2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 7회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 등차수열과 등비수열의 공통항 수열 및 부분합 추론

대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 12071 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

<제시문 (가)> 첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\)인 등차수열의 일반항은 \(a_n = a + (n - 1)d\)이고, 첫째항이 \(b\), 공비가 \(r\)인 등비수열의 일반항은 \(b_m = b r^{m-1}\)이며 첫째항부터 제\(k\)항까지의 등비수열의 합은 \(S_k = \dfrac{b(r^k - 1)}{r - 1}\) (\(r \ne 1\))이다.

등차수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2,\; a_n = 3n - 1\)로 주어지고, 등비수열 \(\{b_m\}\)이 \(b_1 = 2,\; b_m = 2^m\)으로 주어질 때 두 수열에 공통으로 나타나는 항들을 작은 수부터 차례로 나열한 수열을 \(\{c_k\}\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(b_m = 2^m\)을 \(3\)으로 나눈 나머지를 \(m\)의 홀짝성에 따라 분류하고, 공통항이 되기 위한 자연수 \(m\)의 조건을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 공통항 수열 \(\{c_k\}\)의 일반항 \(c_k\)를 구하고, \(c_k = a_{N_k}\)를 만족시키는 등차수열의 항 번호 \(N_k\)를 \(k\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-3] (7점) 합 \(\sum_{k=1}^{8} c_k\)와 \(\sum_{k=1}^{8} N_k\)의 값을 각각 구하시오.

[아주대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 주기·대칭성과 방정식의 모든 실근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12072 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = \sin(\omega x)\) (\(\omega \gt 0\))의 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)이며, 그래프가 직선 \(x = s\)에 대하여 대칭일 때 직선 \(y = k\)와 만나는 교점의 \(x\)좌표들은 대칭축 \(x = s\)에 대하여 짝을 지어 대칭을 이룬다.

닫힌구간 \([0, 4]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = 2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\)의 그래프와 직선 \(y = k\) (\(0 \lt k \lt 2\)) 및 원점을 지나는 직선의 교점을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 주기를 구하고, 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 방정식 \(f(x) = k\) (\(0 \lt k \lt 2\))의 모든 실근의 개수와 그 실근들의 합을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 방정식 \(f(x) = 1\)의 닫힌구간 \([0, 4]\)에서의 두 실근을 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))라 할 때, \(\beta - \alpha\)의 값과 곡선 \(y = f(x)\) 위의 두 점 \((\alpha, 1), (\beta, 1)\) 및 점 \((1, 2)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 실수 전체에서 방정식 \(2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = \dfrac{1}{3}x\)의 서로 다른 모든 실근의 개수를 구하고 그 실근들의 합을 구하시오.

[아주대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 접선의 방정식

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 12073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)를 경계로 구간별로 다항함수 \(g(x)\) (\(x \lt a\))와 \(h(x)\) (\(x \ge a\))로 정의될 때, \(x = a\)에서 미분가능할 필요충분조건은 연속 조건 \(g(a) = h(a)\)와 좌·우미분계수 일치 조건 \(g'(a) = h'(a)\)가 동시에 성립하는 것이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x \lt 1) \\ cx^2 + 4x + 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)가 모든 실수 \(x\)에서 미분가능하고 \(f(0) = -2\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 상수 \(b\)의 값을 정하고, \(x = 1\)에서의 연속 조건과 미분가능 조건을 이용하여 상수 \(a, c\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((-1, f(-1))\)에서의 접선 \(l_1\)과 점 \((2, f(2))\)에서의 접선 \(l_2\)의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 두 접선 \(l_1, l_2\)와 \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

[아주대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 사차함수가 극댓값을 갖기 위한 조건과 극값의 차

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.14 탐구 12074 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖기 위한 필요충분조건은 도함수 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖는 것이다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2\)에 대하여 함수 \(f(x)\)의 극값의 개수와 그래프 개형을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하고, 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(a = 2\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 모든 극솟값들의 합을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖지 않도록 하는 최소의 자연수 \(a\)에 대하여, 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[아주대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 위치의 변화량 및 움직인 거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.20 탐구 12075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)이고 시각 \(t = 0\)에서의 위치가 \(x_0\)일 때, 시각 \(t = a\)에서의 위치는 \(x(a) = x_0 + \int_0^a v(t)\,dt\)이고 시각 \(t = 0\)부터 \(t = a\)까지 움직인 거리는 \(\int_0^a |v(t)|\,dt\)이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(P\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 점 \(P\)의 운동을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(P\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 각 시각에서의 점 \(P\)의 위치를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(P\)의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 \(P\)가 출발 후 처음으로 다시 원점을 지나는 시각 \(T\) (\(T \gt 0\))와 그때의 가속도 \(a(T)\)를 구하시오.

[아주대학교 제7회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.