2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 4회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 지수·로그 연립 관계식과 상용로그 자릿수 추정

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 12041 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 양수 \(N\)에 대하여 \(\log_{10} N = n + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1\))일 때, \(n \ge 0\)이면 \(N\)의 정수부분은 \((n + 1)\)자리 수이고, 최고자리의 숫자는 \(10^\alpha\)의 정수부분과 같다.

\(\log_{10} 2 = 0.3010,\; \log_{10} 3 = 0.4771\)일 때, 자연수 \(N = 6^{20}\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\log_{10} 6\)의 값을 구하고, \(\log_{10} N\)의 정수부분 \(n\)과 소수부분 \(\alpha\)를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(N = 6^{20}\)은 몇 자리 자연수인지 구하고, \(N\)의 최고자리의 숫자를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(6^{-20}\)을 소수로 나타낼 때 소수점 아래 몇째 자리에서 처음으로 \(0\)이 아닌 숫자가 나타나는지 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\log_{10} 6 = 0.7781,\; n = 15,\; \alpha = 0.562\) | [1-2] \(16\)자리, 최고자리 숫자 \(3\) | [1-3] 소수점 아래 \(16\)째 자리

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.7781\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\log_{10} 6^{20} = 20 \times 0.7781 = 15.562 = 15 + 0.562\)이므로 \(n = 15,\; \alpha = 0.562\)이다. 따라서 \(6^{20}\)은 \(15 + 1 = 16\)자리 수이고, \(\log_{10} 3 = 0.4771 \lt 0.562 \lt \log_{10} 4 = 0.6020\)이므로 최고자리의 숫자는 \(3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\log_{10} 6^{-20} = -15.562 = -16 + 0.438\)이므로 정수부분이 \(-16\)이어서 소수점 아래 \(16\)째 자리에서 처음으로 \(0\)이 아닌 숫자가 나타난다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(\log_{10} 6 = 0.7781\) 계산 +2점 / \(n = 15,\; \alpha = 0.562\) 도출 +4점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(16\)자리 판정 +3점 / \(\log_{10} 3 \lt 0.562 \lt \log_{10} 4\) 비교로 \(3\) 도출 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(-16 + 0.438\) 표준형 변환 +4점 / 소수점 아래 \(16\)째 자리 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 음수 상용로그 \(-15.562\)의 정수부분은 \(-15\)가 아니라 \(-16\) (\(-16 + 0.438\))이라는 점에 주의하십시오.

[대문항 2] (20점) 원에 외접·내접하는 삼각형에서 사인법칙·코사인법칙과 내접원 반지름

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12042 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 세 변의 길이가 \(a, b, c\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 \(S\), 내접원의 반지름의 길이를 \(r\)이라 하면 \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)\)이다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 8,\; \angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{AC}\)의 길이를 구하고, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 내접원의 반지름의 길이 \(r\)을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)을 구하고, \(\dfrac{R}{r}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\overline{\mathrm{AC}} = 7\), 둘레 \(20\) | [2-2] \(S = 10\sqrt{3},\; r = \sqrt{3}\) | [2-3] \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3},\; \dfrac{R}{r} = \dfrac{7}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 8,\; \angle B = \dfrac{\pi}{3}\)에 코사인법칙을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\overline{\mathrm{AC}}^2 = 25 + 64 - 2\cdot 5\cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 49 \implies \overline{\mathrm{AC}} = 7\)이고 둘레의 길이는 \(5 + 8 + 7 = 20\)이다. 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}\)이고, \(\dfrac{1}{2}r(20) = 10\sqrt{3}\)에서 \(r = \sqrt{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 사인법칙에 의해 \(R = \dfrac{7}{2\sin\frac{\pi}{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이므로 \(\dfrac{R}{r} = \dfrac{7}{3}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(\overline{\mathrm{AC}} = 7\) 산출 +4점 / 둘레 \(20\) 도출 +2점
소문항 [2-2] (배점 7)	• 넓이 \(S = 10\sqrt{3}\) 계산 +3점 / 내접원 반지름 \(r = \sqrt{3}\) 도출 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 산출 +4점 / \(\dfrac{R}{r} = \dfrac{7}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 세 변이 \((5, 7, 8)\)이고 끼인각이 \(60^\circ\)인 삼각형은 외접원 반지름(사인법칙)과 내접원 반지름(넓이 공식)이 모두 깔끔한 무리수 배수로 떨어지는 대표적 구조입니다.

[대문항 3] (20점) 다항식의 나눗셈 나머지 정리와 도함수의 연립 활용

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 12043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 다항식 \(P(x)\)를 \((x - a)^2\)으로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(rx + s\)라 하면 \(P(x) = (x - a)^2 Q(x) + rx + s\)이고, 양변을 미분하면 \(P'(x) = 2(x - a)Q(x) + (x - a)^2 Q'(x) + r\)이므로 \(P(a) = ra + s,\; P'(a) = r\)이다.

자연수 \(n\;(n \ge 2)\)에 대하여 다항식 \(P(x) = x^n + 2x^2 - 3\)을 \((x - 1)^2\)으로 나눈 나머지를 \(R(x) = a_n x + b_n\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(P(1)\)과 \(P'(1)\)의 값을 구하고, \(a_n\)과 \(b_n\)을 각각 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) \(n = 5\)일 때 나머지 \(R(x)\)를 구하고, \(R(3)\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\sum_{n=2}^{10} (a_n - b_n)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(P(1) = 0,\; P'(1) = n + 4,\; a_n = n + 4,\; b_n = -(n + 4)\) | [3-2] \(R(x) = 9x - 9,\; R(3) = 18\) | [3-3] \(180\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(P(x) = (x - 1)^2 Q(x) + a_n x + b_n\)과 도함수 \(P'(x) = nx^{n-1} + 4x\)에 \(x = 1\)을 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(P(1) = 1 + 2 - 3 = 0 = a_n + b_n\)이고, \(P'(1) = n + 4 = a_n\)이므로 \(b_n = -(n + 4)\)이다. \(n = 5\)일 때 \(R(x) = 9x - 9\)이고 \(R(3) = 18\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a_n - b_n = 2(n + 4) = 2n + 8\)이므로 \(\sum_{n=2}^{10} (2n + 8) = 2 \times 54 + 9 \times 8 = 108 + 72 = 180\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(P(1)=0, P'(1)=n+4\) 계산 +3점 / \(a_n = n+4, b_n = -(n+4)\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(R(x) = 9x - 9\) 산출 +4점 / \(R(3) = 18\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(a_n - b_n = 2n + 8\) 정리 +3점 / 합 \(180\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 제수가 완전제곱식 \((x - 1)^2\)일 때는 수치대입법만으로는 식이 하나 부족하므로 반드시 양변을 미분한 도함수 항등식에 \(x = 1\)을 대입해야 합니다.

[대문항 4] (20점) 사차함수가 극댓값을 가질 조건과 대칭 극소

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖기 위한 필요충분조건은 삼차방정식 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖는 것이다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해 꼴 \(4x(x^2 - 3x + a)\)로 나타내고, 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(a \gt 0\)일 때 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖지 않도록 하는 최소의 자연수 \(a\)를 구하고, 그때 \(f(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(a = 2\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 두 극솟값의 합을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(a \lt 0\) 또는 \(0 \lt a \lt \dfrac{9}{4}\) | [4-2] \(a = 3,\; f(2) = 8\) | [4-3] 극댓값 \(1\), 두 극솟값 합 \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a)\)가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 이차식 \(x^2 - 3x + a = 0\)이 \(x \ne 0\)인 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 \(a \ne 0\)이고 판별식 \(D = 9 - 4a \gt 0 \implies a \lt \dfrac{9}{4}\)이다. 즉 \(a \lt 0\) 또는 \(0 \lt a \lt \dfrac{9}{4}\)이다. \(a \ge \dfrac{9}{4}\)인 최소 정수는 \(a = 3\)이며, 이때 \(f(2) = 16 - 32 + 24 = 8\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a = 2\)일 때 \(f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2) = 0\)이므로 \(x = 1\)에서 극댓값 \(f(1) = 1 - 4 + 4 = 1\)을 갖고, \(x = 0, 2\)에서 두 극솟값 \(f(0) = 0,\; f(2) = 0\)을 가지므로 합은 \(0\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 판별식 \(9 - 4a \gt 0\) 적용 +3점 / \(a \ne 0\) 조건 포함하여 범위 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(a \ge \dfrac{9}{4}\) 최소 정수 \(a = 3\) 선택 +3점 / \(f(2) = 8\) 산출 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(f'(x) = 4x(x-1)(x-2)\) 인수분해 +3점 / 극댓값 \(1\), 극솟값 합 \(0\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(f'(x) = 4x(x^2 - 3x + a) = 0\)에서 이미 \(x = 0\)이 한 근이므로, 이차식이 \(x = 0\)을 근으로 갖는 \(a = 0\)일 때는 중근이 되어 극댓값을 갖지 않습니다.

[대문항 5] (20점) 주기성과 대칭성을 동시에 갖는 연속함수의 정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)이고 \(f(x + 4) = f(x)\)인 연속함수 \(f(x)\)는 주기가 \(4\)인 우함수이므로 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)이고, 임의의 길이 \(4\)인 구간에서의 정적분 값이 모두 같다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x),\; f(x + 4) = f(x)\)를 만족시키고, \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = -3x^2 + 6x\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 기본 반주기 구간에서의 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)와 한 주기 정적분 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{-2}^{14} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(2 \le x \le 4\)에서 함수 \(f(x)\)의 식을 구하고, \(\int_{0}^{3} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(4,\; 8\) | [5-2] \(32\) | [5-3] \(f(x) = -3(x - 4)^2 - 6(x - 4) = -3x^2 + 18x - 24,\; 6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\int_{0}^{2} (-3x^2 + 6x)\,dx = \left[-x^3 + 3x^2\right]_{0}^{2} = 4\)이고, 우함수 성질에 의해 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 8\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \([-2, 14]\)의 길이는 \(16 = 4 \times 4\)로 정확히 \(4\)주기이므로 \(\int_{-2}^{14} f(x)\,dx = 4 \times 8 = 32\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(2 \le x \le 4\)일 때 \(0 \le 4 - x \le 2\)이고 \(f(x) = f(x - 4) = f(4 - x) = -3(4 - x)^2 + 6(4 - x) = -3x^2 + 18x - 24\)이다. 또한 대칭성에 의해 \(\int_{2}^{3} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 2\)이므로 \(\int_{0}^{3} f(x)\,dx = 4 + 2 = 6\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\int_0^2 f(x)\,dx = 4\) 계산 +3점 / 한 주기 적분 \(8\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 구간 길이 \(16 = 4\)주기 확인 +4점 / \(4 \times 8 = 32\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(f(4-x)\) 대입으로 \(2 \le x \le 4\) 식 유도 +4점 / \(\int_0^3 f(x)\,dx = 6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = -3x(x - 2)\)는 직선 \(x = 1\)에 대하여 대칭이므로 \(\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} f(x)\,dx = 2\)입니다.