2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 3회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그의 정수부분과 가우스 계단 합

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 12031 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 자연수 \(k\)에 대하여 \(2^m \le k \lt 2^{m+1}\) (\(m\)은 \(0\) 이상의 정수)이면, \(m \le \log_2 k \lt m + 1\)이므로 \(\log_2 k\)의 정수부분 \([\log_2 k]\)는 \(m\)이다.

\(1\)부터 \(63\)까지의 자연수 \(k\)에 대하여 \(\log_2 k\)의 정수부분을 \(a_k = [\log_2 k]\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \([x]\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(m = 0, 1, 2, 3, 4, 5\)에 대하여 \(a_k = m\)을 만족시키는 자연수 \(k\)의 개수를 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) \(\sum_{k=1}^{63} [\log_2 k]\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{80} [\log_3 k]\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(2^m\)개 | [1-2] \(258\) | [1-3] \(204\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(2^m \le k \le 2^{m+1} - 1\)인 자연수 \(k\)의 개수는 \((2^{m+1} - 1) - 2^m + 1 = 2^m\)개이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(1 \le k \le 63 = 2^6 - 1\)이므로 \(\sum_{k=1}^{63} [\log_2 k] = \sum_{m=0}^{5} m \cdot 2^m = 0\cdot 1 + 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 8 + 4\cdot 16 + 5\cdot 32 = 2 + 8 + 24 + 64 + 160 = 258\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \([\log_3 k] = m\)인 구간 \(3^m \le k \le 3^{m+1} - 1\)의 개수는 \(2\cdot 3^m\)개이다. \(80 = 3^4 - 1\)이므로 \(\sum_{k=1}^{80} [\log_3 k] = \sum_{m=0}^{3} m \cdot (2\cdot 3^m) = 0 + 1\cdot 6 + 2\cdot 18 + 3\cdot 54 = 6 + 36 + 162 = 204\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 구간 \([2^m, 2^{m+1}-1]\) 설정 +3점 / 개수 \(2^m\)개 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• \(\sum_{m=0}^{5} m\cdot 2^m\) 전개 +4점 / 값 \(258\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 밑 \(3\) 구간 개수 \(2\cdot 3^m\) 유도 +4점 / \(6 + 36 + 162 = 204\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(3^m \le k \le 3^{m+1} - 1\)의 자연수 개수는 \(3^m\)개가 아니라 \(3^{m+1} - 3^m = 2 \cdot 3^m\)개라는 점에 유의하십시오.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 합성과 치환 방정식의 실근의 개수

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12032 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 \(t = \sin x\)로 치환할 때, \(-1 \lt t \lt 1\;(t \ne 0)\)인 각 \(t\)에 대응하는 \(x\)는 \(2\)개씩이고, \(t = 0\)에는 \(x = 0, \pi, 2\pi\)의 \(3\)개, \(t = \pm 1\)에는 각각 \(1\)개씩 대응한다.

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 삼각방정식 \(2\sin^2 x - \sin x - k = 0\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(N(k)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환하여 \(h(t) = 2t^2 - t\)의 그래프의 꼭짓점과 양 끝점 함숫값 \(h(-1), h(1)\)을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(k = 0\)일 때 방정식의 모든 실근을 구하고, \(N(0)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 서로 다른 실근의 개수가 \(N(k) = 4\)가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] 꼭짓점 \(\left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}\right),\; h(-1) = 3,\; h(1) = 1\) | [2-2] \(x = 0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \pi, 2\pi,\; N(0) = 5\) | [2-3] \(-\dfrac{1}{8} \lt k \lt 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(h(t) = 2\left(t - \dfrac{1}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{8}\;(-1 \le t \le 1)\)로 변형한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 꼭짓점은 \(\left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}\right)\)이고 \(h(-1) = 3,\; h(1) = 1\)이다. \(k = 0\)일 때 \(t(2t - 1) = 0 \implies t = 0, \dfrac{1}{2}\)이므로 \(t = 0\)에서 \(x = 0, \pi, 2\pi\) (\(3\)개), \(t = \dfrac{1}{2}\)에서 \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\) (\(2\)개)로 총 \(N(0) = 5\)개이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(N(k) = 4\)가 되려면 \(h(t) = k\)가 \(0 \lt t \lt 1\)에서 서로 다른 두 실근을 가져야(또는 \(t = 0\)을 피해야) 하므로 \(- \dfrac{1}{8} \lt k \lt 0\)이다. (참고: \(k = 1\)일 때는 \(t = 1\)에서 \(1\)개, \(t = -\dfrac{1}{2}\)에서 \(2\)개로 \(3\)개이다.)

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 꼭짓점 \(\left(\dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}\right)\) 도출 +3점 / \(h(-1)=3, h(1)=1\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(t = 0, \dfrac{1}{2}\)에 대응하는 \(5\)개 실근 나열 +4점 / \(N(0) = 5\) 도출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(0 \lt t \lt 1\) 내 두 근 조건 분석 +4점 / \(-\dfrac{1}{8} \lt k \lt 0\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서는 양 끝점 \(0, 2\pi\)가 모두 포함되므로 \(\sin x = 0\)의 근이 \(2\)개가 아니라 \(3\)개(\(0, \pi, 2\pi\))가 되어 \(k = 0\)에서 실근이 \(5\)개가 됩니다.

[대문항 3] (20점) 다항함수의 차수와 최고차항을 결정하는 자기참조 극한

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 12033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(n\)차 다항함수 \(f(x) = ax^n + \cdots\;(a \ne 0)\)의 도함수는 \(f'(x) = nax^{n-1} + \cdots\)이므로, \(x \to \infty\)일 때 \(\dfrac{x f'(x)}{f(x)} \to n\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x f'(x)} = \dfrac{1}{3}\)과 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3\), 그리고 \(f(0) = 1,\; f'(0) = 4\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수 \(n\)과 삼차항, 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 조건 \(f(0) = 1,\; f'(0) = 4\)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] 차수 \(n = 3\), 삼차항 계수 \(2\), 이차항 계수 \(-3\) | [3-2] \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1,\; f(2) = 13\) | [3-3] \(2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x f'(x)} = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{3}\)이므로 \(f(x)\)는 \(3\)차 다항함수이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 두 번째 극한에서 최고차항은 \(2x^3\), 이차항은 \(-3x^2\)이고, \(f(0) = 1,\; f'(0) = 4\)에서 일차항은 \(4x\), 상수항은 \(1\)이다. 따라서 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)이고 \(f(2) = 16 - 12 + 8 + 1 = 13\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f'(x) = 6x^2 - 6x + 4\)이므로 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{f'(1)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 차수 \(n = 3\) 판정 +3점 / 삼차 계수 \(2\), 이차 계수 \(-3\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1\) 완성 +4점 / \(f(2) = 13\) 산출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(\dfrac{1}{2}f'(1)\) 미분계수 변형 +4점 / 값 \(2\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x f'(x)} = \dfrac{1}{n}\) 관계식은 다항함수의 차수 \(n\)을 한 번에 알려주는 표준 극한식입니다.

[대문항 4] (20점) 두 곡선의 공통접선(접할 조건)과 둘러싸인 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 12034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 두 미분가능한 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)가 \(x = a\)인 점에서 서로 접하기 위한 필요충분조건은 \(f(a) = g(a)\)이고 \(f'(a) = g'(a)\)인 것이다.

곡선 \(C_1 : y = x^3 - 2x^2 + 2\)와 포물선 \(C_2 : y = -x^2 + ax + b\)가 점 \((1, 1)\)에서 서로 접할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 점 \((1, 1)\)에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 두 곡선 \(C_1, C_2\)가 점 \((1, 1)\) 외에 만나는 다른 교점의 좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 두 곡선 \(C_1, C_2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(a = 1,\; b = 1\), 공통접선 \(y = -x + 2\) | [4-2] \((-1, -1)\) | [4-3] \(\dfrac{4}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 2x^2 + 2,\; g(x) = -x^2 + ax + b\)라 하면 \(f(1) = g(1) = 1\)이고 \(f'(1) = g'(1)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 4x\)에서 \(f'(1) = -1\)이므로 공통접선은 \(y - 1 = -(x - 1) \implies y = -x + 2\)이다. \(g'(1) = -2 + a = -1 \implies a = 1\)이고 \(g(1) = -1 + 1 + b = 1 \implies b = 1\)이다. 교점 방정식은 \(f(x) - g(x) = x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2(x + 1) = 0\)이므로 다른 교점은 \((-1, -1)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘러싸인 넓이는 \(\int_{-1}^{1} (x - 1)^2(x + 1)\,dx = \dfrac{1}{12}(1 - (-1))^4 = \dfrac{4}{3}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(a = 1, b = 1\) 산출 +3점 / 공통접선 \(y = -x + 2\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(f(x) - g(x) = (x-1)^2(x+1) = 0\) 인수분해 +4점 / 교점 \((-1, -1)\) 산출 +3점
소문항 [4-3] (배점 7)	• \(\int_{-1}^1 (x^3-x^2-x+1)\,dx\) 계산 +4점 / 넓이 \(\dfrac{4}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 두 곡선이 \(x = 1\)에서 접하므로 차 함수 \(f(x) - g(x)\)는 반드시 \((x - 1)^2\)을 인수로 가지며, 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4\)이 그대로 적용됩니다.

[대문항 5] (20점) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이가 같을 조건(정적분 상쇄)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 연속함수 \(h(x)\)의 그래프가 \(x = \alpha, \beta, \gamma\;(\alpha \lt \beta \lt \gamma)\)에서 \(x\)축과 만날 때, 구간 \([\alpha, \beta]\)에서의 도형의 넓이 \(S_1\)과 구간 \([\beta, \gamma]\)에서의 도형의 넓이 \(S_2\)가 서로 같기 위한 필요충분조건은 \(\int_{\alpha}^{\gamma} h(x)\,dx = 0\)인 것이다.

포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\), 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = a\;(a \gt 2)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 구간 \([0, 2]\)에서의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(S_1 = S_2\)가 되도록 하는 양수 \(a\;(a \gt 2)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 별도로 삼차함수 \(g(x) = x(x - 2)(x - m)\;(m \gt 2)\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같을 때, 상수 \(m\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(S_1 = \dfrac{4}{3}\) | [5-2] \(a = 3\) | [5-3] \(m = 4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(0 \le x \le 2\)에서 \(x^2 - 2x \le 0\)이므로 \(S_1 = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{4}{3}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S_1 = S_2\)이면 제시문 (가)에 의해 \(\int_{0}^{a} (x^2 - 2x)\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3 - x^2\right]_{0}^{a} = a^2\left(\dfrac{a}{3} - 1\right) = 0\)이므로 \(a \gt 2\)에서 \(a = 3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 삼차함수는 변곡점에 대하여 점대칭이므로 \(x\)절편 \(0, 2, m\)이 등차수열을 이룰 때 두 넓이가 같아진다. 따라서 \(m = 4\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\int_0^2 (-x^2+2x)\,dx\) 계산 +3점 / \(S_1 = \dfrac{4}{3}\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(\int_0^a (x^2-2x)\,dx = 0\) 방정식 수립 +4점 / \(a = 3\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 삼차함수 점대칭(등차절편) 또는 \(\int_0^m g(x)\,dx = 0\) 적용 +4점 / \(m = 4\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(S_1\)과 \(S_2\)를 각각 따로 계산하여 같다고 놓는 대신 \(\int_{0}^{a} (x^2 - 2x)\,dx = 0\)을 풀면 계산량이 절반 이하로 줄어듭니다.