2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 5회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 지수함수의 산술·기하 평균 치환과 방정식의 실근 존재 조건

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12051 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(t = 2^x + 2^{-x}\)라 하면 산술·기하 평균 부등식에 의하여 \(t \ge 2\)이며, \(4^x + 4^{-x} = (2^x + 2^{-x})^2 - 2 = t^2 - 2\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = 4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + 10\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(t = 2^x + 2^{-x}\;(t \ge 2)\)로 치환한 이차함수 \(g(t)\)의 식과 정의역을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 최솟값과 그때의 모든 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 방정식 \(4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + k = 0\)이 적어도 하나의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(g(t) = t^2 - 6t + 8\;(t \ge 2)\) | [1-2] 최솟값 \(-1,\; x = \log_2\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\) | [1-3] \(k \le 11\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(4^x + 4^{-x} = t^2 - 2\)를 대입하면 \(g(t) = t^2 - 6t + 8 = (t - 3)^2 - 1\;(t \ge 2)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(t = 3 \ge 2\)일 때 최솟값 \(g(3) = -1\)을 가지며, \(2^x + 2^{-x} = 3 \iff (2^x)^2 - 3(2^x) + 1 = 0\)에서 \(2^x = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)이므로 \(x = \log_2\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 방정식 \(t^2 - 6t - 2 = -k\;(t \ge 2)\)가 실근을 가지려면 \(-k\)가 \(h(t) = (t - 3)^2 - 11\;(t \ge 2)\)의 치역 \([-11, \infty)\)에 속해야 하므로 \(-k \ge -11 \implies k \le 11\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(4^x+4^{-x} = t^2-2\) 변환 +3점 / \(g(t) = t^2-6t+8\;(t \ge 2)\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 최솟값 \(-1\) 산출 +3점 / \(2^x = \dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)로부터 \(x\) 도출 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(t \ge 2\)에서 치역 \([-11, \infty)\) 분석 +4점 / \(k \le 11\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(t = 2^x + 2^{-x}\) 치환 시 정의역이 \(t \gt 0\)이 아니라 \(t \ge 2\)라는 점을 반드시 반영해야 꼭짓점의 포함 여부를 정확히 판정할 수 있습니다.

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 2] (20점) 원에 내접하는 삼각형의 넓이 최대화와 코사인법칙

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 12052 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 반지름의 길이가 \(R\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 사인법칙에 의하여 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2R\sin A\)이고, 고정된 현 \(\mathrm{BC}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이가 최대가 되는 점 \(\mathrm{A}\)는 선분 \(\mathrm{BC}\)의 수직이등분선과 원이 만나는 점(\(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}\))이다.

반지름의 길이가 \(4\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 구하고, 원의 중심 \(\mathrm{O}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{AC}} = 10\)일 때, 코사인법칙을 이용하여 \(\overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{AC}}\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 점 \(\mathrm{A}\)가 \(\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\)을 유지하며 호 \(\mathrm{BC}\) 위를 움직일 때, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이의 최댓값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{3}\), 수선의 길이 \(2\) | [2-2] 곱 \(\dfrac{52}{3}\), 넓이 \(\dfrac{13\sqrt{3}}{3}\) | [2-3] \(12\sqrt{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\overline{\mathrm{BC}} = 2R\sin\dfrac{\pi}{3} = 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\)이고, 피타고라스 정리에 의해 중심에서 현까지의 거리는 \(\sqrt{16 - 12} = 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(b + c = 10\)이고 코사인법칙에서 \(48 = b^2 + c^2 - bc = (b + c)^2 - 3bc = 100 - 3bc\)이므로 \(bc = \dfrac{52}{3}\)이다. 이때 넓이는 \(\dfrac{1}{2}bc\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{13\sqrt{3}}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 넓이가 최대일 때는 정삼각형(\(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 4\sqrt{3}\))일 때이며, 이때 높이는 \(4 + 2 = 6\)이므로 최대 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 6 = 12\sqrt{3}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(\overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{3}\) 산출 +3점 / 수선의 길이 \(2\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(100 - 3bc = 48 \implies bc = \dfrac{52}{3}\) 유도 +4점 / 넓이 \(\dfrac{13\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 이등변(정삼각형) 최대 높이 \(6\) 도출 +4점 / 최대 넓이 \(12\sqrt{3}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 코사인법칙 \(a^2 = (b + c)^2 - 3bc\)를 이용하면 \(b, c\)를 각각 구하지 않고도 곱 \(bc\)와 넓이를 한 번에 구할 수 있습니다.

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 3] (20점) 삼각형 내접원 반지름의 극한과 도형의 극한

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 두 직각변의 길이가 \(a, b\)이고 빗변의 길이가 \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)인 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름의 길이 \(r\)은 넓이 관계 또는 접선의 길이 성질에 의하여 \(r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{ab}{a + b + c}\)이다.

양수 \(t\)에 대하여 좌표평면 위의 세 점 \(\mathrm{O}(0, 0),\; \mathrm{A}(t, 0),\; \mathrm{B}(0, 2t^2)\)을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 \(\mathrm{OAB}\)에 내접하는 원의 반지름의 길이를 \(r(t)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 빗변 \(\overline{\mathrm{AB}}\)의 길이를 \(t\)로 나타내고, 제시문 (가)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) \(\lim_{t \to 0+} \dfrac{r(t)}{t^2}\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{t \to \infty} \dfrac{r(t)}{t}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(\overline{\mathrm{AB}} = t\sqrt{1 + 4t^2},\; r(t) = \dfrac{2t^2}{1 + 2t + \sqrt{1 + 4t^2}}\) | [3-2] \(1\) | [3-3] \(\dfrac{1}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(a = t,\; b = 2t^2\)이므로 \(c = \sqrt{t^2 + 4t^4} = t\sqrt{1 + 4t^2}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 제시문 (가)에 의해 \(r(t) = \dfrac{2t^3}{t + 2t^2 + t\sqrt{1 + 4t^2}} = \dfrac{2t^2}{1 + 2t + \sqrt{1 + 4t^2}}\)이다. 따라서 \(\lim_{t \to 0+} \dfrac{r(t)}{t^2} = \lim_{t \to 0+} \dfrac{2}{1 + 2t + \sqrt{1 + 4t^2}} = \dfrac{2}{2} = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\lim_{t \to \infty} \dfrac{r(t)}{t} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{2t}{1 + 2t + \sqrt{1 + 4t^2}} = \lim_{t \to \infty} \dfrac{2}{\frac{1}{t} + 2 + \sqrt{\frac{1}{t^2} + 4}} = \dfrac{2}{2 + 2} = \dfrac{1}{2}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(\overline{\mathrm{AB}} = t\sqrt{1+4t^2}\) 도출 +2점 / \(r(t)\) 식 정리 +4점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 분모·분자 \(t^2\) 약분 +4점 / \(t \to 0+\) 극한값 \(1\) 산출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 분모·분자 \(t\)로 나누기 +4점 / \(t \to \infty\) 극한값 \(\dfrac{1}{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(r(t) = \dfrac{a + b - c}{2}\) 공식 대신 이미 유리화된 꼴인 \(r(t) = \dfrac{ab}{a + b + c}\) 공식을 쓰면 별도의 유리화 과정 없이 \(t \to 0+\)와 \(t \to \infty\) 극한이 모두 즉시 계산됩니다.

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 4] (20점) 삼차함수 위의 동점과 정점 직선으로 만든 삼각형 넓이 최대화

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 12054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 고정된 두 점 \(\mathrm{A}(a, f(a)),\; \mathrm{B}(b, f(b))\)와 호 \(\mathrm{AB}\) 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\;(a \lt t \lt b)\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이가 최대가 되는 순간은 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선의 기울기 \(f'(t)\)가 직선 \(\mathrm{AB}\)의 기울기와 같아지는 순간이다.

곡선 \(y = -x^3 + 4x\) 위의 두 점 \(\mathrm{O}(0, 0),\; \mathrm{A}(2, 0)\)과 곡선 위의 동점 \(\mathrm{P}(t, -t^3 + 4t)\;(0 \lt t \lt 2)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 삼각형 \(\mathrm{POA}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 삼차함수로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 넓이 \(S(t)\)가 최대가 될 때의 \(t\)의 값과 그때의 최대 넓이를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = -x^3 + 4x\)와 \(x\)축(\(0 \le x \le 2\))으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(A\)를 구하고, [문항 4-2]의 최대 삼각형 넓이와의 비를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(S(t) = -t^3 + 4t\) | [4-2] \(t = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\), 최대 넓이 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\) | [4-3] \(A = 4\), 비 \(\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑변 \(\overline{\mathrm{OA}} = 2\)이고 \(0 \lt t \lt 2\)에서 \(-t^3 + 4t \gt 0\)이므로 \(S(t) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times (-t^3 + 4t) = -t^3 + 4t\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 직선 \(\mathrm{OA}\)의 기울기가 \(0\)이므로 \(S'(t) = -3t^2 + 4 = 0\;(0 \lt t \lt 2)\)에서 \(t = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)이고, 최대 넓이는 \(S\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(A = \int_{0}^{2} (-x^3 + 4x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{4}x^4 + 2x^2\right]_{0}^{2} = -4 + 8 = 4\)이고, \(A\)에 대한 최대 삼각형 넓이의 비는 \(\dfrac{S_{\max}}{A} = \dfrac{4\sqrt{3}}{9}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 밑변 \(2\), 높이 \(-t^3+4t\) 설정 +3점 / \(S(t) = -t^3 + 4t\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(S'(t) = -3t^2 + 4 = 0\)으로부터 \(t = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 최댓값 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\) 도출 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 정적분 \(A = 4\) 계산 +4점 / 비 \(\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 밑변 \(\mathrm{OA}\)가 \(x\)축 위에 놓여 있고 길이가 \(2\)이므로 삼각형의 넓이 함수 \(S(t)\)가 곡선의 \(y\)좌표 \(-t^3 + 4t\) 자체와 같아집니다.

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 5] (20점) 수직선 운동에서 속도의 그래프와 정적분 위치 추론

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 12055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 시각 \(t = 0\)일 때의 위치가 \(x_0\)이고 속도가 \(v(t)\)인 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 위치는 \(x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v(s)\,ds\)이며, 점 \(\mathrm{P}\)가 출발점 \(x_0\)으로부터 가장 멀리 떨어져 있는 순간은 극대 위치 또는 구간의 끝점이다.

수직선 위에서 시각 \(t = 0\)일 때 위치가 \(x_0 = 2\)인 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = -3t^2 + 6t + 9\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 시각 \(t_1\)과 그때 점 \(\mathrm{P}\)의 위치 \(x(t_1)\)을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 처음으로 원점 \(x = 0\)을 지나는 시각은 \(t = 4\)와 \(t = 5\) 사이에 존재함을 보이시오.

[문항 5-3] (7점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(t_1 = 3,\; x(3) = 29\) | [5-2] \(x(4) = 22 \gt 0,\; x(5) = -3 \lt 0\) 사잇값 정리 | [5-3] \(34\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(v(t) = -3(t + 1)(t - 3) = 0\;(t \ge 0)\)에서 \(t_1 = 3\)이고 \(x(t) = 2 + \int_{0}^{t} (-3s^2 + 6s + 9)\,ds = -t^3 + 3t^2 + 9t + 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x(3) = -27 + 27 + 27 + 2 = 29\)이다. 또한 연속함수 \(x(t)\)에 대하여 \(x(4) = -64 + 48 + 36 + 2 = 22 \gt 0\)이고 \(x(5) = -125 + 75 + 45 + 2 = -3 \lt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \((4, 5)\)에서 원점을 지난다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(t = 0\)에서 \(t = 3\)까지는 양의 방향으로 \(x(3) - x(0) = 29 - 2 = 27\)만큼 이동하고, \(t = 3\)에서 \(t = 4\)까지는 음의 방향으로 \(|x(4) - x(3)| = |22 - 29| = 7\)만큼 이동하므로 총 움직인 거리는 \(27 + 7 = 34\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(t_1 = 3\) 도출 +2점 / \(x(3) = 29\) 산출 +4점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(x(4) = 22 \gt 0,\; x(5) = -3 \lt 0\) 계산 +4점 / 사잇값 정리 서술 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \([0, 3]\) 이동거리 \(27\) 및 \([3, 4]\) 이동거리 \(7\) 분리 +4점 / 총 거리 \(34\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 초기 위치 \(x_0 = 2 \ne 0\)가 주어졌을 때 위치 \(x(t)\)에는 \(+2\)가 더해지지만, 움직인 거리는 정적분의 변화량에만 의존하므로 \(x_0\)와 무관합니다.