2027학년도 대비 아주대학교 수리논술 모의고사 10회 문제집

2027학년도 대비 아주대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (문제집) 대문항 5세트 (120분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 일반 자연계 수능최저 없음)

[대문항 1] (20점) 수학적 귀납법을 이용한 급수 부등식의 증명과 부분합 추론

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 12101 변형 | 성취기준: 12대수03-06]

<제시문 (가)> 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 모든 자연수 \(n \ge n_0\)에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면 (i) \(n = n_0\)일 때 성립함을 보이고, (ii) \(n = k\) (\(k \ge n_0\))일 때 성립한다고 가정한 후 \(n = k + 1\)일 때 성립함을 연역적으로 보인다.

자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}\)라 할 때, 부등식 \(2\sqrt{n + 1} - 2 \lt S_n \le 2\sqrt{n} - 1\)을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 임의의 자연수 \(k\)에 대하여 부등식 \(2(\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}) \lt \dfrac{1}{\sqrt{k}}\)이 성립함을 유리화를 이용하여 증명하시오.

[문항 1-2] (7점) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_n \le 2\sqrt{n} - 1\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 위 부등식을 이용하여 \(S_{99}\)의 정수부분을 구하시오.

[아주대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 2] (20점) 다항함수의 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 극값 추론

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 12102 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수는 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)로 정의되며, 두 변수의 관계식이 주어질 때 한 변수에 관하여 차분몫의 극한을 취하면 도함수 \(f'(x)\)를 구할 수 있다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2\)를 만족시키고 \(f'(0) = -3\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(f(0)\)의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 도함수 \(f'(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 식을 구하고, 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 \(k\)의 개수를 구하시오.

[아주대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 3] (20점) 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 이등분

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 12103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\)의 그래프와 직선 \(y = mx + n\)이 서로 다른 두 점 \(x = \alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다.

포물선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 원점을 지나는 직선 \(y = mx\) (\(0 \lt m \lt 4\))가 이등분할 때, 상수 \(m\)에 대한 식과 관련 넓이를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 포물선 \(y = -x^2 + 4x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1\)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 포물선 \(y = -x^2 + 4x\)와 직선 \(y = mx\) (\(0 \lt m \lt 4\))로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_2\)를 \(m\)에 대한 식으로 나타내고, \(S_1\)을 이등분하도록 하는 \((4 - m)^3\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 위에서 구한 \(m\)에 대하여 직선 \(y = mx\)와 포물선의 원점이 아닌 교점 \(A\)의 \(x\)좌표를 \(x_A\)라 할 때, \(x_A^3\)의 값과 점 \(A\)에서의 포물선의 접선의 기울기 \(k\)에 대하여 \((4 - k)^3\)의 값을 각각 구하시오.

[아주대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 4] (20점) 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피

기하 Ⅲ-2. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 12104 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간에서 점 \((x_0, y_0, z_0)\)을 지나고 법선벡터가 \(\vec{n} = (a, b, c)\)인 평면의 방정식은 \(a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\)이며, 두 평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}\)이고 정사영의 넓이는 \(S' = S\cos\theta\)이다.

좌표공간에서 세 점 \(A(3, 0, 0),\; B(0, 3, 0),\; C(0, 0, 6)\)을 지나는 평면을 \(\alpha\)라 할 때, 평면 \(\alpha\)의 방정식과 정사영을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 평면 \(\alpha\)의 방정식과 단위법선벡터를 구하고, 원점 \(O(0, 0, 0)\)에서 평면 \(\alpha\)까지의 거리 \(d\)를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 \(P(3, 3, 3)\)에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(H\)의 좌표를 구하고, 사면체 \(PABC\)의 부피를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) [4-1] \(2x + 2y + z - 6 = 0,\; d = 2\) | [4-2] \(\operatorname{Area}(\triangle OAB) = \dfrac{9}{2},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; S = \dfrac{27}{2}\) | [4-3] \(H(1, 1, 2),\; \text{부피 } \dfrac{27}{2}\)

[아주대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[대문항 5] (20점) 표본비율의 정규분포 근사와 모비율의 신뢰구간 추정

확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 12105 변형 | 성취기준: 12확통03-06]

<제시문 (가)> 모비율이 \(p\)인 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때 표본비율 \(\hat{p}\)의 평균과 표준편차는 \(E(\hat{p}) = p,\; \sigma(\hat{p}) = \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\)이며, \(n\)이 충분히 클 때 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간은 \(\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\)이다.

어느 도시의 시민 전체를 대상으로 자율주행 버스 도입 찬성 비율 \(p\)를 알아보기 위해 \(n = 400\)명을 임의추출하여 조사한 결과 \(320\)명이 찬성하였다. (단, \(P(|Z| \le 1.96) = 0.95,\; P(|Z| \le 2.58) = 0.99\)) 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 표본비율 \(\hat{p}\)의 값과 \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간 \([a, b]\)를 구하고 신뢰구간의 길이 \(L = b - a\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 표본비율 \(\hat{p}\)가 위와 같을 때, 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(99\%\)의 신뢰구간의 길이가 \(0.0516\) 이하가 되도록 하는 최소의 표본의 크기 \(N\)을 구하시오.

[아주대학교 제10회 수리논술 답안 작성란 — 대문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 합계 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 아주대학교 채점 기준에 맞춰 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.