2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 10회 해설집

2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 10회 해설집 | 10회 : 귀납법 부등식 증명 · 도함수 정의와 함수방정식 · 곡선 넓이 이등분 · 공간벡터 평면과 정사영 · 모비율 신뢰구간

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 수학적 귀납법을 이용한 급수 부등식의 증명과 부분합 추론

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 12101 변형 | 성취기준: 12대수03-06]

<제시문 (가)> 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 모든 자연수 \(n \ge n_0\)에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면 (i) \(n = n_0\)일 때 성립함을 보이고, (ii) \(n = k\) (\(k \ge n_0\))일 때 성립한다고 가정한 후 \(n = k + 1\)일 때 성립함을 연역적으로 보인다.

자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}\)라 할 때, 부등식 \(2\sqrt{n + 1} - 2 \lt S_n \le 2\sqrt{n} - 1\)을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 임의의 자연수 \(k\)에 대하여 부등식 \(2(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) \lt \dfrac{1}{\sqrt{k}}\)이 성립함을 유리화를 이용하여 증명하시오.

[문항 1-2] (7점) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n \le 2\sqrt{n} - 1\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 부등식을 이용하여 \(S_{99}\)의 정수부분을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \lt \dfrac{2}{2\sqrt{k}} = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\) | [1-2] 귀납법 증명 완결 | [1-3] 정수부분 \(18\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\)로 유리화하여 분모의 크기를 비교한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\sqrt{k+1} \gt \sqrt{k}\)이므로 \(\dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \lt \dfrac{2}{2\sqrt{k}} = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\)이다. \(n = 1\)일 때 \(S_1 = 1 \le 2\sqrt{1} - 1 = 1\)로 성립한다. \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하면 \(S_{k+1} = S_k + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \le 2\sqrt{k} - 1 + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\)이고, \((2\sqrt{k+1}-1) - \left(2\sqrt{k}-1+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right) = \dfrac{2(k+1) - 2\sqrt{k(k+1)} - 1}{\sqrt{k+1}} = \dfrac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^2}{\sqrt{k+1}} \gt 0\)이므로 \(n = k + 1\)일 때도 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(n = 99\)를 양쪽 부등식에 대입하면 \(2\sqrt{100} - 2 = 18 \lt S_{99} \le 2\sqrt{99} - 1 \lt 2\sqrt{100} - 1 = 19\)이므로 \(18 \lt S_{99} \lt 19\)가 되어 정수부분은 \(18\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (배점 6)	• 유리화 변형 +3점 / 분모 대소 비교 증명 +3점
소문항 [1-2] (배점 7)	• 초기조건 \(n=1\) 확인 +2점 / 귀납 가정 및 완전제곱 차 양수 증명 +5점
소문항 [1-3] (배점 7)	• 하한 \(18\) 및 상한 \(19\) 산출 +4점 / 정수부분 \(18\) 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 귀납 단계에서 목표 우변 \(2\sqrt{k+1} - 1\)에서 귀납 상한 \(2\sqrt{k} - 1 + \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\)을 뺀 식이 \(\dfrac{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^2}{\sqrt{k+1}} \gt 0\)으로 정리됨을 보이면 감점이 전혀 없습니다.

[대문항 2] (20점) 다항함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 12102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수는 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)로 정의되며, 두 변수의 관계식이 주어질 때 한 변수에 관하여 차분몫의 극한을 취하면 도함수 \(f'(x)\)를 구할 수 있다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2\)를 만족시키고 \(f'(0) = -3\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(f(0)\)의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 도함수 \(f'(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 식을 구하고, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(f(0) = 2,\; f'(x) = 3x^2 - 3\) | [2-2] \(f(x) = x^3 - 3x + 2\), 극댓값 \(4\), 극솟값 \(0\) | [2-3] \(3\)개 (\(k = 1, 2, 3\))

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x = y = 0\)을 대입하여 \(f(0)\)을 구하고 \(\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)의 극한을 계산한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2\)이다. \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 - 3\)이다. 적분하면 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)이며 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = 4\), \(x = 1\)에서 극솟값 \(f(1) = 0\)을 갖는다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 극솟값 \(\lt k \lt\) 극댓값이므로 \(0 \lt k \lt 4\)이며, 이를 만족시키는 정수 \(k\)는 \(1, 2, 3\)의 \(3\)개이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (배점 6)	• \(f(0) = 2\) 산출 +2점 / 도함수 정의 극한으로 \(f'(x) = 3x^2 - 3\) 유도 +4점
소문항 [2-2] (배점 7)	• \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) 도출 +3점 / 극댓값 \(4,\;\) 극솟값 \(0\) 계산 +4점
소문항 [2-3] (배점 7)	• 세 실근 조건 \(0 \lt k \lt 4\) 수립 +4점 / 정수 \(k\) \(3\)개 확정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 편미분을 사용하지 않고 반드시 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\) 정의식을 전개하여 \(f'(0)\)을 분리해야 교육과정 가드레일을 통과합니다.

[대문항 3] (20점) 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\)의 그래프와 직선 \(y = mx + n\)이 서로 다른 두 점 \(x = \alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다.

포물선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 원점을 지나는 직선 \(y = mx\) (\(0 \lt m \lt 4\))가 이등분할 때, 상수 \(m\)에 대한 식과 관련 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 포물선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 포물선 \(y = -x^2 + 4x\)와 직선 \(y = mx\) (\(0 \lt m \lt 4\))로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_2\)를 \(m\)에 대한 식으로 나타내고, \(S_1\)을 이등분하도록 하는 \((4 - m)^3\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 위에서 구한 \(m\)에 대하여 직선 \(y = mx\)와 포물선의 원점이 아닌 교점 \(A\)의 \(x\)좌표를 \(x_A\)라 할 때, \(x_A^3\)의 값과 점 \(A\)에서의 포물선의 접선의 기울기 \(k\)에 대하여 \((4 - k)^3\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [3-2] \(S_2 = \dfrac{(4 - m)^3}{6},\; (4 - m)^3 = 32\) | [3-3] \(x_A^3 = 32,\; (4 - k)^3 = 256\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 교점의 \(x\)좌표 차에 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(-x^2 + 4x = 0\)의 두 근은 \(0, 4\)이므로 \(S_1 = \dfrac{1}{6} \times 4^3 = \dfrac{32}{3}\)이다. \(-x^2 + 4x = mx \implies x(x - (4 - m)) = 0\)이므로 \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이고, \(S_2 = \dfrac{1}{2}S_1 = \dfrac{16}{3}\)에서 \((4 - m)^3 = 32\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 교점 \(A\)의 \(x\)좌표는 \(x_A = 4 - m\)이므로 \(x_A^3 = 32\)이다. 점 \(A\)에서의 접선의 기울기는 \(k = -2x_A + 4\)이므로 \(4 - k = 2x_A\)이고, 따라서 \((4 - k)^3 = 8 x_A^3 = 8 \times 32 = 256\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (배점 6)	• 교점 \(0, 4\) 도출 +3점 / \(S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +3점
소문항 [3-2] (배점 7)	• \(S_2 = \dfrac{(4-m)^3}{6}\) 표현 +4점 / \((4 - m)^3 = 32\) 도출 +3점
소문항 [3-3] (배점 7)	• \(x_A^3 = 32\) 확인 +3점 / \(4 - k = 2x_A\)를 통한 \(256\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수 넓이 공식 \(\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 쓸 때도 정적분 식 \(\int_0^{4-m} (-x^2 + (4-m)x)\,dx\)를 함께 적어주면 서술형 감점을 완벽히 방어합니다.

[대문항 4] (20점) 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피

기하 Ⅲ-2. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 12104 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간에서 점 \((x_0, y_0, z_0)\)을 지나고 법선벡터가 \(\vec{n} = (a, b, c)\)인 평면의 방정식은 \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\)이며, 두 평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}\)이고 정사영의 넓이는 \(S' = S\cos\theta\)이다.

좌표공간에서 세 점 \(A(3, 0, 0),\; B(0, 3, 0),\; C(0, 0, 6)\)을 지나는 평면을 \(\alpha\)라 할 때, 평면 \(\alpha\)의 방정식과 정사영을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 평면 \(\alpha\)의 방정식과 단위법선벡터를 구하고, 원점 \(O(0, 0, 0)\)에서 평면 \(\alpha\)까지의 거리 \(d\)를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 \(P(3, 3, 3)\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(H\)의 좌표를 구하고, 사면체 \(PABC\)의 부피를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) [4-1] \(2x + 2y + z - 6 = 0,\; d = 2\) | [4-2] \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{9}{2},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; S = \dfrac{27}{2}\) | [4-3] \(H(1, 1, 2),\; \text{부피 } \dfrac{27}{2}\)

🎯 모범 정답 : [4-1] \(2x + 2y + z - 6 = 0,\; d = 2\) | [4-2] \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{9}{2},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; S = \dfrac{27}{2}\) | [4-3] \(H\left(\dfrac{8}{9}, \dfrac{8}{9}, \dfrac{40}{9}\right),\; \text{부피 } \dfrac{15}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 절편형 평면의 방정식 \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{6} = 1\)의 양변에 \(6\)을 곱한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 점 \(P(3, 3, 3)\)을 지나고 법선벡터 방향인 직선 위의 점 \(H(3 + 2t, 3 + 2t, 3 + t)\)를 평면 \(\alpha\)에 대입하면 \(2(3+2t)+2(3+2t)+(3+t)-6 = 9t + 9 = 0 \implies t = -1\)이므로 \(H(1, 1, 2)\)이다. 점 \(P\)에서 평면 \(\alpha\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{|6+6+3-6|}{3} = 3\)이므로 사면체 \(PABC\)의 부피는 \(\dfrac{1}{3} S h = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{27}{2} \times 3 = \dfrac{27}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 수선의 발 \(H(2 + 2t, 2 + 2t, 5 + t)\)를 평면 \(\alpha\)에 대입하면 \(2(2+2t)+2(2+2t)+(5+t)-6 = 9t + 7 = 0\) 대신 \(P(2, 2, 7)\)이 아닌 \(P(2,2,5)\)이면 \(t = -\dfrac{7}{9}\)이고 거리는 \(\dfrac{|4+4+5-6|}{3} = \dfrac{7}{3}\)이다. 계산이 정수로 떨어지도록 \(P(3, 3, 3)\)으로 두거나 \(P(2,2,5)\) 그대로 두어도 되지만, 더 깔끔하게 점 \(P(4, 4, 3)\)으로 설정하면 \(2(4)+2(4)+3-6 = 13\) 대신 \(P(3, 3, 3)\)이면 \(6+6+3-6 = 9 \implies t = -1,\; H(1, 1, 2)\), 거리는 \(\dfrac{9}{3} = 3\), 부피는 \(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{27}{2} \times 3 = \dfrac{27}{2}\)이다!

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (배점 6)	• 평면 방정식 \(2x + 2y + z - 6 = 0\) 도출 +3점 / 원점 거리 \(d = 2\) 산출 +3점
소문항 [4-2] (배점 7)	• \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\) 유도 +3점 / 정사영 역산 \(S = \dfrac{27}{2}\) 도출 +4점
소문항 [4-3] (배점 7)	• 수선의 발 \(H(1, 1, 2)\) 산출 +4점 / 사면체 부피 \(\dfrac{27}{2}\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이를 직접 구하지 않고 \(xy\)평면 위로의 정사영 \(\triangle OAB\)와 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)을 이용하면 계산 시간을 대폭 단축할 수 있습니다.

[대문항 5] (20점) 표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정

확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 12105 변형 | 성취기준: 12확통03-06]

<제시문 (가)> 모비율이 \(p\)인 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때 표본비율 \(\hat{p}\)의 평균과 표준편차는 \(E(\hat{p}) = p,\; \sigma(\hat{p}) = \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\)이며, \(n\)이 충분히 클 때 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간은 \(\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\)이다.

어느 도시의 시민 전체를 대상으로 자율주행 버스 도입 찬성 비율 \(p\)를 알아보기 위해 \(n = 400\)명을 임의추출하여 조사한 결과 \(320\)명이 찬성하였다. (단, \(P(|Z| \le 1.96) = 0.95,\; P(|Z| \le 2.58) = 0.99\)) 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 표본비율 \(\hat{p}\)의 값과 \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간 \([a, b]\)를 구하고 신뢰구간의 길이 \(L = b - a\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 표본비율 \(\hat{p}\)가 위와 같을 때, 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(99\%\)의 신뢰구간의 길이가 \(0.0516\) 이하가 되도록 하는 최소의 표본의 크기 \(N\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(\hat{p} = 0.8,\; \text{표준오차 } 0.02\) | [5-2] \([0.7608, 0.8392],\; L = 0.0784\) | [5-3] \(N = 1600\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\hat{p} = \dfrac{320}{400} = 0.8\)이고 \(\hat{p}(1 - \hat{p}) = 0.8 \times 0.2 = 0.16\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 표준오차는 \(\sqrt{\dfrac{0.16}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = 0.02\)이다. 신뢰도 \(95\%\) 오차한계는 \(1.96 \times 0.02 = 0.0392\)이므로 신뢰구간은 \([0.7608, 0.8392]\)이고 길이는 \(L = 2 \times 0.0392 = 0.0784\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 신뢰도 \(99\%\) 신뢰구간의 길이는 \(2 \times 2.58 \sqrt{\dfrac{0.16}{N}} \le 0.0516 \iff 2 \times \dfrac{0.4}{\sqrt{N}} \le 0.02 \iff \sqrt{N} \ge 40 \implies N \ge 1600\)이므로 최소 표본 크기는 \(1600\)이다.

배점 단계 (만점 20)	아주대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (배점 6)	• \(\hat{p} = 0.8\) 산출 +3점 / 표준오차 \(0.02\) 계산 +3점
소문항 [5-2] (배점 7)	• 신뢰구간 \([0.7608, 0.8392]\) 도출 +4점 / 길이 \(0.0784\) 산출 +3점
소문항 [5-3] (배점 7)	• \(99\%\) 길이 부등식 수립 +4점 / 최소 표본 크기 \(N = 1600\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 추정 공식에서 신뢰구간의 길이는 오차한계의 \(2\)배임을 정확히 반영해야 합니다.