2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 1회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 로그의 정의 조건(밑과 진수 조건)과 정수 순서쌍의 개수

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 12011 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

<제시문 (가)> 로그 \(\log_{a} N\)이 정의되기 위한 필요충분조건은 밑 조건 \(a \gt 0,\; a \ne 1\)과 진수 조건 \(N \gt 0\)을 동시에 만족시키는 것이다.

실수 \(x\)에 대하여 로그 \(\log_{|x - 2|}(-x^2 + 7x - 6)\)이 정의되도록 하는 모든 정수 \(x\)와 그때의 로그값을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 밑 조건으로부터 \(x\)의 값의 범위를 구하고, 진수 조건으로부터 \(x\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 주어진 로그가 정의되도록 하는 모든 정수 \(x\)의 값을 구하고, 각 정수 \(x\)에서 주어진 로그의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 별도로 두 정수 \(m, n\)에 대하여 \(\log_{m - 1}(-n^2 + 6n - 5)\)가 정의되도록 하는 순서쌍 \((m, n)\) 중 \(m \le 6\)을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 로그부등식과 이차방정식의 실근 조건 결합

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 12012 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]

<제시문 (가)> \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 2(\log_2 k)x + \log_2 k + 6 = 0\)이 실근을 갖기 위한 필요충분조건은 \(k \gt 0\)이고 판별식 \(\dfrac{D}{4} = (\log_2 k)^2 - \log_2 k - 6 \ge 0\)인 것이다.

양수 \(k\)에 대하여 \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 2(\log_2 k)x + \log_2 k + 6 = 0\)의 근의 성질을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 주어진 이차방정식이 허근을 갖도록 하는 양수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 이차방정식이 중근을 갖도록 하는 모든 양수 \(k\)의 값들의 곱과 합을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 주어진 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 양수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 사인·코사인 대칭식과 삼차 곱셈 공식 결합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 12013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)에 의하여 \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\)이므로, \(\sin\theta + \cos\theta\)의 값이 주어지면 곱 \(\sin\theta\cos\theta\)가 결정된다.

\(\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\)인 각 \(\theta\)가 \(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\sin\theta\cos\theta\)의 값과 \(\sin\theta - \cos\theta\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) \(\sin^3\theta + \cos^3\theta\)의 값과 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\sin^4\theta + \cos^4\theta\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 무리함수의 극한과 미정계수 결정 및 유리화

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 12014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(\lim_{x \to c} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - c} = L\)이 존재할 때, \(x \to c\)에서 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(0\)으로 수렴하여 \(b = \sqrt{c + a}\)가 성립한다.

두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + a} - b}{x - 3} = \dfrac{1}{4}\)이 성립할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(b\)를 \(\sqrt{a + 3}\)으로 나타내고, 분자를 유리화하여 극한값을 \(b\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx})\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 정적분으로 정의된 함수의 극값과 최댓값·최솟값

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 12015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(g(t)\)에 대하여 함수 \(F(x) = \int_{x}^{x+1} g(t)\,dt\)를 \(x\)에 대하여 미분하면 \(F'(x) = g(x + 1) - g(x)\)이다.

이차함수 \(g(t) = 3t^2 - 6t\)에 대하여 함수 \(F(x) = \int_{x}^{x+1} g(t)\,dt\)가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 \(F'(x)\)를 \(x\)에 대한 일차식으로 구하고, \(F'(x) = 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 정적분을 직접 계산하여 \(F(x)\)를 \(x\)에 대한 이차식으로 나타내고, 함수 \(F(x)\)의 최솟값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(F(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.