2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 8회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 지수함수와 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 함수 \(y = a^{x-m} + n\)의 역함수는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭인 \(y = \log_a(x - n) + m\)이며, 기울기가 \(-1\)인 직선 \(y = -x + k\)와 원래 함수 및 역함수의 교점은 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이다.

곡선 \(C_1 : y = 2^{x-1} + 1\)과 곡선 \(C_2 : y = \log_2(x - 1) + 1\)이 직선 \(l : y = -x + 8\)과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 두 곡선 \(C_1, C_2\)가 서로 역함수 관계임을 보이고, 두 점 \(A, B\)의 중점 \(M\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 점 \(A\)와 점 \(B\)의 좌표를 각각 구하고, 선분 \(AB\)의 길이를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 \(O(0, 0)\)에 대하여 삼각형 \(OAB\)의 넓이와 곡선 \(C_1, C_2\)의 두 교점 사이의 거리를 각각 구하시오.

[아주대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 외접원의 반지름과 사인법칙·코사인법칙을 이용한 삼각형 결정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12082 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(ABC\)의 외접원의 반지름을 \(R\)이라 할 때 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)와 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)가 성립한다.

반지름의 길이가 \(R = \sqrt{7}\)인 원에 내접하는 삼각형 \(ABC\)에서 \(\angle A = \dfrac{\pi}{3}\)이고 \(\overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 1\)일 때, 삼각형의 세 변과 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 \(BC\)의 길이 \(a\)를 구하고, \(\overline{AC} = k,\; \overline{AB} = 3k\)로 놓아 코사인법칙으로 \(k\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(ABC\)의 넓이 \(S\)와 꼭짓점 \(A\)에서 변 \(BC\)에 내린 수선의 발 \(H\)에 대하여 선분 \(AH\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 각 \(A\)의 이등분선이 변 \(BC\)와 만나는 점을 \(D\)라 할 때, 선분 \(AD\)의 길이를 구하시오.

[아주대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 평균값 정리를 이용한 다항함수의 변화율 추론과 수열의 극한

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하면, \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)를 만족시키는 실수 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\)에 대하여 평균값 정리를 만족시키는 상수와 극한을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)에 평균값 정리를 적용할 때, \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족시키는 열린구간 \((0, 3)\) 내의 상수 \(c\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 2\)임을 증명하고, 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 2(x_2 - x_1)\)이 성립함을 평균값 정리로 보이시오.

[문항 3-3] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 닫힌구간 \([n, n + 1]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수를 \(c_n \in (n, n + 1)\)이라 할 때, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} (c_n - n)\)의 값을 구하시오.

[아주대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 우함수·기함수 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 함수의 정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 12084 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 연속인 함수에 대하여 우함수는 \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx\), 기함수는 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0\)을 만족시키며, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + p) = f(x)\)이면 길이가 \(p\)인 임의의 구간에서의 정적분 값은 일정하다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 정적분의 값을 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.
(조건 1) \(-1 \le x \le 1\)에서 \(f(x) = 3x^2 + 2x + 1\)이다.
(조건 2) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x) + 4\)가 성립한다.

[문항 4-1] (6점) 정적분 \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\)와 \(\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 자연수 \(k\)에 대하여 정적분 \(I_k = \int_{2k-1}^{2k+1} f(x)\,dx\)를 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-3] (7점) 정적분 \(\int_{-1}^{19} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[아주대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 포물선의 초점·준선 정의와 초점을 지나는 직선의 선분 비

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.6 탐구 12085 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 \(y^2 = 4px\) (\(p \gt 0\)) 위의 임의의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서 초점 \(F(p, 0)\)까지의 거리와 준선 \(x = -p\)까지의 거리는 서로 같으므로 \(\overline{PF} = x_1 + p\)가 성립한다.

포물선 \(y^2 = 8x\)의 초점 \(F\)를 지나는 기울기가 양수인 직선 \(l\)이 포물선과 제1사분면에서 만나는 점을 \(A\), 제4사분면에서 만나는 점을 \(B\)라 하자. \(\overline{AF} : \overline{BF} = 3 : 1\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 포물선의 초점 \(F\)의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 두 점 \(A, B\)의 \(x\)좌표를 각각 \(x_A, x_B\)라 할 때 제시문 (가)를 이용하여 \(x_A, x_B\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 선분 \(AB\)의 길이와 직선 \(l\)의 기울기 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 원점 \(O(0, 0)\)에 대하여 삼각형 \(OAB\)의 넓이와 포물선 위의 점 \(A\)에서의 접선의 \(x\)절편을 각각 구하시오.

[아주대학교 제8회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.