2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 2회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 상용로그의 소수부분이 같을 조건과 등비수열의 로그

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 12021 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 두 양수 \(A, B\)에 대하여 \(\log_{10} A\)의 소수부분과 \(\log_{10} B\)의 소수부분이 서로 같기 위한 필요충분조건은 차 \(\log_{10} A - \log_{10} B = \log_{10}\dfrac{A}{B}\)가 정수가 되는 것이다.

\(10 \le x \lt 100\)인 실수 \(x\)에 대하여 \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10} x^4\)의 소수부분이 서로 같을 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\log_{10} x\)의 값의 범위를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 \(3\log_{10} x\)가 가질 수 있는 모든 정수의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 조건을 만족시키는 모든 실수 \(x\)의 값을 \(10\)의 유리수 거듭제곱으로 나타내고, 모든 \(x\)의 값들의 곱 \(P\)를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 구한 \(x\) 중 \(x \ne 10\)인 두 수를 작은 것부터 \(x_1, x_2\)라 할 때, \(\log_{x_1} x_2\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 지수·로그 복합 부등식과 양변 로그 취하기

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 12022 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 밑과 지수에 모두 미지수 \(x\;(x \gt 0)\)가 포함된 방정식이나 부등식 \(x^{\log_a x} \le a^p x^q\)는 양변에 밑이 \(a\;(a \gt 1)\)인 로그를 취하여 \(t = \log_a x\)에 대한 이차식 \(t^2 - qt - p \le 0\)으로 바꾸어 해결한다.

양수 \(x\)에 대한 부등식 \(x^{\log_2 x} \le 16x^3\)과 함수 \(f(x) = \dfrac{x^{\log_2 x}}{x^4}\;(x \gt 0)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 부등식 \(x^{\log_2 x} \le 16x^3\)의 양변에 밑이 \(2\)인 로그를 취하고, \(t = \log_2 x\)에 대한 이차부등식으로 정리하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 부등식의 해를 구하고, 해집합에 속하는 모든 자연수 \(x\)의 개수를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 함수 \(f(x) = \dfrac{x^{\log_2 x}}{x^4}\;(x \gt 0)\)가 최솟값을 가질 때의 \(x\)의 값과 최솟값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 가게 간판 시야각(코사인법칙·넓이 분할)과 각의 이등분선 길이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 12023 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{BAC}\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 하면, \(\triangle \mathrm{ABC} = \triangle \mathrm{ABD} + \triangle \mathrm{ACD}\)이므로 \(\dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}(b + c)\overline{\mathrm{AD}}\sin\dfrac{A}{2}\)가 성립한다.

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 6,\; \overline{\mathrm{AC}} = 3,\; \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, \(\angle \mathrm{BAC}\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\)라 하자. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이와 제시문 (가)를 이용하여 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 구하고, 선분 \(\mathrm{BD}\)와 \(\mathrm{CD}\)의 길이를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(R_1\), 삼각형 \(\mathrm{ACD}\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(R_2\)라 할 때, \(\dfrac{R_1}{R_2}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 원·곡선 교점 개수 함수의 불연속점과 좌·우극한

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 12024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 매개변수 \(r \gt 0\)에 따라 원 \(x^2 + (y - a)^2 = r^2\)과 직선 또는 이차곡선의 교점의 개수를 \(N(r)\)이라 하면, 함수 \(N(r)\)은 원이 도형에 접하거나 꼭짓점을 지나는 경계 반지름 \(r\)에서 불연속이 된다.

중심이 \(\mathrm{C}(0, 2)\)이고 반지름의 길이가 \(r\;(r \gt 0)\)인 원 \(x^2 + (y - 2)^2 = r^2\)과 포물선 \(y = x^2\)의 서로 다른 교점의 개수를 \(f(r)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 식에서 \(x^2\)을 소거하여 \(y\;(y \ge 0)\)에 대한 이차방정식을 세우고, 이 방정식이 \(y \gt 0\)에서 중근을 가질 때의 반지름 \(r_1\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 원이 포물선의 꼭짓점 \((0, 0)\)을 지날 때의 반지름 \(r_2\)를 구하고, 함수 \(f(r)\)이 불연속인 모든 \(r\)의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(f(r_1) + \lim_{r \to r_1+} f(r) + f(r_2) + \lim_{r \to r_2+} f(r)\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 역함수의 정적분과 기하적 직사각형 넓이 분할

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 12025 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 증가하는 연속함수 \(y = f(x)\)의 역함수를 \(y = g(x)\)라 할 때, \(f(a) = c,\; f(b) = d\)이면 정적분의 기하적 의미(넓이 분할)에 의하여 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{c}^{d} g(x)\,dx = bd - ac\)가 성립한다.

실수 전체의 집합에서 증가하는 삼차함수 \(f(x) = x^3 + 2x + 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(f(0)\)과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하고, 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 역함수의 정적분 \(\int_{1}^{13} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x\), 그리고 두 직선 \(x = 0,\; x = 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.