2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집 | 2회 : 상용로그 소수부분 일치 · 지수로그 복합 부등식 · 각의 이등분선과 외접원 비 · 원과 포물선 교점 불연속 · 역함수 정적분

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 상용로그의 소수부분이 같을 조건과 등비수열의 로그

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 12021 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 두 양수 \(A, B\)에 대하여 \(\log_{10} A\)의 소수부분과 \(\log_{10} B\)의 소수부분이 서로 같기 위한 필요충분조건은 차 \(\log_{10} A - \log_{10} B = \log_{10}\dfrac{A}{B}\)가 정수가 되는 것이다.

\(10 \le x \lt 100\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10} x^4\)의 소수부분이 서로 같을 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\log_{10} x\)의 값의 범위를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 \(3\log_{10} x\)가 가질 수 있는 모든 정수의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 조건을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값을 \(10\)의 유리수 거듭제곱으로 나타내고, 모든 \(x\)의 값들의 곱 \(P\)를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 구한 \(x\) 중 \(x \ne 10\)인 두 수를 작은 것부터 \(x_1, x_2\)라 할 때, \(\log_{x_1} x_2\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(1 \le \log_{10} x \lt 2,\; 3\log_{10} x = 3, 4, 5\) | [1-2] \(x = 10, 10^{\frac{4}{3}}, 10^{\frac{5}{3}},\; P = 10^4\) | [1-3] \(\dfrac{5}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(10 \le x \lt 100 \iff 1 \le \log_{10} x \lt 2\)이므로 \(3 \le 3\log_{10} x \lt 6\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 두 소수부분이 같으므로 \(\log_{10} x^4 - \log_{10} x = 3\log_{10} x\)는 정수이며, 가능한 값은 \(3, 4, 5\)이다. 따라서 \(\log_{10} x = 1, \dfrac{4}{3}, \dfrac{5}{3}\)이고 \(x = 10, 10^{\frac{4}{3}}, 10^{\frac{5}{3}}\)이며 곱은 \(P = 10^{1 + \frac{4}{3} + \frac{5}{3}} = 10^4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x_1 = 10^{\frac{4}{3}},\; x_2 = 10^{\frac{5}{3}}\)이므로 밑변환 공식에 의해 \(\log_{x_1} x_2 = \dfrac{\frac{5}{3}}{\frac{4}{3}} = \dfrac{5}{4}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• \(1 \le \log_{10} x \lt 2\) 범위 유도 +3점 / \(3\log_{10} x \in \{3, 4, 5\}\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 세 해 \(10, 10^{\frac{4}{3}}, 10^{\frac{5}{3}}\) 산출 +4점 / 곱 \(P = 10^4\) 도출 +3점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(x_1, x_2\) 식별 +3점 / 밑변환으로 \(\dfrac{5}{4}\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 소수부분이 서로 같을 조건에서는 소수부분의 합이 \(1\)일 때와 달리 소수부분이 \(0\)인 경우(\(x = 10\))도 조건을 만족시키므로 제외하지 않아야 합니다.

[대문항 2] (20점) 지수·로그 복합 부등식과 양변 로그 취하기

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 12022 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 밑과 지수에 모두 미지수 \(x\;(x \gt 0)\)가 포함된 방정식이나 부등식 \(x^{\log_a x} \le a^p x^q\)는 양변에 밑이 \(a\;(a \gt 1)\)인 로그를 취하여 \(t = \log_a x\)에 대한 이차식 \(t^2 - qt - p \le 0\)으로 바꾸어 해결한다.

양수 \(x\)에 대한 부등식 \(x^{\log_2 x} \le 16x^3\)과 함수 \(f(x) = \dfrac{x^{\log_2 x}}{x^4}\;(x \gt 0)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 부등식 \(x^{\log_2 x} \le 16x^3\)의 양변에 밑이 \(2\)인 로그를 취하고, \(t = \log_2 x\)에 대한 이차부등식으로 정리하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 부등식의 해를 구하고, 해집합에 속하는 모든 자연수 \(x\)의 개수를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 함수 \(f(x) = \dfrac{x^{\log_2 x}}{x^4}\;(x \gt 0)\)가 최솟값을 가질 때의 \(x\)의 값과 최솟값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(t^2 - 3t - 4 \le 0\) | [2-2] \(\dfrac{1}{2} \le x \le 16\), 자연수 \(16\)개 | [2-3] \(x = 4\), 최솟값 \(\dfrac{1}{16}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑이 \(2 \gt 1\)인 로그를 양변에 취하면 부등호 방향이 유지된다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \((\log_2 x)^2 \le 4 + 3\log_2 x \iff t^2 - 3t - 4 = (t + 1)(t - 4) \le 0\)에서 \(-1 \le \log_2 x \le 4\)이므로 \(\dfrac{1}{2} \le x \le 16\)이고 자연수는 \(1\)부터 \(16\)까지 \(16\)개이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\log_2 f(x) = t^2 - 4t = (t - 2)^2 - 4\)이므로 \(t = \log_2 x = 2\;(x = 4)\)일 때 \(\log_2 f(x)\)는 최솟값 \(-4\)를 갖고, \(f(x)\)의 최솟값은 \(2^{-4} = \dfrac{1}{16}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 양변 \(\log_2\) 적용 +3점 / \(t^2 - 3t - 4 \le 0\) 유도 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(\dfrac{1}{2} \le x \le 16\) 도출 +4점 / 자연수 \(16\)개 산출 +3점
소문항 [2-3] (배점 7)	• \(\log_2 f(x) = (t-2)^2 - 4\) 완전제곱식 +4점 / \(x = 4\), 최솟값 \(\dfrac{1}{16}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\log_2 f(x)\)의 최솟값 \(-4\)를 그대로 \(f(x)\)의 최솟값으로 쓰지 않고 반드시 \(2^{-4} = \dfrac{1}{16}\)으로 역변환해야 합니다.

[대문항 3] (20점) 가게 간판 시야각(코사인법칙·넓이 분할)과 각의 이등분선 길이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12023 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{BAC}\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 하면, \(\triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{ABD} + \triangle \mathrm{ACD}\)이므로 \(\dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}(b + c)\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{A}{2}\)가 성립한다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 3,\; \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, \(\angle \mathrm{BAC}\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이와 제시문 (가)를 이용하여 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 구하고, 선분 \(\mathrm{BD}\)와 \(\mathrm{CD}\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(R_1\), 삼각형 \(\mathrm{ACD}\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(R_2\)라 할 때, \(\dfrac{R_1}{R_2}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] 넓이 \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2},\; \overline{\mathrm{AD}} = 2\) | [3-2] \(\overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{7},\; \overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7},\; \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{7}\) | [3-3] \(2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\triangle \mathrm{ABC} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 3 \times \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\dfrac{1}{2}(6 + 3)\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}\)에서 \(\overline{\mathrm{AD}} = 2\)이다. 또한 코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 36 + 9 - 2\cdot 6\cdot 3\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 63 \implies \overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{7}\)이고, 내각의 이등분선 정리에 의해 \(2 : 1\)로 내분되므로 \(\overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7},\; \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{7}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 사인법칙에 의해 \(2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin\frac{\pi}{3}},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\sin\frac{\pi}{3}}\)이 아닌 공통현 \(\overline{\mathrm{AD}}\)의 원주각이 아닌 \(\angle \mathrm{ADB} + \angle \mathrm{ADC} = \pi\)이므로 \(\sin(\angle \mathrm{ADB}) = \sin(\angle \mathrm{ADC})\)이고, \(2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin(\angle \mathrm{ADB})},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin(\angle \mathrm{ADC})}\)에서 \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = 2\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 전체 넓이 \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 분할로 \(\overline{\mathrm{AD}} = 2\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}} = 3\sqrt{7}\) 도출 +4점 / \(2:1\) 내분으로 \(2\sqrt{7}, \sqrt{7}\) 산출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• 사인법칙 \(2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin(\pi/3)},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{CD}}}{\sin(\pi/3)}\) 적용 +4점 / 비 \(\dfrac{R_1}{R_2} = 2\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{CAD} = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 사인법칙을 대변 \(\overline{\mathrm{BD}}, \overline{\mathrm{CD}}\)에 적용하면 \(R_1 : R_2 = \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{CD}} = 2 : 1\)이 즉시 유도됩니다.

[대문항 4] (20점) 원·곡선 교점 개수 함수의 불연속점과 좌·우극한

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 12024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 매개변수 \(r \gt 0\)에 따라 원 \(x^2 + (y - a)^2 = r^2\)과 직선 또는 이차곡선의 교점의 개수를 \(N(r)\)이라 하면, 함수 \(N(r)\)은 원이 도형에 접하거나 꼭짓점을 지나는 경계 반지름 \(r\)에서 불연속이 된다.

중심이 \(\mathrm{C}(0, 2)\)이고 반지름의 길이가 \(r\;(r \gt 0)\)인 원 \(x^2 + (y - 2)^2 = r^2\)과 포물선 \(y = x^2\)의 서로 다른 교점의 개수를 \(f(r)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 식에서 \(x^2\)을 소거하여 \(y\;(y \ge 0)\)에 대한 이차방정식을 세우고, 이 방정식이 \(y \gt 0\)에서 중근을 가질 때의 반지름 \(r_1\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 원이 포물선의 꼭짓점 \((0, 0)\)을 지날 때의 반지름 \(r_2\)를 구하고, 함수 \(f(r)\)이 불연속인 모든 \(r\)의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(f(r_1) + \lim_{r \to r_1+} f(r) + f(r_2) + \lim_{r \to r_2+} f(r)\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(y^2 - 3y + 4 - r^2 = 0,\; r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) | [4-2] \(r_2 = 2\), 불연속점 \(r = \dfrac{\sqrt{7}}{2}, 2\) | [4-3] \(2 + 4 + 3 + 2 = 11\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x^2 = y\;(y \ge 0)\)를 원의 방정식에 대입하면 \(y + (y - 2)^2 = r^2 \iff y^2 - 3y + 4 - r^2 = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 하나의 \(y \gt 0\)에는 \(x = \pm\sqrt{y}\) 두 개의 교점이 대응하고 \(y = 0\)에는 \((0, 0)\) 한 개가 대응한다. 판별식 \(D = 9 - 4(4 - r^2) = 4r^2 - 7 = 0\)에서 \(r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) (이때 \(y = \dfrac{3}{2} \gt 0\))이고, \(y = 0\)일 때 \(4 - r^2 = 0 \implies r_2 = 2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(r = r_1\)에서 \(f(r_1) = 2\), \(r_1 \lt r \lt 2\)에서 두 양근이므로 \(\lim_{r \to r_1+} f(r) = 4\), \(r = 2\)에서 \(y = 0, 3\)이므로 \(f(2) = 1 + 2 = 3\), \(r \gt 2\)에서 양근 \(1\)개·음근 \(1\)개이므로 \(\lim_{r \to 2+} f(r) = 2\)이다. 합은 \(2 + 4 + 3 + 2 = 11\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(y^2 - 3y + 4 - r^2 = 0\) 유도 +3점 / 판별식 \(D=0 \implies r_1 = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(r_2 = 2\) 도출 +3점 / 불연속점 \(\dfrac{\sqrt{7}}{2}, 2\) 확정 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 각 구간 교점 개수 \(2, 4, 3, 2\) 판정 +4점 / 합 \(11\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(y \gt 0\)인 근 \(1\)개는 \(x = \pm\sqrt{y}\)로 교점 \(2\)개를 만들고, \(y = 0\)인 근은 원점 \((0, 0)\) \(1\)개만 만든다는 대응 관계를 정확히 구분해야 합니다.

[대문항 5] (20점) 역함수의 정적분과 기하적 직사각형 넓이 분할

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 12025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 증가하는 연속함수 \(y = f(x)\)의 역함수를 \(y = g(x)\)라 할 때, \(f(a) = c,\; f(b) = d\)이면 정적분의 기하적 의미(넓이 분할)에 의하여 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{c}^{d} g(x)\,dx = bd - ac\)가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 증가하는 삼차함수 \(f(x) = x^3 + 2x + 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(f(0)\)과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하고, 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 역함수의 정적분 \(\int_{1}^{13} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\), 그리고 두 직선 \(x = 0,\; x = 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(f(0) = 1,\; f(2) = 13,\; \int_0^2 f(x)\,dx = 10\) | [5-2] \(16\) | [5-3] \(8\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(0) = 1,\; f(2) = 8 + 4 + 1 = 13\)이고 \(\int_{0}^{2} (x^3 + 2x + 1)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + x^2 + x\right]_{0}^{2} = 4 + 4 + 2 = 10\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 제시문 (가)의 공식에 \(a = 0, b = 2, c = 1, d = 13\)을 대입하면 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{1}^{13} g(x)\,dx = 2 \times 13 - 0 \times 1 = 26\)이므로 \(\int_{1}^{13} g(x)\,dx = 26 - 10 = 16\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x \ge 0\)에서 \(f(x) - x = x^3 + x + 1 \gt 0\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\int_{0}^{2} (f(x) - x)\,dx = 10 - \int_{0}^{2} x\,dx = 10 - 2 = 8\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(f(0)=1, f(2)=13\) 산출 +2점 / \(\int_0^2 f(x)\,dx = 10\) 도출 +4점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 직사각형 넓이 \(2 \times 13 = 26\) 적용 +4점 / \(26 - 10 = 16\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(\int_0^2 (f(x) - x)\,dx\) 식 수립 +4점 / 넓이 \(8\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수의 역함수 \(g(x)\)는 대수적인 식으로 직접 구할 수 없으므로 반드시 직사각형 넓이 관계식 \(\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(x)\,dx = bf(b) - af(a)\)를 사용해야 합니다.