2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 4회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 지수·로그 연립 관계식과 상용로그 자릿수 추정

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 12041 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 양수 \(N\)에 대하여 \(\log_{10} N = n + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1\))일 때, \(n \ge 0\)이면 \(N\)의 정수부분은 \((n + 1)\)자리 수이고, 최고자리의 숫자는 \(10^\alpha\)의 정수부분과 같다.

\(\log_{10} 2 = 0.3010,\; \log_{10} 3 = 0.4771\)일 때, 자연수 \(N = 6^{20}\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\log_{10} 6\)의 값을 구하고, \(\log_{10} N\)의 정수부분 \(n\)과 소수부분 \(\alpha\)를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(N = 6^{20}\)은 몇 자리 자연수인지 구하고, \(N\)의 최고자리의 숫자를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(6^{-20}\)을 소수로 나타낼 때 소수점 아래 몇째 자리에서 처음으로 \(0\)이 아닌 숫자가 나타나는지 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 원에 외접·내접하는 삼각형에서 사인법칙·코사인법칙과 내접원 반지름

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 12042 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

<제시문 (가)> 세 변의 길이가 \(a, b, c\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 \(S\), 내접원의 반지름의 길이를 \(r\)이라 하면 \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)\)이다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 8,\; \angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{AC}\)의 길이를 구하고, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 내접원의 반지름의 길이 \(r\)을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)을 구하고, \(\dfrac{R}{r}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 다항식의 나눗셈 나머지 정리와 도함수의 연립 활용

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 12043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 다항식 \(P(x)\)를 \((x - a)^2\)으로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(rx + s\)라 하면 \(P(x) = (x - a)^2 Q(x) + rx + s\)이고, 양변을 미분하면 \(P'(x) = 2(x - a)Q(x) + (x - a)^2 Q'(x) + r\)이므로 \(P(a) = ra + s,\; P'(a) = r\)이다.

자연수 \(n\;(n \ge 2)\)에 대하여 다항식 \(P(x) = x^n + 2x^2 - 3\)을 \((x - 1)^2\)으로 나눈 나머지를 \(R(x) = a_n x + b_n\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(P(1)\)과 \(P'(1)\)의 값을 구하고, \(a_n\)과 \(b_n\)을 각각 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) \(n = 5\)일 때 나머지 \(R(x)\)를 구하고, \(R(3)\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\sum_{n=2}^{10} (a_n - b_n)\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 사차함수가 극댓값을 가질 조건과 대칭 극소

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 12044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖기 위한 필요충분조건은 삼차방정식 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖는 것이다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해 꼴 \(4x(x^2 - 3x + a)\)로 나타내고, 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(a \gt 0\)일 때 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖지 않도록 하는 최소의 자연수 \(a\)를 구하고, 그때 \(f(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(a = 2\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 두 극솟값의 합을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 주기성과 대칭성을 동시에 갖는 연속함수의 정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)이고 \(f(x + 4) = f(x)\)인 연속함수 \(f(x)\)는 주기가 \(4\)인 우함수이므로 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)이고, 임의의 길이 \(4\)인 구간에서의 정적분 값이 모두 같다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x),\; f(x + 4) = f(x)\)를 만족시키고, \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = -3x^2 + 6x\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 기본 반주기 구간에서의 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)와 한 주기 정적분 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{-2}^{14} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(2 \le x \le 4\)에서 함수 \(f(x)\)의 식을 구하고, \(\int_{0}^{3} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.