2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 6회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 6회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그방정식의 치환과 두 실근의 곱 및 정수 계수 조건

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12061 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대한 방정식 \((\log_3 x)^2 - k \log_3 x + m = 0\)에서 \(t = \log_3 x\)로 치환하면, 원래 방정식의 서로 다른 두 양의 실근 \(\alpha, \beta\)는 치환된 이차방정식의 두 실근 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)에 대응하며 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta)\)가 성립한다.

양수 \(x\)에 대한 방정식 \((\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + m = 0\)이 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\) (\(1 \lt \alpha \lt \beta\))를 갖도록 하는 실수 \(m\)과 근의 성질을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 치환을 이용하여 두 실근의 곱 \(\alpha\beta\)의 값을 \(m\)에 관계없이 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 \(\alpha, \beta\)가 모두 \(1\)보다 크고 서로 다르기 위한 실수 \(m\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{10}{3}\)이 성립할 때, 상수 \(m\)의 값과 \(\alpha + \beta\)의 값을 각각 구하시오.

[아주대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 원에 내접하는 사각형의 코사인법칙과 대각선 분할 넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12062 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 원에 내접하는 사각형 \(ABCD\)에서 마주 보는 두 내각의 합은 \(\pi\)이므로 \(\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A\)가 성립한다.

원에 내접하는 사각형 \(ABCD\)에서 \(\overline{AB} = 3,\; \overline{BC} = 5,\; \overline{CD} = 3,\; \overline{DA} = 7\)일 때, 대각선의 길이와 사각형의 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 대각선 \(BD\)의 길이를 \(x\)라 할 때, 두 삼각형 \(ABD\)와 \(CBD\)에서 각각 코사인법칙을 적용하여 \(\cos A\)와 \(x^2\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 \(ABCD\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름 \(R\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 두 대각선 \(AC\)와 \(BD\)의 교점을 \(P\)라 할 때, 선분 \(BP\)와 \(PD\)의 길이의 비 \(\overline{BP} : \overline{PD}\)를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.

[아주대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 무한대 극한과 영인자 극한을 만족시키는 삼차함수의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^n} = c\) (\(c \ne 0\))이면 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(c\)인 \(n\)차 다항식이고, \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{x - a} = L\)이 존재하면 \(f(a) = 0,\; f'(a) = L\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = -2\)와 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x^2 - 1} = 2\)를 동시에 만족시킬 때, 함수 \(f(x)\)를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(x)\)의 차수와 삼차항·이차항의 계수를 결정하고, \(f(1)\)과 \(f'(1)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 다항함수 \(f(x)\)의 식을 완전히 구하고, 방정식 \(f(x) = f(1)\)의 모든 실근의 합을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 자연수 \(n\)에 대하여 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n \left\{ f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \right\}\)의 값을 구하시오.

[아주대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 삼차함수 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 12064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 \(a\)인 삼차함수 \(y = f(x)\) 위의 점 \((\alpha, f(\alpha))\)에서의 접선이 곡선과 점 \((\beta, f(\beta))\) (\(\alpha \ne \beta\))에서 다시 만날 때, 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \dfrac{|a|}{12}|\beta - \alpha|^4\)이다.

곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2x\) 위의 점 \(A(0, 0)\)에서의 접선을 \(l\)이라 할 때, 접선 \(l\)과 곡선의 교점 및 둘러싸인 넓이를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 \(A(0, 0)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 접선 \(l\)이 곡선과 다시 만나는 점 \(B\)의 좌표를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 곡선과 접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분으로 계산하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 \(A\)와 점 \(B\) 사이의 곡선 위의 점 \(P(t, t^3 - 3t^2 + 2t)\) (\(0 \lt t \lt 3\))에서 접선 \(l\)까지의 거리가 최대가 되도록 하는 \(t\)의 값과 그때의 \(\triangle PAB\)의 넓이를 구하시오.

[아주대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 비복원 추출에서 이산확률변수의 확률분포와 기댓값·분산

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 12065 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-01]

<제시문 (가)> 이산확률변수 \(X\)가 취하는 값 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)과 각 확률 \(p_i = P(X = x_i)\)에 대하여 기댓값은 \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i\)이고 분산은 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\)이며, 선형 변환 \(Y = aX + b\)에 대하여 \(E(Y) = aE(X) + b,\; V(Y) = a^2 V(X)\)이다.

붉은 공 \(4\)개와 푸른 공 \(3\)개가 들어 있는 주머니에서 임의로 \(3\)개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나오는 붉은 공의 개수를 확률변수 \(X\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률변수 \(X\)가 가질 수 있는 모든 값에 대하여 확률질량함수 \(P(X = k)\)를 구하고 확률의 총합이 \(1\)임을 확인하시오.

[문항 5-2] (7점) 확률변수 \(X\)의 기댓값 \(E(X)\)와 제곱의 기댓값 \(E(X^2)\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 확률변수 \(X\)의 분산 \(V(X)\)를 구하고, \(Y = 35X - 10\)의 평균 \(E(Y)\)와 분산 \(V(Y)\)를 각각 구하시오.

[아주대학교 제6회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.