2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 9회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 비선형 분수 점화식의 역수 치환과 부분분수 급수의 합

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 12091 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 \gt 0\)이고 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1}\) (\(p \gt 0\))을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = p\)가 되어 수열 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)은 공차가 \(p\)인 등차수열을 이룬다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)으로 놓을 때 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항과 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 자연수 \(m\)에 대하여 합 \(S_m = \sum_{n=1}^{m} a_n a_{n+1}\)을 \(m\)에 대한 기약분수 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 부등식 \(S_m \gt \dfrac{15}{97}\)를 만족시키는 최소의 자연수 \(m\)의 값을 구하시오.

[아주대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 유리함수와 다항함수의 곱의 연속성과 사잇값 정리

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 12092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

<제시문 (가)> 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(h(x)\)가 \(x \ne -1,\; x \ne 2\)일 때 \(h(x) = \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} g(x)\)를 만족시킨다. 여기서 \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이고 \(h(-1) = 4\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - 3}{x^2 - x - 2} & (x \ne -1,\; x \ne 2) \\ 1 & (x = -1,\; x = 2) \end{cases}\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 함수 \(h(x) = f(x)g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이고 \(h(-1) = 4,\; h(2) = -3\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(h(-1) = 4\) 조건을 이용하여 삼차함수 \(g(x)\)의 식을 완전히 구하고 \(h(2)\)와 \(g(3)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 방정식 \(g(x) = 0\)의 모든 실근을 구하고, 닫힌구간 \([-3, 0]\)에서 방정식 \(h(x) = 0\)이 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리로 설명하시오.

[문항 2-3] (7점) [2-1] \(g(-1) = 0,\; g(2) = 0,\; g(x) = (x+1)(x-2)(x-k)\) | [2-2] \(g(x) = (x+1)(x-2)(x+2),\; h(2) = -4,\; g(3) = 20\) | [2-3] 실근 \(-2, -1, 2\), \(h(-1)h(2) = -16 \lt 0\)

[아주대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 삼차함수 그래프의 변곡 대칭성과 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 탐구 12093 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 밖의 한 점 \((a, b)\)에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는 접점의 \(x\)좌표 \(t\)에 대한 방정식 \(b - f(t) = f'(t)(a - t)\)의 서로 다른 실근 \(t\)의 개수와 같다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)의 그래프와 점 \(P(1, k)\)에 대하여 점 \(P\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그을 수 있는 접선의 개수를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, t^3 - 3t)\)에서의 접선이 점 \(P(1, k)\)를 지날 조건을 정리하여 \(k\)를 \(t\)에 대한 삼차식 \(g(t)\)로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 점 \(P(1, k)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(k = -2\)일 때 점 \(P(1, -2)\)에서 곡선에 그은 모든 접선의 방정식과 세 접점(또는 두 접점)의 \(x\)좌표를 구하시오.

[아주대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극댓값·극솟값의 차

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12094 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(t)\)에 대하여 \(F(x) = \int_a^x (x - t)f'(t)\,dt\)로 정의된 함수는 부분적분 또는 전개 미분법에 의하여 \(F'(x) = \int_a^x f'(t)\,dt = f(x) - f(a)\)이고 \(F''(x) = f'(x)\)를 만족시킨다.

이차함수 \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)에 대하여 함수 \(g(x) = \int_1^x f(t)\,dt\)로 정의할 때, 함수 \(g(x)\)의 극값과 넓이를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)를 구하고, 함수 \(g(x)\)가 극댓값을 갖는 \(x\)의 값과 극솟값을 갖는 \(x\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 방정식 \(g(x) = 0\)의 서로 다른 모든 실근을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = -\dfrac{4}{3}\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[아주대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 조건부확률과 전체확률의 법칙을 이용한 사후확률 추론

확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 12095 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통02-03]

<제시문 (가)> 표본공간 \(S\)의 분할 \(A, A^c\)와 사건 \(B\)에 대하여 \(P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(A^c)P(B \mid A^c)\)가 성립하며, 사건 \(B\)가 일어났을 때 사건 \(A\)가 일어났을 조건부확률은 \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)이다.

어느 반도체 공장의 두 생산 라인 \(A, B\)에서 전체 웨이퍼의 각각 \(40\%, 60\%\)를 생산한다. 라인 \(A\)와 라인 \(B\)에서 생산된 웨이퍼가 불량품일 확률은 각각 \(3\%, 2\%\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 이 공장에서 생산된 웨이퍼 중에서 임의로 택한 \(1\)개가 불량품일 확률 \(P(D)\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 임의로 택한 \(1\)개의 웨이퍼가 불량품이었을 때, 이 웨이퍼가 라인 \(A\)에서 생산되었을 조건부확률 \(P(A \mid D)\)를 기약분수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 불량품 검수 장치가 실제 불량품을 불량으로 판정할 확률이 \(90\%\)이고, 정상 제품을 불량으로 오판정할 확률이 \(1\%\)라 하자. 임의로 택한 웨이퍼 \(1\)개가 검수 장치에서 불량 판정을 받았을 때 실제로 불량품일 확률을 기약분수로 구하시오.

[아주대학교 제9회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.