2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 7회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 7회 해설집 | 7회 : 등차·등비수열 교집합 · 삼각함수 주기와 실근 합 · 미분가능성 미정계수 · 사차함수 극값 조건 · 속도·가속도 운동 거리

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 등차수열과 등비수열의 공통항 수열 및 부분합 추론

대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 12071 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

<제시문 (가)> 첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\)인 등차수열의 일반항은 \(a_n = a + (n - 1)d\)이고, 첫째항이 \(b\), 공비가 \(r\)인 등비수열의 일반항은 \(b_m = b r^{m-1}\)이며 첫째항부터 제\(k\)항까지의 등비수열의 합은 \(S_k = \dfrac{b(r^k - 1)}{r - 1}\) (\(r \ne 1\))이다.

등차수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2,\; a_n = 3n - 1\)로 주어지고, 등비수열 \(\{b_m\}\)이 \(b_1 = 2,\; b_m = 2^m\)으로 주어질 때 두 수열에 공통으로 나타나는 항들을 작은 수부터 차례로 나열한 수열을 \(\{c_k\}\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(b_m = 2^m\)을 \(3\)으로 나눈 나머지를 \(m\)의 홀짝성에 따라 분류하고, 공통항이 되기 위한 자연수 \(m\)의 조건을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 공통항 수열 \(\{c_k\}\)의 일반항 \(c_k\)를 구하고, \(c_k = a_{N_k}\)를 만족시키는 등차수열의 항 번호 \(N_k\)를 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 합 \(\sum_{k=1}^{8} c_k\)와 \(\sum_{k=1}^{8} N_k\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(m\)은 홀수 (\(m = 2k - 1\)) | [1-2] \(c_k = 2 \cdot 4^{k-1},\; N_k = \dfrac{2 \cdot 4^{k-1} + 1}{3}\) | [1-3] \(\sum c_k = 43690,\; \sum N_k = 14566\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a_n = 3n - 1\)은 \(3\)으로 나눈 나머지가 \(2\)인 자연수들의 집합이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(2^m \equiv (-1)^m \pmod 3\)이므로 \(m\)이 홀수일 때 \(2^m \equiv 2 \pmod 3\)이고 \(m\)이 짝수일 때 \(2^m \equiv 1 \pmod 3\)이다. 따라서 \(m = 2k - 1\) (\(k \ge 1\))일 때 공통항이 되며 \(c_k = 2^{2k-1} = 2 \cdot 4^{k-1}\)이고, \(3N_k - 1 = c_k \implies N_k = \dfrac{c_k + 1}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\sum_{k=1}^{8} c_k = \dfrac{2(4^8 - 1)}{4 - 1} = \dfrac{2 \times 65535}{3} = 43690\)이고, \(\sum_{k=1}^{8} N_k = \dfrac{1}{3}\left(\sum_{k=1}^{8} c_k + 8\right) = \dfrac{43698}{3} = 14566\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 거듭제곱 나머지 주기성 분석 +3점 / 홀수 지수 \(m = 2k - 1\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 일반항 \(c_k = 2 \cdot 4^{k-1}\) 산출 +4점 / 항 번호 \(N_k\) 표현 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 등비급수 합 \(43690\) 계산 +4점 / \(\sum N_k = 14566\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_n = 3n - 1\)을 만족시키는 자연수 \(n\)은 \(2^m + 1\)이 \(3\)의 배수일 필요충분조건과 동치입니다.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12072 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = \sin(\omega x)\) (\(\omega \gt 0\))의 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)이며, 그래프가 직선 \(x = s\)에 대하여 대칭일 때 직선 \(y = k\)와 만나는 교점의 \(x\)좌표들은 대칭축 \(x = s\)에 대하여 짝을 지어 대칭을 이룬다.

닫힌구간 \([0, 4]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\)의 그래프와 직선 \(y = k\) (\(0 \lt k \lt 2\)) 및 원점을 지나는 직선의 교점을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 주기를 구하고, 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 방정식 \(f(x) = k\) (\(0 \lt k \lt 2\))의 모든 실근의 개수와 그 실근들의 합을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 방정식 \(f(x) = 1\)의 닫힌구간 \([0, 4]\)에서의 두 실근을 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))라 할 때, \(\beta - \alpha\)의 값과 곡선 \(y = f(x)\) 위의 두 점 \((\alpha, 1), (\beta, 1)\) 및 점 \((1, 2)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 실수 전체에서 방정식 \(2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{3}x\)의 서로 다른 모든 실근의 개수를 구하고 그 실근들의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] 주기 \(4\), 실근 \(2\)개, 합 \(2\) | [2-2] \(\beta - \alpha = \dfrac{4}{3}\), 넓이 \(\dfrac{2}{3}\) | [2-3] 실근 \(7\)개, 합 \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4\)이고 구간 \([0, 2]\)에서 \(f(x) \ge 0\)이며 대칭축은 \(x = 1\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(0 \lt k \lt 2\)일 때 구간 \([0, 4]\)에서 \(f(x) = k\)의 두 실근은 \(x = 1\)에 대칭이므로 합은 \(2\)이다. \(k = 1\)이면 \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{2}\)에서 \(\alpha = \dfrac{1}{3},\; \beta = \dfrac{5}{3}\)이므로 \(\beta - \alpha = \dfrac{4}{3}\)이고 높이가 \(2 - 1 = 1\)인 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times 1 = \dfrac{2}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\left|\dfrac{1}{3}x\right| \le 2 \iff |x| \le 6\)이다. \(x = 0\)에서 만나고 \(x \gt 0\)에서 구간 \((0, 2]\)에서 \(1\)개, \([4, 6]\)에서 \(f(5) = 2 \gt \dfrac{5}{3},\; f(6) = 0 \lt 2\)이므로 \(2\)개 만나 양수 실근이 \(3\)개이다. 기함수 대칭성에 의해 음수 실근도 \(3\)개이므로 총 \(7\)개이며 모든 실근의 합은 \(0\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 주기 \(T = 4\) 도출 +3점 / 대칭축 \(x = 1\)을 통한 실근 합 \(2\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(\alpha = \dfrac{1}{3},\; \beta = \dfrac{5}{3}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(\dfrac{2}{3}\) 도출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 양수 실근 \(3\)개 및 전체 \(7\)개 판별 +4점 / 기함수 대칭 합 \(0\) 논증 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 직선 \(y = \dfrac{1}{3}x\)가 최고점 \((5, 2)\) 아래를 지나므로 구간 \([4, 6]\)에서 두 번 만난다는 점을 그래프 개형으로 명확히 서술해야 합니다.

[대문항 3] (20점) 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 12073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)를 경계로 구간별로 다항함수 \(g(x)\) (\(x \lt a\))와 \(h(x)\) (\(x \ge a\))로 정의될 때, \(x = a\)에서 미분가능할 필요충분조건은 연속 조건 \(g(a) = h(a)\)와 좌·우미분계수 일치 조건 \(g'(a) = h'(a)\)가 동시에 성립하는 것이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ cx^2 + 4x + 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)가 모든 실수 \(x\)에서 미분가능하고 \(f(0) = -2\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 상수 \(b\)의 값을 정하고, \(x = 1\)에서의 연속 조건과 미분가능 조건을 이용하여 상수 \(a, c\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((-1, f(-1))\)에서의 접선 \(l_1\)과 점 \((2, f(2))\)에서의 접선 \(l_2\)의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 접선 \(l_1, l_2\)와 \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a = 11,\; b = -2,\; c = 5\) | [3-2] \(l_1 : y = 14x,\; l_2 : y = 24x - 19\) | [3-3] \(\dfrac{361}{20}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(0) = b = -2\)이고 \(x = 1\)에서 좌·우 함수값 및 도함수값을 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 연속 조건 \(1 + a - 2 = c + 5 \implies a - c = 6\)이고, 미분 조건 \(3 + a = 2c + 4 \implies a - 2c = 1\)이다. 두 식을 연립하면 \(c = 5,\; a = 11\)이다. 이때 \(f(-1) = -14,\; f'(-1) = 14 \implies l_1 : y = 14x\)이고, \(f(2) = 29,\; f'(2) = 24 \implies l_2 : y = 24x - 19\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(l_1 : y = 14x\)와 \(l_2 : y = 24x - 19\)의 교점은 \(10x = 19 \implies x = \dfrac{19}{10}\)이고 \(y\)축 절편 차는 \(19\)이므로 삼각형 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 19 \times \dfrac{19}{10} = \dfrac{361}{20}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(b = -2\) 및 연립방정식 수립 +3점 / \(a = 11,\; c = 5\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(l_1 : y = 14x\) 유도 +3점 / \(l_2 : y = 24x - 19\) 산출 +4점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 두 접선 교점 \(x = \dfrac{19}{10}\) 계산 +4점 / 넓이 \(\dfrac{361}{20}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 구간별 함수에서 접점을 대입할 때 \(x = -1 \lt 1\)과 \(x = 2 \ge 1\)이 속하는 구간의 식을 각각 구분하여 미분해야 합니다.

[대문항 4] (20점) 사차함수가 극댓값을 갖기 위한 조건과 극값의 차

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 12074 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖기 위한 필요충분조건은 도함수 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖는 것이다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2\)에 대하여 함수 \(f(x)\)의 극값의 개수와 그래프 개형을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하고, 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(a = 2\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 모든 극솟값들의 합을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖지 않도록 하는 최소의 자연수 \(a\)에 대하여, 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(a \lt \dfrac{9}{4}\) (\(a \ne 0\)) | [4-2] 극댓값 \(1\), 극솟값 합 \(0\) | [4-3] \(a = 3\)일 때 최댓값 \(27,\;\) 최솟값 \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가지려면 \(x^2 - 3x + a = 0\)이 \(0\)이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 \(a \ne 0\)이고 \(D = 9 - 4a \gt 0 \implies a \lt \dfrac{9}{4}\) (\(a \ne 0\))이다. \(a = 2\)이면 \(f'(x) = 4x(x-1)(x-2)\)이므로 \(x = 1\)에서 극댓값 \(f(1) = 1\), \(x = 0, 2\)에서 극솟값 \(f(0) = 0,\; f(2) = 0\)을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 극댓값을 갖지 않도록 하는 최소의 자연수는 \(a = 3\)이며, \(a = 3\)일 때 \(f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 3)\)에서 \(x = 0\)에서만 극소 \(f(0) = 0\)이고 \(f(-1) = 11,\; f(3) = 27\)이므로 최댓값은 \(27\), 최솟값은 \(0\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(f'(x) = 4x(x^2 - 3x + a)\) 인수분해 +3점 / \(a \lt \dfrac{9}{4},\; a \ne 0\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(a = 2\)일 때 극댓값 \(f(1) = 1\) 계산 +4점 / 두 극솟값 \(f(0)=0, f(2)=0\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 최소 자연수 \(a = 3\) 확정 +3점 / 최솟값 \(0,\;\) 최댓값 \(27\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(x^2 - 3x + a = 0\)이 \(x = 0\)을 근으로 가지면(\(a = 0\)) \(f'(x) = 4x^2(x - 3)\)이 되어 \(x = 0\)에서 부호가 바뀌지 않으므로 \(a \ne 0\) 조건을 반드시 명시해야 합니다.

[대문항 5] (20점) 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 12075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)이고 시각 \(t = 0\)에서의 위치가 \(x_0\)일 때, 시각 \(t = a\)에서의 위치는 \(x(a) = x_0 + \int_0^a v(t)\,dt\)이고 시각 \(t = 0\)부터 \(t = a\)까지 움직인 거리는 \(\int_0^a |v(t)|\,dt\)이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 점 \(P\)의 운동을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(P\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 각 시각에서의 점 \(P\)의 위치를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(P\)의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 \(P\)가 출발 후 처음으로 다시 원점을 지나는 시각 \(T\) (\(T \gt 0\))와 그때의 가속도 \(a(T)\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(t = 1, 3\), 위치 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\) | [5-2] 위치 변화량 \(4\), 움직인 거리 \(12\) | [5-3] \(T = 3,\; a(3) = 6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 \(t = 1, 3\)일 때 속도의 부호가 바뀐다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 위치 함수는 \(x(t) = \int_0^t (3s^2 - 12s + 9)\,ds = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2\)이므로 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\)이다. \(t = 4\)일 때 위치 변화량은 \(x(4) = 4\)이고, 움직인 거리는 \(\int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x(t) = t(t - 3)^2 = 0\) (\(t \gt 0\))에서 처음으로 원점에 도달하는 시각은 \(T = 3\)이며, 가속도 \(a(t) = v'(t) = 6t - 12\)에서 \(a(3) = 6\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• 운동 방향 전환 시각 \(t = 1, 3\) 도출 +3점 / \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 위치 변화량 \(4\) 계산 +3점 / 구간별 절댓값 적분 거리 \(12\) 도출 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 원점 재도달 시각 \(T = 3\) 판별 +3점 / 가속도 \(a(3) = 6\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 위치의 변화량 \(\int_0^4 v(t)\,dt\)와 실제 움직인 거리 \(\int_0^4 |v(t)|\,dt\)는 속도가 음수인 구간 \([1, 3]\)의 부호 처리에서 차이가 발생합니다.