4\)이고 경계값 \(f(1) = 1 - 4 + k > 0 \implies k > 3\)이어야 하므로 \(3 < k < 4\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [1-1] 6점 | • \(A = 2^{2/3},\; B = 2^{3/4},\; C = 2^{5/6}\) 변환 +3점 / \(A < B < C\) 대소 판정 +3점 |
| [1-2] 7점 | • \(A\cdot B\cdot C = 2^{9/4}\) 산출 +4점 / \(n_0 = 4\) 및 \(2^9 = 512\) 도출 +3점 |
| [1-3] 7점 | • \(t = 2^x > 1\) 치환 및 근의 분리 조건 수립 +4점 / \(3 < k < 4\) 산출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(x > 0\)인 양의 실근 조건을 \(t = 2^x\)로 치환할 때 정의역이 \(t > 0\)이 아니라 \(t > 2^0 = 1\)로 바뀐다는 점이 가톨릭대 수리논술의 핵심 채점 포인트입니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(S(r) = r(10 - r)\), \(r = 5,\; l = 10,\; \theta = 2\) (라디안) | [2-2] \(-\dfrac{25}{2}\sin 2\cos 2\) | [2-3] \(\sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{1}{4},\; \sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{5\sqrt{2}}{8}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(l = 20 - 2r\) (\(0 < r < 10\))이므로 \(S(r) = \dfrac{1}{2}r(20 - 2r) = -r^2 + 10r = -(r - 5)^2 + 25\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(r = 5\)일 때 최대 넓이 \(25\)를 가지며, 이때 \(l = 10\)이고 중심각은 \(\theta = \dfrac{l}{r} = 2\) (라디안)이다. \(\dfrac{\pi}{2} < 2 < \pi\)이므로 \(\angle \mathrm{AOH} = \pi - 2\)이고 \(\overline{\mathrm{OH}} = 5\cos(\pi - 2) = -5\cos 2 > 0,\; \overline{\mathrm{AH}} = 5\sin 2\)이므로 \(\triangle \mathrm{OAH} = -\dfrac{25}{2}\sin 2\cos 2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \((\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{2} \implies \sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{1}{4}\)이고, \(\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1 + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{5\sqrt{2}}{8}\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • \(S(r) = -r^2 + 10r\) 식 수립 +3점 / \(r = 5,\; l = 10,\; \theta = 2\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • \(2\) 라디안이 제2사분면 각(\(\cos 2 < 0\))임을 반영 +4점 / 넓이 \(-\dfrac{25}{2}\sin 2\cos 2\) 도출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • \(\sin\alpha\cos\alpha = -\dfrac{1}{4}\) 산출 +3점 / 세제곱 곱셈공식으로 \(\dfrac{5\sqrt{2}}{8}\) 도출 +4점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 중심각 \(\theta = 2\) 라디안은 \(\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57\)보다 큰 둔각이므로 \(\cos 2 < 0\)이 되어 선분 길이 \(\overline{\mathrm{OH}} = -5\cos 2\)로 부호를 양수로 맞춰야 감점을 피할 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(3\) | [3-2] \(a = 3,\; b = 2\) | [3-3] \(\dfrac{3}{2}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(x > 0\)이므로 부등식의 각 변을 양수 \(x(x + 1)\)로 나누어 극한을 취한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\dfrac{3x^2 + 4x - 1}{x^2 + x} \le \dfrac{g(x)}{x} \le \dfrac{3x^2 + 4x + 2}{x^2 + x}\)에서 양 끝 변의 \(x \to \infty\) 극한이 모두 \(3\)이므로 제시문 (가)에 의해 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x} = 3\)이다. [문항 3-2]에서 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 \(\sqrt{1 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{1 + a} > 0\)이고, 유리화하면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{1}{\sqrt{x + a} + b} = \dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4} \implies b = 2,\; a = 3\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 켤레식 \(\sqrt{4x^2 + 6x + 1} + 2x\)를 분자·분모에 곱하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{6x + 1}{\sqrt{4x^2 + 6x + 1} + 2x} = \dfrac{6}{2 + 2} = \dfrac{3}{2}\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • 양변을 \(x(x+1) > 0\)으로 나눈 부등식 제시 +3점 / 조임 정리로 극한값 \(3\) 도출 +3점 |
| [3-2] 7점 | • \(\sqrt{1+a} = b\) 및 유리화 극한 \(\dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}\) 수립 +4점 / \(a = 3,\; b = 2\) 산출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • 켤레 무리식 유리화 +4점 / 최고차항 계수비 \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\) 산출 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 부등식의 각 변을 \(x(x+1)\)로 나눌 때 반드시 '\(x > 0\)이므로 \(x(x+1) > 0\)이어서 부등호 방향이 유지된다'는 언급을 적어야 만점을 받습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(f(0) = 2,\; f'(x) = 3x^2 + 4\) | [4-2] \(f(x) = x^3 + 4x + 2\), 접선 \(y = 7x\) | [4-3] 모든 실수 \(k\)에 대하여 오직 하나의 실근만 가짐
[1줄 공식선언 (30%)]: \(x = y = 0\)을 대입하면 \(f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h} + 3x^2 = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 + 4\)이다. 부정적분과 \(f(0) = 2\)로부터 \(f(x) = x^3 + 4x + 2\)이고, \(f(1) = 7,\; f'(1) = 7\)이므로 접선은 \(y = 7(x - 1) + 7 = 7x\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(x) = 4x + k \iff x^3 + 2 = k \iff x^3 = k - 2\)이다. (또는 \(g(x) = f(x) - 4x = x^3 + 2\)는 \(g'(x) = 3x^2 \ge 0\)이고 유한 개 점에서만 \(0\)인 순증가 함수이므로 임의의 실수 \(k\)에 대하여 실근 \(x = \sqrt[3]{k - 2}\)를 오직 하나만 갖는다.)
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • \(f(0) = 2\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 3x^2 + 4\) 유도 +4점 |
| [4-2] 7점 | • \(f(x) = x^3 + 4x + 2\) 적분 결정 +4점 / 점 \((1, 7)\)에서의 접선 \(y = 7x\) 산출 +3점 |
| [4-3] 7점 | • \(f(x) - 4x = x^3 + 2\) 변환 및 도함수 \(3x^2 \ge 0\) 제시 +4점 / 유일 실근 존재 논증 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 함수방정식에서 도함수를 유도할 때 편미분을 쓰지 않고 반드시 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\)의 정의를 거쳐야 교육과정 준수 만점을 받습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(K = 1,\; f(x) = 3x^2 - 4x + 2\) | [5-2] 교점 \(x = 0, 2\), 넓이 \(4\) | [5-3] 극값 차 \(\dfrac{32}{27}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(K = \int_{0}^{1} f(t)\,dt\)로 놓으면 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2K\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 양변을 \(0\)부터 \(1\)까지 정적분하면 \(K = \int_{0}^{1} (3t^2 - 4t + 2K)\,dt = \Bigl[t^3 - 2t^2 + 2Kt\Bigr]_{0}^{1} = 1 - 2 + 2K = 2K - 1 \implies K = 1\)이다. 따라서 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(x) = 2x + 2 \iff 3x^2 - 6x = 0 \implies x = 0, 2\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\dfrac{3}{6}(2 - 0)^3 = 4\)이다. 또한 \(G'(x) = f(x) - 2 = 3x^2 - 4x = x(3x - 4) = 0\)에서 \(x = 0, \dfrac{4}{3}\)이므로 극댓값과 극솟값의 차는 \(\int_{0}^{4/3} |3t^2 - 4t|\,dt = \dfrac{3}{6}\left(\dfrac{4}{3}\right)^3 = \dfrac{32}{27}\)이다.
| 배점 단계 | 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • \(K = \int_0^1 f(t)\,dt\) 치환 및 \(K = 2K - 1\) 유도 +3점 / \(K = 1,\; f(x) = 3x^2 - 4x + 2\) 도출 +3점 |
| [5-2] 7점 | • 교점 방정식 정리 +3점 / 정적분 공식으로 둘러싸인 넓이 산출 +4점 |
| [5-3] 7점 | • 미적분학의 기본정리 \(F'(x) = f(x)\) 적용 +4점 / 정적분 차 계산 +3점 |
⚠️ 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분 \(\int_0^1 f(t)\,dt\)는 미분하면 \(0\)이 되는 상수이므로 반드시 상수 \(K\)로 치환해 적분 방정식을 풀어야 합니다.