2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 5회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 지수함수의 산술·기하 평균 치환과 방정식의 실근 존재 조건

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 12051 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(t = 2^x + 2^{-x}\)라 하면 산술·기하 평균 부등식에 의하여 \(t \ge 2\)이며, \(4^x + 4^{-x} = (2^x + 2^{-x})^2 - 2 = t^2 - 2\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = 4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + 10\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(t = 2^x + 2^{-x}\;(t \ge 2)\)로 치환한 이차함수 \(g(t)\)의 식과 정의역을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 최솟값과 그때의 모든 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 방정식 \(4^x + 4^{-x} - 6(2^x + 2^{-x}) + k = 0\)이 적어도 하나의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 2] (20점) 원에 내접하는 삼각형의 넓이 최대화와 코사인법칙

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 12052 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 반지름의 길이가 \(R\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 사인법칙에 의하여 \(\overline{\mathrm{BC}} = 2R\sin A\)이고, 고정된 현 \(\mathrm{BC}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이가 최대가 되는 점 \(\mathrm{A}\)는 선분 \(\mathrm{BC}\)의 수직이등분선과 원이 만나는 점(\(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}\))이다.

반지름의 길이가 \(4\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 구하고, 원의 중심 \(\mathrm{O}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)에 내린 수선의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(\overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{AC}} = 10\)일 때, 코사인법칙을 이용하여 \(\overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{AC}}\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 점 \(\mathrm{A}\)가 \(\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\)을 유지하며 호 \(\mathrm{BC}\) 위를 움직일 때, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이의 최댓값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 3] (20점) 삼각형 내접원 반지름의 극한과 도형의 극한

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 탐구 12053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 두 직각변의 길이가 \(a, b\)이고 빗변의 길이가 \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)인 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름의 길이 \(r\)은 넓이 관계 또는 접선의 길이 성질에 의하여 \(r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{ab}{a + b + c}\)이다.

양수 \(t\)에 대하여 좌표평면 위의 세 점 \(\mathrm{O}(0, 0),\; \mathrm{A}(t, 0),\; \mathrm{B}(0, 2t^2)\)을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 \(\mathrm{OAB}\)에 내접하는 원의 반지름의 길이를 \(r(t)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 빗변 \(\overline{\mathrm{AB}}\)의 길이를 \(t\)로 나타내고, 제시문 (가)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) \(\lim_{t \to 0+} \dfrac{r(t)}{t^2}\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{t \to \infty} \dfrac{r(t)}{t}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 4] (20점) 삼차함수 위의 동점과 정점 직선으로 만든 삼각형 넓이 최대화

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 12054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 고정된 두 점 \(\mathrm{A}(a, f(a)),\; \mathrm{B}(b, f(b))\)와 호 \(\mathrm{AB}\) 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\;(a \lt t \lt b)\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{PAB}\)의 넓이가 최대가 되는 순간은 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선의 기울기 \(f'(t)\)가 직선 \(\mathrm{AB}\)의 기울기와 같아지는 순간이다.

곡선 \(y = -x^3 + 4x\) 위의 두 점 \(\mathrm{O}(0, 0),\; \mathrm{A}(2, 0)\)과 곡선 위의 동점 \(\mathrm{P}(t, -t^3 + 4t)\;(0 \lt t \lt 2)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 삼각형 \(\mathrm{POA}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 삼차함수로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 넓이 \(S(t)\)가 최대가 될 때의 \(t\)의 값과 그때의 최대 넓이를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = -x^3 + 4x\)와 \(x\)축(\(0 \le x \le 2\))으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(A\)를 구하고, [문항 4-2]의 최대 삼각형 넓이와의 비를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 5] (20점) 수직선 운동에서 속도의 그래프와 정적분 위치 추론

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 12055 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 시각 \(t = 0\)일 때의 위치가 \(x_0\)이고 속도가 \(v(t)\)인 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 위치는 \(x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v(s)\,ds\)이며, 점 \(\mathrm{P}\)가 출발점 \(x_0\)으로부터 가장 멀리 떨어져 있는 순간은 극대 위치 또는 구간의 끝점이다.

수직선 위에서 시각 \(t = 0\)일 때 위치가 \(x_0 = 2\)인 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = -3t^2 + 6t + 9\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 시각 \(t_1\)과 그때 점 \(\mathrm{P}\)의 위치 \(x(t_1)\)을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 처음으로 원점 \(x = 0\)을 지나는 시각은 \(t = 4\)와 \(t = 5\) 사이에 존재함을 보이시오.

[문항 5-3] (7점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.