🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
[제시문 (가)] 양수 \(a, b\)와 자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 \(a < b \iff a^n < b^n \iff \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}\)가 성립한다. 따라서 서로 다른 거듭제곱근의 대소를 비교할 때는 지수의 분모들의 최소공배수를 거듭제곱하여 밑을 자연수로 통일할 수 있다.
세 양수 \(A = \sqrt[3]{4},\; B = \sqrt[4]{8},\; C = \sqrt[6]{32}\)와 실수 \(x\)에 대한 방정식 \(4^x - 2^{x+2} + k = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 세 수 \(A, B, C\)를 각각 \(2\)의 유리수 지수 꼴로 나타내고, \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.
[문항 1-2] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 \((A \cdot B \cdot C)^n\)이 자연수가 되도록 하는 최소의 자연수 \(n_0\)과 그때의 값 \((A \cdot B \cdot C)^{n_0}\)을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 지수방정식 \(4^x - 2^{x+2} + k = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha, \beta > 0\))를 갖도록 하는 상수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
[제시문 (가)] 반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안, \(0 < \theta < 2\pi\))인 부채꼴의 호의 길이는 \(l = r\theta\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl\)이다.
둘레의 길이가 \(20\)으로 일정한 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\) (반지름 \(r\), 호의 길이 \(l\), 중심각 \(\theta\))에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 부채꼴의 둘레 조건 \(2r + l = 20\)을 이용하여 부채꼴의 넓이 \(S(r)\)를 \(r\)에 대한 이차함수로 나타내고, 넓이가 최대가 될 때의 반지름 \(r\), 호의 길이 \(l\), 중심각 \(\theta\)를 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) [문항 2-1]에서 넓이가 최대가 될 때의 중심각 \(\theta\)에 대하여, 점 \(\mathrm{A}\)에서 직선 \(\mathrm{OB}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라 할 때 삼각형 \(\mathrm{OAH}\)의 넓이를 \(\sin 2,\; \cos 2\)를 이용하여 나타내시오.
[문항 2-3] (7점) \(\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (\(0 < \alpha < \pi\))일 때, \(\sin\alpha\cos\alpha\)와 \(\sin^3\alpha + \cos^3\alpha\)의 값을 각각 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
[제시문 (가)] 세 함수 \(f(x), g(x), h(x)\)가 \(a\)에 가까운 모든 실수 \(x\) (\(x \ne a\))에서 \(f(x) \le g(x) \le h(x)\)를 만족시키고 \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L\)이면, \(\lim_{x \to a} g(x) = L\)이다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(g(x)\)와 무리식 극한에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 모든 양수 \(x\)에 대하여 부등식 \(3x^2 + 4x - 1 \le (x + 1)g(x) \le 3x^2 + 4x + 2\)가 성립할 때, 제시문 (가)를 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{x}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[문항 3-2] (7점) 등식 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 1} = \dfrac{1}{4}\)이 성립하도록 하는 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 극한값 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + 6x + 1} - 2x\right)\)를 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
[제시문 (가)] 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수는 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)로 정의되며, 두 변수 \(x, y\)에 대한 항등식이 주어졌을 때는 차분몫 \(\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)를 정리하여 도함수를 구할 수 있다.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 항등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2\)를 만족시키고 \(f'(0) = 4\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 주어진 항등식에 \(x = 0,\; y = 0\)을 대입하여 \(f(0)\)의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x)\)를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 식을 구하고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 방정식 \(f(x) = 4x + k\)가 실근을 오직 하나만 갖는지, 아니면 여러 개 갖는지 도함수 \(f'(x) - 4\)의 부호를 이용하여 논증하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 가톨릭대학교(성심 자연·간호) 맞춤형 출제 트랙: Track A (제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-02]
[제시문 (가)] 상수 \(a, b\)에 대하여 정적분 \(\int_{a}^{b} f(t)\,dt\)의 값은 적분변수 \(t\)에 무관한 상수이므로, \(K = \int_{a}^{b} f(t)\,dt\)로 치환하여 함수 \(f(x)\)를 먼저 결정한 뒤 다시 정적분에 대입하여 \(K\)를 구할 수 있다.
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 2\int_{0}^{1} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)와 같이 \(K = \int_{0}^{1} f(t)\,dt\)로 치환하여 상수 \(K\)의 값을 구하고, 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 2x + 2\)의 두 교점의 \(x\)좌표를 구하고, 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(G(x) = \int_{0}^{x} \bigl(f(t) - 2\bigr)\,dt\)의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.
[가톨릭대학교(성심 자연·간호) 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.