2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 8회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 8회 해설집 | 8회 : 지수·로그 역함수 교점 · 사인법칙 외접원 현 · 평균값 정리 부등식 · 우함수·기함수 정적분 · 포물선 초점과 준선

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 함수 \(y = a^{x-m} + n\)의 역함수는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭인 \(y = \log_a(x - n) + m\)이며, 기울기가 \(-1\)인 직선 \(y = -x + k\)와 원래 함수 및 역함수의 교점은 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이다.

곡선 \(C_1 : y = 2^{x-1} + 1\)과 곡선 \(C_2 : y = \log_2(x - 1) + 1\)이 직선 \(l : y = -x + 8\)과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 두 곡선 \(C_1, C_2\)가 서로 역함수 관계임을 보이고, 두 점 \(A, B\)의 중점 \(M\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 점 \(A\)와 점 \(B\)의 좌표를 각각 구하고, 선분 \(AB\)의 길이를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 \(O(0, 0)\)에 대하여 삼각형 \(OAB\)의 넓이와 곡선 \(C_1, C_2\)의 두 교점 사이의 거리를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] 중점 \(M(4, 4)\) | [1-2] \(A(3, 5),\; B(5, 3),\; \overline{AB} = 2\sqrt{2}\) | [1-3] 넓이 \(8\), 교점 거리 \(\sqrt{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(y = 2^{x-1} + 1\)에서 \(x, y\)를 바꾸어 정리하면 \(y = \log_2(x - 1) + 1\)이므로 서로 역함수이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 중점 \(M\)은 \(y = x\)와 \(y = -x + 8\)의 교점이므로 \(M(4, 4)\)이다. \(2^{x-1} + 1 = -x + 8\)에서 \(x = 3\)을 대입하면 \(2^2 + 1 = 5 = -3 + 8\)이므로 \(A(3, 5),\; B(5, 3)\)이고 \(\overline{AB} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점 \(O\)에서 직선 \(x + y - 8 = 0\)까지의 거리는 \(\dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\)이므로 \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 8\)이다. \(C_1, C_2\)의 교점은 \(2^{x-1} + 1 = x\)에서 \((2, 2), (3, 3)\)이므로 거리는 \(\sqrt{2}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 역함수 관계 증명 +3점 / 중점 \(M(4, 4)\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 단조성을 이용한 교점 \(A(3, 5),\; B(5, 3)\) 확정 +4점 / \(\overline{AB} = 2\sqrt{2}\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(\triangle OAB\) 넓이 \(8\) 계산 +4점 / 교점 \((2,2),(3,3)\) 거리 \(\sqrt{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(2^{x-1} + x = 7\)에서 좌변은 엄격한 증가함수이므로 실근 \(x = 3\)이 유일함을 명시해야 감점을 피할 수 있습니다.

[대문항 2] (20점) 외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12082 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(ABC\)의 외접원의 반지름을 \(R\)이라 할 때 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)와 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)가 성립한다.

반지름의 길이가 \(R = \sqrt{7}\)인 원에 내접하는 삼각형 \(ABC\)에서 \(\angle A = \dfrac{\pi}{3}\)이고 \(\overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 1\)일 때, 삼각형의 세 변과 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 \(BC\)의 길이 \(a\)를 구하고, \(\overline{AC} = k,\; \overline{AB} = 3k\)로 놓아 코사인법칙으로 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(ABC\)의 넓이 \(S\)와 꼭짓점 \(A\)에서 변 \(BC\)에 내린 수선의 발 \(H\)에 대하여 선분 \(AH\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 \(A\)의 이등분선이 변 \(BC\)와 만나는 점을 \(D\)라 할 때, 선분 \(AD\)의 길이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = \sqrt{21},\; k = \sqrt{3}\) (\(\overline{AC}=\sqrt{3},\; \overline{AB}=3\sqrt{3}\)) | [2-2] \(S = \dfrac{9\sqrt{3}}{4},\; \overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}}\) | [2-3] \(\overline{AD} = \dfrac{9}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 사인법칙 \(a = 2R\sin A\)를 적용하고 코사인법칙에 \(\overline{AB}=3k,\; \overline{AC}=k\)를 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a = 2\sqrt{7}\sin\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{21}\)이고, 코사인법칙에서 \(21 = k^2 + 9k^2 - 3k^2 = 7k^2 \implies k = \sqrt{3}\)이다. 따라서 \(S = \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\)이고, \(\dfrac{1}{2}\sqrt{21}\,\overline{AH} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4} \implies \overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 넓이 분할 \(\operatorname{Area}(\triangle ABC) = \operatorname{Area}(\triangle ABD) + \operatorname{Area}(\triangle ACD)\)에서 \(\dfrac{9\sqrt{3}}{4} = \dfrac{1}{2}(3\sqrt{3} + \sqrt{3})\overline{AD}\sin\dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}\,\overline{AD} \implies \overline{AD} = \dfrac{9}{4}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(a = \sqrt{21}\) 도출 +3점 / 코사인법칙 \(7k^2 = 21 \implies k = \sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점 / 수선의 길이 \(\overline{AH} = \dfrac{9}{2\sqrt{7}}\) 유도 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 넓이 분할 공식 수립 +4점 / \(\overline{AD} = \dfrac{9}{4}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 각의 이등분선 길이는 \(\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{\pi}{6}\)을 이용한 넓이 합 공식으로 가장 간결하게 유도됩니다.

[대문항 3] (20점) 평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하면, \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)를 만족시키는 실수 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\)에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 상수와 극한을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)에 평균값 정리를 적용할 때, \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족시키는 열린구간 \((0, 3)\) 내의 상수 \(c\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 2\)임을 증명하고, 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 2(x_2 - x_1)\)이 성립함을 평균값 정리로 보이시오.

[문항 3-3] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 닫힌구간 \([n, n + 1]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수를 \(c_n \in (n, n + 1)\)이라 할 때, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} (c_n - n)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(c = 1 + \sqrt{2}\) | [3-2] \(f'(x) = 3(x-1)^2 + 2 \ge 2\) | [3-3] \(\dfrac{1}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 = 3(x - 1)^2 + 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3} = \dfrac{16 - 1}{3} = 5\)이므로 \(3c^2 - 6c + 5 = 5 \implies 3c(c - 2) = 0\)에서 \(c \in (0, 3)\)인 값은 \(c = 2\)이다! 검산: \(f(3) = 27 - 27 + 15 + 1 = 16,\; f(0) = 1\)이므로 평균변화율은 \(5\)이고 \(3c^2 - 6c + 5 = 5 \implies c = 2\)이다. 또한 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = 3(x-1)^2 + 2 \ge 2\)이므로 \(x_1 \lt x_2\)에서 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(\xi) \ge 2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(n+1) - f(n) = 3n^2 - 3n + 3 = f'(c_n) = 3c_n^2 - 6c_n + 5\)에서 \(3(c_n - 1)^2 = 3n^2 - 3n + 1\)이므로 \(c_n - 1 = \sqrt{n^2 - n + \dfrac{1}{3}}\)이고, \(\lim_{n \to \infty} (c_n - n) = \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 - n + \dfrac{1}{3}} - (n - 1)\right) = \dfrac{1}{2}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 평균변화율 \(5\) 계산 +3점 / \(c = 2 \in (0, 3)\) 확정 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 완전제곱식 \(3(x-1)^2 + 2 \ge 2\) 변형 +3점 / 평균값 정리 부등식 논증 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(c_n\)에 대한 이차방정식 수립 +4점 / 유리화 극한 \(\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(3c(c - 2) = 0\)의 두 해 \(c = 0, 2\) 중 열린구간 \((0, 3)\)에 속하는 해는 \(c = 2\)뿐임을 명시해야 합니다.

[대문항 4] (20점) 우함수·기함수 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 함수의 정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 12084 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 연속인 함수에 대하여 우함수는 \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx\), 기함수는 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0\)을 만족시키며, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + p) = f(x)\)이면 길이가 \(p\)인 임의의 구간에서의 정적분 값은 일정하다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 정적분의 값을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.
(조건 1) \(-1 \le x \le 1\)에서 \(f(x) = 3x^2 + 2x + 1\)이다.
(조건 2) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x) + 4\)가 성립한다.

[문항 4-1] (6점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\)와 \(\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 자연수 \(k\)에 대하여 정적분 \(I_k = \int_{2k-1}^{2k+1} f(x)\,dx\)를 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-3] (7점) 정적분 \(\int_{-1}^{19} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 4,\; \int_{-1}^{1} x f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}\) | [4-2] \(I_k = 8k + 4\) | [4-3] \(400\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 대칭구간 \([-1, 1]\)에서 홀수차 항과 짝수차 항을 분리하여 계산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\int_{-1}^{1} (3x^2 + 2x + 1)\,dx = 2\int_0^1 (3x^2 + 1)\,dx = 2[x^3 + x]_0^1 = 4\)이고, \(\int_{-1}^{1} (3x^3 + 2x^2 + x)\,dx = 2\int_0^1 2x^2\,dx = \dfrac{4}{3}\)이다. 조건 2를 반복 적용하면 \(x \in [2k-1, 2k+1]\)에 대하여 \(x = t + 2k\) (\(t \in [-1, 1]\))로 놓을 때 \(f(t + 2k) = f(t) + 4k\)이므로 \(I_k = \int_{-1}^{1} (f(t) + 4k)\,dt = 4 + 8k\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\int_{-1}^{19} f(x)\,dx = \sum_{k=0}^{9} I_k = \sum_{k=0}^{9} (8k + 4) = 8 \cdot \dfrac{9 \times 10}{2} + 4 \times 10 = 360 + 40 = 400\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 우함수·기함수 분리 적분 +3점 / \(4\) 및 \(\dfrac{4}{3}\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 평행이동 치환 \(f(t+2k) = f(t) + 4k\) 유도 +4점 / \(I_k = 8k + 4\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(10\)개 구간 분할 합산 +4점 / \(400\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 구간 \([-1, 19]\)는 길이 \(2\)인 구간 \(10\)개(\(k = 0, 1, \dots, 9\))로 분할되므로 항의 개수가 \(10\)개임을 정확히 확인해야 합니다.

[대문항 5] (20점) 포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 12085 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 4px\) (\(p \gt 0\)) 위의 임의의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서 초점 \(F(p, 0)\)까지의 거리와 준선 \(x = -p\)까지의 거리는 서로 같으므로 \(\overline{PF} = x_1 + p\)가 성립한다.

포물선 \(y^2 = 8x\)의 초점 \(F\)를 지나는 기울기가 양수인 직선 \(l\)이 포물선과 제1사분면에서 만나는 점을 \(A\), 제4사분면에서 만나는 점을 \(B\)라 하자. \(\overline{AF} : \overline{BF} = 3 : 1\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 포물선의 초점 \(F\)의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 두 점 \(A, B\)의 \(x\)좌표를 각각 \(x_A, x_B\)라 할 때 제시문 (가)를 이용하여 \(x_A, x_B\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 선분 \(AB\)의 길이와 직선 \(l\)의 기울기 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 원점 \(O(0, 0)\)에 대하여 삼각형 \(OAB\)의 넓이와 포물선 위의 점 \(A\)에서의 접선의 \(x\)절편을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(F(2, 0),\; x = -2,\; x_A = 4,\; x_B = \dfrac{4}{3}\)이 아닌 \(x_A = 6,\; x_B = \dfrac{2}{3}\) 검산 아래 참조 | [5-2] \(\overline{AB} = \dfrac{32}{3},\; m = \sqrt{3}\) | [5-3] 넓이 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\), \(x\)절편 \(-6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(4p = 8 \implies p = 2\)이므로 \(F(2, 0)\), 준선은 \(x = -2\)이며 \(\overline{AF} = x_A + 2,\; \overline{BF} = x_B + 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 두 점 \(A, B\)에서 준선 \(x = -2\)에 내린 수선의 발을 \(H_A, H_B\)라 하고, \(B\)에서 \(AH_A\)에 내린 수선의 발을 이용하거나 초점 공식을 쓰면 \(\dfrac{1}{\overline{AF}} + \dfrac{1}{\overline{BF}} = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{2}\)이다. \(\overline{BF} = k,\; \overline{AF} = 3k\)로 두면 \(\dfrac{4}{3k} = \dfrac{1}{2} \implies k = \dfrac{8}{3}\)이므로 \(\overline{BF} = \dfrac{8}{3},\; \overline{AF} = 8\)이다. 따라서 \(x_A = 8 - 2 = 6,\; x_B = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}\)이고, \(\overline{AB} = \overline{AF} + \overline{BF} = \dfrac{32}{3}\)이며 \(A(6, 4\sqrt{3})\)에서 기울기는 \(m = \dfrac{4\sqrt{3}}{6 - 2} = \sqrt{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(y_A = 4\sqrt{3},\; y_B = -\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)이므로 \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{OF} \cdot (y_A - y_B) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times \dfrac{16\sqrt{3}}{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{3}\)이고, \(A(6, 4\sqrt{3})\)에서의 접선 \(4\sqrt{3}y = 4(x + 6)\)의 \(x\)절편은 \(-6\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(F(2, 0),\; x = -2\) 명시 +2점 / \(x_A = 6,\; x_B = \dfrac{2}{3}\) 도출 +4점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(\overline{AB} = \dfrac{32}{3}\) 산출 +3점 / 기울기 \(m = \sqrt{3}\) 계산 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(\triangle OAB\) 넓이 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\) 도출 +4점 / 접선 \(x\)절편 \(-6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 초점을 지나는 현 \(AB\)에서 내분비 \(3 : 1\)에 의해 \(y_A = -3y_B\)이고 \(y_A^2 = 9y_B^2 \implies x_A = 9x_B\)와 \(x_A + 2 = 3(x_B + 2)\)를 연립하면 교과서 정의만으로 \(x_B = \dfrac{2}{3},\; x_A = 6\)을 즉시 얻습니다.