2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 6회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 6회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그방정식의 치환과 두 실근의 곱 및 정수 계수 조건

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12061 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대한 방정식 \((\log_3 x)^2 - k \log_3 x + m = 0\)에서 \(t = \log_3 x\)로 치환하면, 원래 방정식의 서로 다른 두 양의 실근 \(\alpha, \beta\)는 치환된 이차방정식의 두 실근 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)에 대응하며 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta)\)가 성립한다.

양수 \(x\)에 대한 방정식 \((\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + m = 0\)이 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\) (\(1 \lt \alpha \lt \beta\))를 갖도록 하는 실수 \(m\)과 근의 성질을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 치환을 이용하여 두 실근의 곱 \(\alpha\beta\)의 값을 \(m\)에 관계없이 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 \(\alpha, \beta\)가 모두 \(1\)보다 크고 서로 다르기 위한 실수 \(m\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{10}{3}\)이 성립할 때, 상수 \(m\)의 값과 \(\alpha + \beta\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\alpha\beta = 81\) | [1-2] \(0 \lt m \lt 4\) | [1-3] \(m = 3,\; \alpha + \beta = 30\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(t = \log_3 x\)로 치환하면 \(t^2 - 4t + m = 0\)의 두 실근이 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 근과 계수의 관계에서 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta) = 4 \implies \alpha\beta = 3^4 = 81\)이다. \(\alpha, \beta \gt 1 \iff t_1, t_2 \gt 0\)이므로 판별식 \(D/4 = 4 - m \gt 0\)과 두 근의 곱 \(t_1 t_2 = m \gt 0\)에서 \(0 \lt m \lt 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{t_2}{t_1} + \dfrac{t_1}{t_2} = \dfrac{(t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2}{t_1 t_2} = \dfrac{16 - 2m}{m} = \dfrac{10}{3}\)에서 \(48 - 6m = 10m \implies m = 3\)이다. 따라서 \(t_1 = 1, t_2 = 3\)이므로 \(\alpha = 3, \beta = 27,\; \alpha + \beta = 30\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 치환 방정식 \(t^2 - 4t + m = 0\) 수립 +3점 / \(\alpha\beta = 81\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 판별식 \(4 - m \gt 0\) 도출 +3점 / 양근 조건 \(0 \lt m \lt 4\) 확정 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 밑변환 식 \(\dfrac{16 - 2m}{m} = \dfrac{10}{3}\) 수립 +4점 / \(m = 3,\; \alpha + \beta = 30\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 두 실근 \(\alpha, \beta \gt 1\) 조건은 치환 변수 \(t = \log_3 x\)에서 \(t \gt 0\)에 대응하므로 \(t_1 t_2 = m \gt 0\)을 반드시 포함해야 합니다.

[대문항 2] (20점) 원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12062 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 원에 내접하는 사각형 \(ABCD\)에서 마주 보는 두 내각의 합은 \(\pi\)이므로 \(\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A\)가 성립한다.

원에 내접하는 사각형 \(ABCD\)에서 \(\overline{AB} = 3,\; \overline{BC} = 5,\; \overline{CD} = 3,\; \overline{DA} = 7\)일 때, 대각선의 길이와 사각형의 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 대각선 \(BD\)의 길이를 \(x\)라 할 때, 두 삼각형 \(ABD\)와 \(CBD\)에서 각각 코사인법칙을 적용하여 \(\cos A\)와 \(x^2\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 \(ABCD\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름 \(R\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 대각선 \(AC\)와 \(BD\)의 교점을 \(P\)라 할 때, 선분 \(BP\)와 \(PD\)의 길이의 비 \(\overline{BP} : \overline{PD}\)를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44\) | [2-2] \(S = 12\sqrt{2},\; R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\) | [2-3] \(5 : 7\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\triangle ABD\)와 \(\triangle CBD\)에 코사인법칙을 적용하고 \(\cos C = -\cos A\)를 연립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x^2 = 3^2 + 7^2 - 42\cos A = 58 - 42\cos A\)이고, \(x^2 = 5^2 + 3^2 + 30\cos A = 34 + 30\cos A\)이므로 \(72\cos A = 24 \implies \cos A = \dfrac{1}{3}\)이며 \(x^2 = 44\)이다. \(\sin A = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2}(3\cdot 7 + 5\cdot 3)\sin A = 18 \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 12\sqrt{2}\)이고, \(2R = \dfrac{2\sqrt{11}}{2\sqrt{2}/3} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \implies R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 대각선 \(AC\)를 공통 밑변으로 볼 때, \(\overline{BP} : \overline{PD} = \operatorname{Area}(\triangle ABC) : \operatorname{Area}(\triangle ADC) = (\overline{AB}\cdot\overline{BC}\sin B) : (\overline{AD}\cdot\overline{CD}\sin D) = 15 : 21 = 5 : 7\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 양쪽 삼각형 코사인법칙 등식 수립 +3점 / \(\cos A = \dfrac{1}{3},\; x^2 = 44\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = 12\sqrt{2}\) 산출 +4점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{3\sqrt{22}}{4}\) 계산 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 넓이 비 \(\triangle ABC : \triangle ADC\) 적용 +4점 / \(5 : 7\) 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원에 내접하는 사각형에서 \(\angle B + \angle D = \pi\)이므로 \(\sin B = \sin D\)가 성립하여 넓이 비가 이웃 변의 곱의 비와 일치합니다.

[대문항 3] (20점) 무한대 극한과 영인자 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^n} = c\) (\(c \ne 0\))이면 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(c\)인 \(n\)차 다항식이고, \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{x - a} = L\)이 존재하면 \(f(a) = 0,\; f'(a) = L\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^2 - 1} = 2\)를 동시에 만족시킬 때, 함수 \(f(x)\)를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(x)\)의 차수와 삼차항·이차항의 계수를 결정하고, \(f(1)\)과 \(f'(1)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 다항함수 \(f(x)\)의 식을 완전히 구하고, 방정식 \(f(x) = f(1)\)의 모든 실근의 합을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n \left\{ f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \right\}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(3\)차, 계수 \(1, -2,\; f(1) = 0,\; f'(1) = 4\) | [3-2] \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4\), 실근 합 \(1\) | [3-3] \(12\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 무한대 극한에서 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b\)로 두고 \(x \to 1\) 극한에서 분모가 \(0\)으로 수렴함을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{f'(1)}{2} = 2 \implies f(1) = 0,\; f'(1) = 4\)이다. \(f'(x) = 3x^2 - 4x + a\)에서 \(f'(1) = a - 1 = 4 \implies a = 5\), \(f(1) = 1 - 2 + 5 + b = 0 \implies b = -4\)이므로 \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4 = (x-1)(x^2 - x + 4)\)이다. \(x^2 - x + 4 = 0\)은 판별식이 음수이므로 실근은 \(x = 1\)뿐이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(h = \dfrac{1}{n} \to 0^+\)로 치환하면 주어진 극한은 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - h)}{h} = 3 f'(1) = 3 \times 4 = 12\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b\) 설정 +3점 / \(f(1) = 0,\; f'(1) = 4\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 4\) 확정 +4점 / 실근 판별 및 합 \(1\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 미분계수 정의 변형 \(3f'(1)\) 유도 +4점 / 극한값 \(12\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 방정식 \(f(x) = 0\)의 근의 합을 구할 때 인수분해된 이차식 \(x^2 - x + 4 = 0\)의 판별식 \(D = 1 - 16 \lt 0\)을 반드시 확인하여 실근만 합산해야 합니다.

[대문항 4] (20점) 삼차함수 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 12064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 \(a\)인 삼차함수 \(y = f(x)\) 위의 점 \((\alpha, f(\alpha))\)에서의 접선이 곡선과 점 \((\beta, f(\beta))\) (\(\alpha \ne \beta\))에서 다시 만날 때, 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \dfrac{|a|}{12}|\beta - \alpha|^4\)이다.

곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x\) 위의 점 \(A(0, 0)\)에서의 접선을 \(l\)이라 할 때, 접선 \(l\)과 곡선의 교점 및 둘러싸인 넓이를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 \(A(0, 0)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 접선 \(l\)이 곡선과 다시 만나는 점 \(B\)의 좌표를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선과 접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분으로 계산하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 \(A\)와 점 \(B\) 사이의 곡선 위의 점 \(P(t, t^3 - 3t^2 + 2t)\) (\(0 \lt t \lt 3\))에서 접선 \(l\)까지의 거리가 최대가 되도록 하는 \(t\)의 값과 그때의 \(\triangle PAB\)의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(y = 2x,\; B(3, 6)\) | [4-2] \(S = \dfrac{27}{4}\) | [4-3] \(t = 2,\; \text{넓이 } 6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)이므로 \(f'(0) = 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 접선 \(l\)은 \(y = 2x\)이고, \(x^3 - 3x^2 + 2x = 2x \implies x^2(x - 3) = 0\)에서 \(B(3, 6)\)이다. 둘러싸인 넓이는 \(S = \int_0^3 (2x - (x^3 - 3x^2 + 2x))\,dx = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2)\,dx = \left[-\dfrac{1}{4}x^4 + x^3\right]_0^3 = \dfrac{27}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 접선 \(l\)까지의 거리가 최대인 점 \(P\)에서의 접선의 기울기는 직선 \(AB\)의 기울기 \(2\)와 같으므로 \(3t^2 - 6t + 2 = 2 \implies t = 2\) (\(0 \lt t \lt 3\))이다. 점 \(P(2, 0)\)과 \(A(0, 0), B(3, 6)\)이 이루는 \(\triangle PAB\)의 넓이는 밑변 \(\overline{AP} = 2\), 높이 \(6\)이므로 \(\dfrac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 접선 \(y = 2x\) 도출 +3점 / 교점 \(B(3, 6)\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• 정적분 피적분함수 설정 +3점 / 넓이 \(\dfrac{27}{4}\) 계산 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 평행 접선 조건 \(t = 2\) 도출 +4점 / \(\triangle PAB\) 넓이 \(6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점 \(A(0,0)\)과 \(P(2,0)\)이 모두 \(x\)축 위에 놓이므로 밑변의 길이를 \(2\), 점 \(B(3,6)\)의 \(y\)좌표 \(6\)을 높이로 두면 넓이를 즉시 검산할 수 있습니다.

[대문항 5] (20점) 비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 12065 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 이산확률변수 \(X\)가 취하는 값 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)과 각 확률 \(p_i = P(X = x_i)\)에 대하여 기댓값은 \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i\)이고 분산은 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\)이며, 선형 변환 \(Y = aX + b\)에 대하여 \(E(Y) = aE(X) + b,\; V(Y) = a^2 V(X)\)이다.

붉은 공 \(4\)개와 푸른 공 \(3\)개가 들어 있는 주머니에서 임의로 \(3\)개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나오는 붉은 공의 개수를 확률변수 \(X\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률변수 \(X\)가 가질 수 있는 모든 값에 대하여 확률질량함수 \(P(X = k)\)를 구하고 확률의 총합이 \(1\)임을 확인하시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변수 \(X\)의 기댓값 \(E(X)\)와 제곱의 기댓값 \(E(X^2)\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 확률변수 \(X\)의 분산 \(V(X)\)를 구하고, \(Y = 35X - 10\)의 평균 \(E(Y)\)와 분산 \(V(Y)\)를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(P(X=0)=\dfrac{1}{35},\; P(X=1)=\dfrac{12}{35},\; P(X=2)=\dfrac{18}{35},\; P(X=3)=\dfrac{4}{35}\) | [5-2] \(E(X)=\dfrac{12}{7},\; E(X^2)=\dfrac{24}{7}\) | [5-3] \(V(X)=\dfrac{24}{49},\; E(Y)=50,\; V(Y)=600\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 전체 경우의 수 \({}_{7}\mathrm{C}_{3} = 35\)에 대하여 \(P(X = k) = \dfrac{{}_{4}\mathrm{C}_{k} \cdot {}_{3}\mathrm{C}_{3-k}}{{}_{7}\mathrm{C}_{3}}\) (\(k = 0, 1, 2, 3\))이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(k = 0, 1, 2, 3\)일 때 분자는 각각 \(1, 12, 18, 4\)이고 합은 \(35\)이므로 확률 합은 \(1\)이다. \(E(X) = \dfrac{0\cdot 1 + 1\cdot 12 + 2\cdot 18 + 3\cdot 4}{35} = \dfrac{60}{35} = \dfrac{12}{7}\)이고, \(E(X^2) = \dfrac{0 + 12 + 72 + 36}{35} = \dfrac{120}{35} = \dfrac{24}{7}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(V(X) = \dfrac{24}{7} - \left(\dfrac{12}{7}\right)^2 = \dfrac{168 - 144}{49} = \dfrac{24}{49}\)이다. 따라서 \(E(Y) = 35 \cdot \dfrac{12}{7} - 10 = 50\)이고, \(V(Y) = 35^2 \cdot \dfrac{24}{49} = 25 \times 24 = 600\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• 조합 공식 수립 +3점 / \(k=0,1,2,3\) 확률 \(4\)개 정확 도출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(E(X) = \dfrac{12}{7}\) 산출 +3점 / \(E(X^2) = \dfrac{24}{7}\) 계산 +4점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(V(X) = \dfrac{24}{49}\) 도출 +3점 / \(E(Y) = 50,\; V(Y) = 600\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 선형 변환 \(Y = aX + b\)에서 상수항 \(b\)는 분산에 영향을 주지 않으므로 \(V(aX + b) = a^2 V(X)\)를 적용해야 합니다.