2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 9회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 9회 해설집 | 9회 : 수열의 귀납적 정의 · 사잇값과 연속성 · 삼차함수 변곡 대칭 접선 · 정적분 함수의 극값 · 조건부확률과 베이즈

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 비선형 분수 점화식의 역수 치환과 부분분수 급수의 합

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 12091 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 \gt 0\)이고 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1}\) (\(p \gt 0\))을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = p\)가 되어 수열 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)은 공차가 \(p\)인 등차수열을 이룬다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)으로 놓을 때 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항과 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 자연수 \(m\)에 대하여 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} a_n a_{n+1}\)을 \(m\)에 대한 기약분수 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 \(S_m \gt \dfrac{15}{97}\)를 만족시키는 최소의 자연수 \(m\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(b_n = 3n - 1,\; a_n = \dfrac{1}{3n - 1}\) | [1-2] \(S_m = \dfrac{m}{2(3m + 2)}\) | [1-3] \(m = 16\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{3a_n + 1}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 3\)이므로 \(b_{n+1} - b_n = 3\)이고 \(b_1 = 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(b_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1\)이므로 \(a_n = \dfrac{1}{3n - 1}\)이다. \(a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{(3n - 1)(3n + 2)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n - 1} - \dfrac{1}{3n + 2}\right)\)이므로 \(S_m = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3m + 2}\right) = \dfrac{m}{2(3m + 2)}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\dfrac{m}{6m + 4} \gt \dfrac{15}{97} \iff 97m \gt 90m + 60 \iff 7m \gt 60 \implies m \ge 9\)! 검산: \(m = 9\)이면 \(\dfrac{9}{58} = \dfrac{135}{870},\; \dfrac{15}{97} = \dfrac{135}{873}\)이므로 \(m = 9\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 역수 등차수열 \(b_n = 3n - 1\) 도출 +3점 / \(a_n = \dfrac{1}{3n - 1}\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 부분분수 분해 \(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{b_{n+1}}\right)\) +4점 / \(S_m = \dfrac{m}{2(3m+2)}\) 계산 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 부등식 \(97m \gt 90m + 60\) 정리 +4점 / 최소 자연수 \(m = 9\) 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 부분분수 분해 시 분모의 차 \((3n + 2) - (3n - 1) = 3\)에서 나오는 계수 \(\dfrac{1}{3}\)을 누락하지 않도록 주의해야 합니다.

[대문항 2] (20점) 유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 12092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(h(x)\)가 \(x \ne -1,\; x \ne 2\)일 때 \(h(x) = \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} g(x)\)를 만족시킨다. 여기서 \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이고 \(h(-1) = 4\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} & (x \ne -1,\; x \ne 2) \\ 1 & (x = -1,\; x = 2) \end{cases}\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이고 \(h(-1) = 4,\; h(2) = -3\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(h(-1) = 4\) 조건을 이용하여 삼차함수 \(g(x)\)의 식을 완전히 구하고 \(h(2)\)와 \(g(3)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 방정식 \(g(x) = 0\)의 모든 실근을 구하고, 닫힌구간 \([-3, 0]\)에서 방정식 \(h(x) = 0\)이 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리로 설명하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(g(-1) = 0,\; g(2) = 0,\; g(x) = (x+1)(x-2)(x-k)\) | [2-2] \(g(x) = (x+1)(x-2)(x+2),\; h(2) = -4,\; g(3) = 20\) | [2-3] 실근 \(-2, -1, 2\), \(h(-1)h(2) = -16 \lt 0\)

🎯 모범 정답 : [2-1] \(g(-1) = 0,\; g(2) = 0,\; g(x) = (x+1)(x-2)(x-k)\) | [2-2] \(g(x) = (x+1)(x-2)(x+2),\; g(3) = 20\) | [2-3] 실근 \(-2, -1, 2\), \(h(-1)h(2) = -12 \lt 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g(x) = (x+1)(x-2)(x-k)\)로 놓으면 \(x \ne -1, 2\)에서 \(h(x) = (x-3)(x-k)\)이다. 연속성에 의해 \(h(-1) = \lim_{x \to -1} (x-3)(x-k) = -4(-1 - k) = 4 \implies k = -2\)이다. 따라서 \(g(x) = (x+1)(x-2)(x+2)\)이고 \(h(2) = \lim_{x \to 2} (x-3)(x+2) = -4\)이며 \(g(3) = 4 \cdot 1 \cdot 5 = 20\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(g(x) = 0\)의 세 실근은 \(x = -2, -1, 2\)이며, 연속함수 \(h(x) = (x-3)(x+2)\)는 닫힌구간 \([-3, 0]\)에서 \(h(-3) = 6 \gt 0,\; h(0) = -6 \lt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 \((-3, 0)\)에 실근(\(x = -2\))을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(x) = 0\)의 세 실근은 \(x = -2, -1, 2\)이며, \(h(x)\)는 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 연속이고 \(h(-1) = 4 \gt 0,\; h(2) = -4 \lt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 \((-1, 2)\)에 적어도 하나의 실근(\(x = -2\)가 아닌 구간 밖을 제외한 연속성 논증)을 갖는다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(g(-1) = g(2) = 0\) 논증 +3점 / 인수 설정 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 극한 계산으로 \(k = -2\) 확정 +4점 / \(g(3) = 20\) 산출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 세 실근 \(-2, -1, 2\) 도출 +3점 / 사잇값 정리 부호 변화 서술 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(x = -1, 2\)에서 \(f(x) = 1\)이므로 \(h(-1) = f(-1)g(-1) = 0\)이 되지 않도록 정의를 \(\lim_{x \to -1} f(x)g(x) = h(-1)\) 형태인 연속 확장 함수로 서술하면 논리적 완결성이 높아집니다.

[대문항 3] (20점) 삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 12093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 밖의 한 점 \((a, b)\)에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는 접점의 \(x\)좌표 \(t\)에 대한 방정식 \(b - f(t) = f'(t)(a - t)\)의 서로 다른 실근 \(t\)의 개수와 같다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)의 그래프와 점 \(P(1, k)\)에 대하여 점 \(P\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그을 수 있는 접선의 개수를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, t^3 - 3t)\)에서의 접선이 점 \(P(1, k)\)를 지날 조건을 정리하여 \(k\)를 \(t\)에 대한 삼차식 \(g(t)\)로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 점 \(P(1, k)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(k = -2\)일 때 점 \(P(1, -2)\)에서 곡선에 그은 모든 접선의 방정식과 세 접점(또는 두 접점)의 \(x\)좌표를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(k = -2t^3 + 3t^2 - 3\) | [3-2] \(-3 \lt k \lt -2\) | [3-3] 접점 \(t = -\dfrac{1}{2}, 1\), 접선 \(y = -2,\; y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{1}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 접선의 방정식 \(y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)\)에 \((1, k)\)를 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(k = (3t^2 - 3)(1 - t) + t^3 - 3t = -2t^3 + 3t^2 - 3 = g(t)\)이다. \(g'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0\)에서 \(g(0) = -3\) (극소), \(g(1) = -2\) (극대)이므로 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 \(-3 \lt k \lt -2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(k = -2\)이면 \(-2t^3 + 3t^2 - 3 = -2 \implies (t - 1)^2(2t + 1) = 0\)이므로 접점의 \(x\)좌표는 \(t = 1\)과 \(t = -\dfrac{1}{2}\)이다. \(t = 1\)일 때 접선은 \(y = -2\)이고, \(t = -\dfrac{1}{2}\)일 때 기울기는 \(f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{9}{4}\)이므로 접선은 \(y + 2 = -\dfrac{9}{4}(x - 1) \implies y = -\dfrac{9}{4}x + \dfrac{1}{4}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 접선 방정식 수립 +3점 / \(g(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(g(0) = -3,\; g(1) = -2\) 극값 계산 +4점 / \(-3 \lt k \lt -2\) 확정 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 중근 인수분해 \(t = 1, -\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점 / 두 접선의 방정식 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수에서는 서로 다른 접점이 곧 서로 다른 접선에 일대일로 대응하므로 방정식 \(g(t) = k\)의 서로 다른 실근의 개수가 접선의 개수와 일치합니다.

[대문항 4] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극댓값·극솟값의 차

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(t)\)에 대하여 \(F(x) = \int_a^x (x - t)f'(t)\,dt\)로 정의된 함수는 부분적분 또는 전개 미분법에 의하여 \(F'(x) = \int_a^x f'(t)\,dt = f(x) - f(a)\)이고 \(F''(x) = f'(x)\)를 만족시킨다.

이차함수 \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)에 대하여 함수 \(g(x) = \int_1^x f(t)\,dt\)로 정의할 때, 함수 \(g(x)\)의 극값과 넓이를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)를 구하고, 함수 \(g(x)\)가 극댓값을 갖는 \(x\)의 값과 극솟값을 갖는 \(x\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 방정식 \(g(x) = 0\)의 서로 다른 모든 실근을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = -\dfrac{4}{3}\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(g'(x) = (x-1)(x-3)\), 극대 \(x = 1\), 극소 \(x = 3\) | [4-2] 극댓값 \(0\), 극솟값 \(-\dfrac{4}{3}\), 실근 \(x = 1, 4\) | [4-3] \(\dfrac{4}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미적분의 기본정리에 의하여 \(g'(x) = f(x) = (x - 1)(x - 3)\)이고 \(g(1) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x = 1\)에서 극댓값 \(g(1) = 0\)을 갖고, \(x = 3\)에서 극솟값 \(g(3) = \int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt = -\dfrac{1}{6}(3 - 1)^3 = -\dfrac{4}{3}\)을 갖는다. \(g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}(x - 1)^2(x - 4) = 0\)에서 실근은 \(x = 1, 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(x) + \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}x(x - 3)^2\)이므로 직선 \(y = -\dfrac{4}{3}\)은 \(x = 3\)에서 접하고 \(x = 0\)에서 만난다. 따라서 둘러싸인 넓이는 \(\dfrac{1/3}{12}(3 - 0)^4 = \dfrac{81}{36} = \dfrac{9}{4}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(g'(x) = (x-1)(x-3)\) 도출 +3점 / 극대 \(x=1,\;\) 극소 \(x=3\) 판별 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 극댓값 \(0,\;\) 극솟값 \(-\dfrac{4}{3}\) 산출 +4점 / 실근 \(x = 1, 4\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 교점 \(x = 0, 3\) 인수분해 +3점 / 넓이 \(\dfrac{9}{4}\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(g(x) = \dfrac{1}{3}(x-1)^2(x-4)\)와 \(y = -\dfrac{4}{3}\)의 차는 \(\dfrac{1}{3}x(x-3)^2\)이므로 적분 구간이 \([0, 3]\)임을 정확히 찾아야 합니다.

[대문항 5] (20점) 조건부확률과 전체확률의 법칙을 이용한 사후확률 추론

확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 12095 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

<제시문 (가)> 표본공간 \(S\)의 분할 \(A, A^c\)와 사건 \(B\)에 대하여 \(P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(A^c)P(B \mid A^c)\)가 성립하며, 사건 \(B\)가 일어났을 때 사건 \(A\)가 일어났을 조건부확률은 \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)이다.

어느 반도체 공장의 두 생산 라인 \(A, B\)에서 전체 웨이퍼의 각각 \(40\%, 60\%\)를 생산한다. 라인 \(A\)와 라인 \(B\)에서 생산된 웨이퍼가 불량품일 확률은 각각 \(3\%, 2\%\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 이 공장에서 생산된 웨이퍼 중에서 임의로 택한 \(1\)개가 불량품일 확률 \(P(D)\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 임의로 택한 \(1\)개의 웨이퍼가 불량품이었을 때, 이 웨이퍼가 라인 \(A\)에서 생산되었을 조건부확률 \(P(A \mid D)\)를 기약분수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 불량품 검수 장치가 실제 불량품을 불량으로 판정할 확률이 \(90\%\)이고, 정상 제품을 불량으로 오판정할 확률이 \(1\%\)라 하자. 임의로 택한 웨이퍼 \(1\)개가 검수 장치에서 불량 판정을 받았을 때 실제로 불량품일 확률을 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(P(D) = \dfrac{3}{125} = 0.024\) | [5-2] \(P(A \mid D) = \dfrac{1}{2}\) | [5-3] \(\dfrac{135}{184}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(P(A) = 0.4,\; P(B) = 0.6,\; P(D \mid A) = 0.03,\; P(D \mid B) = 0.02\)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(P(A \cap D) = 0.4 \times 0.03 = 0.012\)이고, \(P(B \cap D) = 0.6 \times 0.02 = 0.012\)이므로 \(P(D) = 0.012 + 0.012 = 0.024 = \dfrac{3}{125}\)이다. 따라서 \(P(A \mid D) = \dfrac{0.012}{0.024} = \dfrac{1}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 불량 판정 사건을 \(E\)라 하면 \(P(D \cap E) = 0.024 \times 0.9 = 0.0216\)이고, \(P(D^c \cap E) = 0.976 \times 0.01 = 0.00976\)이다. 따라서 \(P(D \mid E) = \dfrac{0.0216}{0.0216 + 0.00976} = \dfrac{2160}{3136} = \dfrac{135}{196}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(P(A\cap D)=0.012,\; P(B\cap D)=0.012\) 계산 +3점 / \(P(D) = 0.024\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 조건부확률 공식 대입 +3점 / \(P(A \mid D) = \dfrac{1}{2}\) 산출 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 진양성 \(0.0216\) 및 위양성 \(0.00976\) 계산 +4점 / 기약분수 \(\dfrac{135}{196}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(2160 / 3136\)을 \(16\)으로 약분하면 분자는 \(135\), 분모는 \(196\)이 되므로 소수점 자릿수를 정수로 통일한 뒤 약분하는 것이 안전합니다.