2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 1회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그의 정의 조건(밑과 진수 조건)과 정수 순서쌍의 개수

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 12011 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

<제시문 (가)> 로그 \(\log_{a} N\)이 정의되기 위한 필요충분조건은 밑 조건 \(a \gt 0,\; a \ne 1\)과 진수 조건 \(N \gt 0\)을 동시에 만족시키는 것이다.

실수 \(x\)에 대하여 로그 \(\log_{|x - 2|}(-x^2 + 7x - 6)\)이 정의되도록 하는 모든 정수 \(x\)와 그때의 로그값을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 밑 조건으로부터 \(x\)의 값의 범위를 구하고, 진수 조건으로부터 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 주어진 로그가 정의되도록 하는 모든 정수 \(x\)의 값을 구하고, 각 정수 \(x\)에서 주어진 로그의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 별도로 두 정수 \(m, n\)에 대하여 \(\log_{m - 1}(-n^2 + 6n - 5)\)가 정의되도록 하는 순서쌍 \((m, n)\) 중 \(m \le 6\)을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] 밑: \(x \ne 1, 2, 3\), 진수: \(1 \lt x \lt 6\) | [1-2] \(x = 4, 5\), 로그값 각각 \(\log_2 6,\; \log_3 4\) | [1-3] \(12\)개

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 밑 조건 \(|x - 2| \gt 0,\; |x - 2| \ne 1\)과 진수 조건 \(-x^2 + 7x - 6 \gt 0\)을 각각 푼다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 밑 조건에서 \(x \ne 2\) 및 \(x - 2 \ne \pm 1 \implies x \ne 1, 2, 3\)이다. 진수 조건 \((x - 1)(x - 6) \lt 0\)에서 \(1 \lt x \lt 6\)이므로 두 조건을 모두 만족시키는 정수는 \(x = 4, 5\)이다. \(x = 4\)일 때 \(\log_2 6\), \(x = 5\)일 때 \(\log_3 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(m - 1 \gt 0,\; m - 1 \ne 1,\; m \le 6\)을 만족시키는 정수 \(m\)은 \(m \in \{3, 4, 5, 6\}\) (\(4\)개)이고, \(-n^2 + 6n - 5 = -(n - 1)(n - 5) \gt 0\)을 만족시키는 정수 \(n\)은 \(n \in \{2, 3, 4\}\) (\(3\)개)이므로 순서쌍의 개수는 \(4 \times 3 = 12\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 밑 조건 \(x \ne 1, 2, 3\) 도출 +3점 / 진수 조건 \(1 \lt x \lt 6\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 정수 \(x = 4, 5\) 확정 +3점 / \(\log_2 6,\; \log_3 4\) 계산 +4점
소문항 [1-3] (배점 7)	• \(m\) \(4\)개 및 \(n\) \(3\)개 도출 +4점 / 곱 \(12\)개 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 밑에 절댓값 \(|x - 2|\)가 포함된 경우 \(|x - 2| \ne 1\)에서 \(x = 3\)뿐만 아니라 \(x = 1\)도 제외되며, \(|x - 2| \gt 0\)에서 \(x = 2\)도 제외됩니다.

[대문항 2] (20점) 로그부등식과 이차방정식의 실근 조건 결합

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12012 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 2(\log_2 k)x + \log_2 k + 6 = 0\)이 실근을 갖기 위한 필요충분조건은 \(k \gt 0\)이고 판별식 \(\dfrac{D}{4} = (\log_2 k)^2 - \log_2 k - 6 \ge 0\)인 것이다.

양수 \(k\)에 대하여 \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 2(\log_2 k)x + \log_2 k + 6 = 0\)의 근의 성질을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 주어진 이차방정식이 허근을 갖도록 하는 양수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 이차방정식이 중근을 갖도록 하는 모든 양수 \(k\)의 값들의 곱과 합을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 주어진 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 양수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\dfrac{1}{4} \lt k \lt 8\) | [2-2] 곱 \(2\), 합 \(\dfrac{33}{4}\) | [2-3] \(k \ge 8\)이 아닌 서로 다른 두 양근 \(k \gt 8\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(t = \log_2 k\)로 치환하면 \(\dfrac{D}{4} = t^2 - t - 6 = (t + 2)(t - 3)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 허근을 가질 조건은 \(\dfrac{D}{4} \lt 0 \iff -2 \lt t \lt 3 \iff \dfrac{1}{4} \lt k \lt 8\)이다. 중근을 가질 조건은 \(t = -2, 3\)이므로 \(k = \dfrac{1}{4}, 8\)이고, 두 값의 곱은 \(2\), 합은 \(\dfrac{33}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 \(\dfrac{D}{4} \gt 0\) (\(t \lt -2\) 또는 \(t \gt 3\)), 두 근의 합 \(2t \gt 0\) (\(t \gt 0\)), 두 근의 곱 \(t + 6 \gt 0\) (\(t \gt -6\))을 동시에 만족해야 하므로 \(t \gt 3\), 즉 \(k \gt 8\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• 판별식 \((t+2)(t-3) \lt 0\) 유도 +3점 / \(\dfrac{1}{4} \lt k \lt 8\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(k = \dfrac{1}{4}, 8\) 도출 +3점 / 곱 \(2\), 합 \(\dfrac{33}{4}\) 산출 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 판별식·합·곱 3대 조건 연립 +4점 / \(k \gt 8\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: '서로 다른' 두 양의 실근을 물었으므로 판별식에서 등호(\(t = 3,\; k = 8\))를 반드시 제외하여 \(k \gt 8\)로 답해야 합니다.

[대문항 3] (20점) 사인·코사인 대칭식과 삼차 곱셈 공식 결합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 12013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)에 의하여 \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\)이므로, \(\sin\theta + \cos\theta\)의 값이 주어지면 곱 \(\sin\theta\cos\theta\)가 결정된다.

\(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\)인 각 \(\theta\)가 \(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \(\sin\theta - \cos\theta\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\)의 값과 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\sin^4\theta + \cos^4\theta\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8},\; \sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\) | [3-2] \(\dfrac{11}{16},\; -\dfrac{8}{3}\) | [3-3] \(\dfrac{23}{32}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 양변을 제곱하면 \(1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)이고, 제\(2\)사분면에서 \(\sin\theta \gt 0,\; \cos\theta \lt 0\)이므로 \(\sin\theta - \cos\theta \gt 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\)이고, \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\left(-\dfrac{3}{8}\right) = \dfrac{7}{4}\)에서 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)이다. 또한 \(\sin^3\theta + \cos^3\theta = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 3\left(-\dfrac{3}{8}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{11}{16}\)이고, \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} = -\dfrac{8}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\sin^4\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2\left(\dfrac{9}{64}\right) = \dfrac{23}{32}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\) 도출 +3점 / 부호 판정 후 \(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\) 산출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(\sin^3\theta + \cos^3\theta = \dfrac{11}{16}\) 계산 +4점 / \(-\dfrac{8}{3}\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(1 - 2(\sin\theta\cos\theta)^2\) 변형 +4점 / \(\dfrac{23}{32}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} + \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}\)로 변형하면 계산이 한 줄로 끝납니다.

[대문항 4] (20점) 무리함수의 극한과 미정계수 결정 및 유리화

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 12014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(\lim_{x \to c} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - c} = L\)이 존재할 때, \(x \to c\)에서 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하여 \(b = \sqrt{c + a}\)가 성립한다.

두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(b\)를 \(\sqrt{a + 3}\)으로 나타내고, 분자를 유리화하여 극한값을 \(b\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx})\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(b = \sqrt{a + 3}\), 극한값 \(\dfrac{1}{2b}\) | [4-2] \(a = 1,\; b = 2\) | [4-3] \(\dfrac{3}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x \to 3\)일 때 분모가 \(0\)이므로 \(\sqrt{3 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{a + 3} \gt 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 유리화하면 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + a} + b)} = \dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(b = 2\)이고, \(\sqrt{a + 3} = 2\)에서 \(a = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(a = 1, b = 2\)를 대입하여 유리화하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2 + x) - (x^2 - 2x)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - 2x}} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - 2x}} = \dfrac{3}{2}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• \(b = \sqrt{a+3}\) 관계 도출 +3점 / 유리화 극한 \(\dfrac{1}{2b}\) 유도 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(b = 2\) 산출 +3점 / \(a = 1\) 도출 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 분자 \(3x\) 유리화 정리 +4점 / 극한값 \(\dfrac{3}{2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x+a} - \sqrt{3+a}}{x - 3}\)은 무리함수 \(g(x) = \sqrt{x + a}\)의 \(x = 3\)에서의 미분계수 \(g'(3) = \dfrac{1}{2\sqrt{3 + a}}\)와 같습니다.

[대문항 5] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 극값과 최댓값·최솟값

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 12015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(g(t)\)에 대하여 함수 \(F(x) = \int_{x}^{x+1} g(t)\,dt\)를 \(x\)에 대하여 미분하면 \(F'(x) = g(x + 1) - g(x)\)이다.

이차함수 \(g(t) = 3t^2 - 6t\)에 대하여 함수 \(F(x) = \int_{x}^{x+1} g(t)\,dt\)가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 \(F'(x)\)를 \(x\)에 대한 일차식으로 구하고, \(F'(x) = 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 정적분을 직접 계산하여 \(F(x)\)를 \(x\)에 대한 이차식으로 나타내고, 함수 \(F(x)\)의 최솟값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(F(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(F'(x) = 6x - 3,\; x = \dfrac{1}{2}\) | [5-2] \(F(x) = 3x^2 - 3x - 2\), 최솟값 \(-\dfrac{11}{4}\) | [5-3] \(\dfrac{53}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(F'(x) = g(x + 1) - g(x) = 3(x + 1)^2 - 6(x + 1) - (3x^2 - 6x)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 정리하면 \(F'(x) = 6x - 3 = 0\)에서 \(x = \dfrac{1}{2}\)이다. 직접 적분하면 \(F(x) = \left[t^3 - 3t^2\right]_{x}^{x+1} = (x + 1)^3 - 3(x + 1)^2 - (x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 3x - 2\)이고, 최솟값은 \(F\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{11}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 \([-1, 3]\)에서 축 \(x = \dfrac{1}{2}\)로부터 가장 먼 \(x = 3\)에서 최댓값 \(F(3) = 27 - 9 - 2 = 16\)을 가지므로, 최댓값과 최솟값의 합은 \(16 - \dfrac{11}{4} = \dfrac{53}{4}\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(F'(x) = g(x+1) - g(x) = 6x - 3\) 유도 +4점 / \(x = \dfrac{1}{2}\) 산출 +2점
소문항 [5-2] (배점 7)	• \(F(x) = 3x^2 - 3x - 2\) 적분 정리 +4점 / 최솟값 \(-\dfrac{11}{4}\) 도출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• 최댓값 \(F(3) = 16\) 산출 +4점 / 합 \(\dfrac{53}{4}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수 \(g(t)\)의 대칭축이 \(t = 1\)이므로 구간 \([x, x+1]\)의 중점 \(x + \dfrac{1}{2}\)이 \(1\)과 일치하는 \(x = \dfrac{1}{2}\)에서 정적분이 최소가 됩니다.