2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 3회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그의 정수부분과 가우스 계단 합

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 12031 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 자연수 \(k\)에 대하여 \(2^m \le k \lt 2^{m+1}\) (\(m\)은 \(0\) 이상의 정수)이면, \(m \le \log_2 k \lt m + 1\)이므로 \(\log_2 k\)의 정수부분 \([\log_2 k]\)는 \(m\)이다.

\(1\)부터 \(63\)까지의 자연수 \(k\)에 대하여 \(\log_2 k\)의 정수부분을 \(a_k = [\log_2 k]\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \([x]\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(m = 0, 1, 2, 3, 4, 5\)에 대하여 \(a_k = m\)을 만족시키는 자연수 \(k\)의 개수를 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) \(\sum_{k=1}^{63} [\log_2 k]\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{80} [\log_3 k]\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 삼각함수의 합성과 치환 방정식의 실근의 개수

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 12032 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 \(t = \sin x\)로 치환할 때, \(-1 \lt t \lt 1\;(t \ne 0)\)인 각 \(t\)에 대응하는 \(x\)는 \(2\)개씩이고, \(t = 0\)에는 \(x = 0, \pi, 2\pi\)의 \(3\)개, \(t = \pm 1\)에는 각각 \(1\)개씩 대응한다.

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 삼각방정식 \(2\sin^2 x - \sin x - k = 0\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(N(k)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환하여 \(h(t) = 2t^2 - t\)의 그래프의 꼭짓점과 양 끝점 함숫값 \(h(-1), h(1)\)을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) \(k = 0\)일 때 방정식의 모든 실근을 구하고, \(N(0)\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 서로 다른 실근의 개수가 \(N(k) = 4\)가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 다항함수의 차수와 최고차항을 결정하는 자기참조 극한

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 12033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(n\)차 다항함수 \(f(x) = ax^n + \cdots\;(a \ne 0)\)의 도함수는 \(f'(x) = nax^{n-1} + \cdots\)이므로, \(x \to \infty\)일 때 \(\dfrac{x f'(x)}{f(x)} \to n\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x f'(x)} = \dfrac{1}{3}\)과 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3\), 그리고 \(f(0) = 1,\; f'(0) = 4\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)의 차수 \(n\)과 삼차항, 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 조건 \(f(0) = 1,\; f'(0) = 4\)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)를 구하고, \(f(2)\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 두 곡선의 공통접선(접할 조건)과 둘러싸인 넓이

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 12034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 두 미분가능한 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)가 \(x = a\)인 점에서 서로 접하기 위한 필요충분조건은 \(f(a) = g(a)\)이고 \(f'(a) = g'(a)\)인 것이다.

곡선 \(C_1 : y = x^3 - 2x^2 + 2\)와 포물선 \(C_2 : y = -x^2 + ax + b\)가 점 \((1, 1)\)에서 서로 접할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 점 \((1, 1)\)에서의 공통접선의 방정식을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 두 곡선 \(C_1, C_2\)가 점 \((1, 1)\) 외에 만나는 다른 교점의 좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 두 곡선 \(C_1, C_2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이가 같을 조건(정적분 상쇄)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 12035 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 연속함수 \(h(x)\)의 그래프가 \(x = \alpha, \beta, \gamma\;(\alpha \lt \beta \lt \gamma)\)에서 \(x\)축과 만날 때, 구간 \([\alpha, \beta]\)에서의 도형의 넓이 \(S_1\)과 구간 \([\beta, \gamma]\)에서의 도형의 넓이 \(S_2\)가 서로 같기 위한 필요충분조건은 \(\int_{\alpha}^{\gamma} h(x)\,dx = 0\)인 것이다.

포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\), 포물선 \(y = x^2 - 2x\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = a\;(a \gt 2)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 구간 \([0, 2]\)에서의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(S_1 = S_2\)가 되도록 하는 양수 \(a\;(a \gt 2)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 별도로 삼차함수 \(g(x) = x(x - 2)(x - m)\;(m \gt 2)\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같을 때, 상수 \(m\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.