[가] 지리산 하도 좋아 굽이굽이 산자락을 휘감아 도는 섬진강 물길을 따라 걷는다. 강변의 하얀 모래톱 위에 깃든 봄 햇살은 눈이 시리도록 부서져 내리고,
물새들은 수면 위를 차오르며 생의 활기를 흩뿌린다. 인간의 잰걸음과 조급한 욕망은 이 유구한 물길 앞에서 비로소 제 속도를 잃고, 억겁을 흘러온 강물의 무심한 침묵 속으로 침잠한다.
강물은 제 길을 재촉하지 않으되 단 한 번도 멈춘 적이 없으며, 바위에 부딪쳐 부서질지언정 성냄이 없이 그저 낮은 곳을 향해 흘러갈 뿐이다. 자연의 질서는 스스로 그러하여 인간의 작위적인
잣대를 부끄럽게 만든다.
[나] 삭풍이 몰아치는 벌판에 홀로 선 한 그루 늙은 소나무는 제 푸르름을 결코 자랑하지 않는다. 잎들이 다 떨어져 앙상한 뼈대만 남긴 잡목들 사이에서 홀로
겨울을 견디는 소나무의 침묵은, 고난에 굴복하지 않는 강인한 의지의 표상이다. 눈보라가 가지를 꺾으려 할수록 더욱 굳건히 대지를 움켜쥐는 뿌리의 집념은 인간이 추구해야 할 본원적 삶의
태도를 일깨운다. 사람들은 흔히 세속의 영화와 번영만을 좇아 이합집산하지만, 묵묵히 제 자리를 지키며 절개를 잃지 않는 지사(志士)의 고결함은 삭풍 속의 소나무와 진배없다.
[가]의 '강물'과 [나]의 '소나무'가 인간에게 전달하는 공통된 교훈적 삶의 태도를 서술하고, [가]에서 비판적으로 바라보는 인간의 세속적 특성을 찾아 쓰시오.
(단, '침묵', '자연', '욕망'이라는 세 단어를 반드시 포함하여 완결된 세 문장으로 서술할 것.)
답안 작성란
하루는 박씨 부인이 계집종 계화를 불러 명하기를, "오늘 밤 북두칠성이 자리를 옮기고 불길한 살기가 한양 도성을 덮칠 것이니, 너는 후원에 결계를 치고 백화초목(百花草木) 사이에 숨겨둔
팔문둔갑의 비진(秘陣)을 점검하라." 하니라. 과연 삼경(三更)에 이르러 오랑캐 장수 용골대가 수만 필마를 이끌고 도성을 짓밟으며 맹렬한 불길로 장안을 불태우니, 백성들의 곡성이 천지를
진동하더라. 용골대의 아우 용울대가 기고만장하여 박씨 부인의 처소인 피화당(避禍堂)을 향해 불화살을 쏘아대매, 박씨 부인이 옥합을 열고 옥기린 패도를 던져 조화를 부리니라.
홀연 동남풍이 거세게 일며 사나운 화염이 거꾸로 용울대의 군진을 덮치매 오랑캐 군사들이 불길에 휩싸여 아우성치고 쓰러지는 자가 헤아릴 수 없더라. 박씨가 계화를 시켜 호통쳐 가로되,
"너희가 조정을 업신여기고 무고한 백성을 도륙하였으니 하늘의 벌을 피치 못하리라!" 하며 계화가 신궁을 당겨 용울대의 이마를 쏘아 거꾸러뜨리니, 용골대가 통곡하며 퇴군을 서두르니라. 이는
여인의 지혜와 신통력이 무능한 위정자들을 부끄럽게 하고 국난을 타개하는 영웅적 면모를 만천하에 드러낸 사건이더라.
윗글의 박씨 부인이 '피화당'에서 보여준 공간적 행위와 능력의 초월적 특성을 분석하고, 이를 통해 당시 민중들이 문학을 통해 달성하고자 했던 심리적 보상 의식을 서술하시오.
(단, '도술적 능력', '국난 극복', '대리만족'의 세 핵심어를 반드시 포함하여 완결된 두 문장으로 서술할 것.)
답안 작성란
초전도 현상은 특정 물질이 임계 온도(Tc) 이하로 냉각될 때 전기 저항이 완전히 0이 되는 현상과, 물질 내부로 침투하려는 자기장을 완전히 밀어내는 '마이스너 효과(Meissner
effect)'를 동시에 만족하는 물리적 상태를 의미한다. 1911년 온네스에 의해 수은에서 처음 발견된 이 현상은, 1957년 바딘, 쿠퍼, 슈리퍼가 제안한 'BCS 이론'을 통해
미시적 메커니즘이 규명되었다. BCS 이론에 따르면, 일반적인 도체 내에서 전자는 음의 전하를 띠고 있어 쿨롱 척력에 의해 서로 밀어내지만, 결정 격자(Lattice)와의 상호작용을 통해
유효 인력이 발생할 수 있다.
결정 격자를 구성하는 양이온들은 전자가 통과할 때 정전기적 인력으로 인해 전자가 지나간 궤적 쪽으로 살짝 끌려오게 되며, 이로 인해 국소적으로 양전하 밀도가 증가하는 포논(Phonon,
음향 양자) 장이 형성된다. 이 과잉 양전하 영역은 뒤따라오는 또 다른 전자를 끌어당기게 되는데, 그 결과 두 전자는 서로 포논을 매개로 결합하여 하나의 거시적 준입자인 '쿠퍼
쌍(Cooper pair)'을 형성한다. 쿠퍼 쌍은 두 개의 페르미온(스핀 1/2)이 결합하여 정수 스핀(스핀 0 또는 1)을 갖는 보손(Boson)처럼 거동하게 된다.
파울리 배타 원리를 따르는 페르미온과 달리, 보손 입자들은 극저온에서 모든 입자가 동일한 단일 양자역학적 바닥상태로 응축될 수 있는데, 이를 보스-아인슈타인 응축과 유사한 거동으로 이해할
수 있다. 이렇게 형성된 쿠퍼 쌍 응축체는 단일 파동함수로 기술되는 거시적 양자 상태에 놓이며, 물질 내의 불순물이나 열적 진동을 일으키는 격자와 충돌하더라도 에너지를 잃지 않고 산란되지
않는다. 즉, 쿠퍼 쌍을 파괴하기 위해 필요한 에너지 간극(Energy gap, $\Delta$)보다 열에너지가 작다면 전자는 저항 없이 자유롭게 흐를 수 있게 되는 것이다. 한편, 외부
자기장이 가해지면 초전도체 표면에 차폐 전류가 유도되어 내부 자기장을 상쇄함으로써 완전 반자성(Diamagnetism)인 마이스너 효과가 실현된다.
윗글을 바탕으로, 상온 도체에서 전기 저항을 유발하는 전자들의 충돌 현상이 극저온 초전도체에서 완전히 사라지는 과정을 '포논', '쿠퍼 쌍', '에너지 간극'의 상호 관계를 중심으로
설명하시오.
(단, '포논에 의한 인력', '보손적 응축', '에너지 간극 미만의 열에너지'라는 세 조건을 충족하여 완결된 세 문장으로 서술할 것.)
답안 작성란
트랜스포머(Transformer) 모델은 자연어 처리 및 거대 언어 모델(LLM)의 핵심 아키텍처로서, 기존 순환 신경망(RNN)의 순차적 연산 한계를 극복하기 위해 제안된 '셀프
어텐션(Self-Attention)' 메커니즘에 기반한다. RNN은 시계열 데이터의 토큰을 순차적으로 처리하므로 문장이 길어질수록 과거 정보가 소실되는 '장기 의존성(Long-term
dependency)' 문제와 병렬 처리가 불가능한 속도 한계를 지니고 있었다. 트랜스포머는 재귀 구조를 완전히 배제하고, 입력 시퀀스 내의 모든 단어 쌍 간의 직접적 상관관계를 동시에
계산하는 방식으로 이러한 문제를 혁신적으로 해결하였다.
셀프 어텐션의 핵심은 입력된 각 토큰의 임베딩 벡터를 세 가지 학습 가능한 가중치 행렬과 곱하여 Query($Q$), Key($K$), Value($V$)라는 세 가지 벡터로
사영(Projection)하는 것이다. 여기서 Query는 '현재 정보를 찾고자 하는 주체 토큰', Key는 '비교 대상이 되는 모든 토큰의 레이블', Value는 '각 토큰이 담고 있는
실질적 의미 정보'를 상징한다. 주체 토큰의 Query 벡터와 시퀀스 내 모든 토큰의 Key 벡터 간의 내적(Dot product)을 계산하면 두 단어 간의 의미론적 유사도를 측정할 수
있다. 이 내적 값들을 벡터 차원의 제곱근($\sqrt{d_k}$)으로 나누어 주는 스케일링(Scaling)을 수행한 뒤, 소프트맥스(Softmax) 함수를 통과시키면 합이 1이 되는
'어텐션 가중치(Attention weight)' 분포가 도출된다.
도출된 어텐션 가중치를 각 토큰의 Value 벡터와 가중합(Weighted sum)함으로써 최종적인 문맥화된 표현(Contextualized representation)이 생성된다. 즉,
하나의 단어가 문장 내 다른 모든 단어들과 맺고 있는 문맥적 관계의 강도에 따라 가중 평균된 정보를 흡수하는 것이다. 더욱이 트랜스포머는 여러 개의 어텐션 헤드를 독립적으로 학습시키는
'멀티 헤드 어텐션(Multi-Head Attention)'을 도입하여, 문법적 관계, 의미론적 관계, 지시 대상 관계 등 다양한 측면의 문맥 정보를 서로 다른 부분
공간(Subspace)에서 동시에 추출할 수 있도록 설계되었다.
윗글을 바탕으로, 트랜스포머의 셀프 어텐션 연산에서 $Q, K, V$ 벡터가 결합하여 하나의 토큰에 문맥화된 정보를 부여하는 수학적 메커니즘을 순서대로 서술하시오.
(단, '$Q$와 $K$의 내적을 통한 유사도 측정', '소프트맥스 함수를 통한 가중치 산출', '가중치와 $V$ 벡터의 가중합'을 명시하여 완결된 문장으로 서술할 것.)
답안 작성란
양의 실수 $a$ ($a > 1$)에 대하여 두 함수
$$f(x) = a^{x-1} + 2, \quad g(x) = \log_a(x-2) + 1$$
이 있다. 직선 $y = -x + k$가 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 제1사분면에서 만나는 두 점을 각각 $P, Q$라 하자.
두 점 $P, Q$ 사이의 거리가 $3\sqrt{2}$이고, 선분 $PQ$를 대각선으로 하는 정사각형의 넓이가 18이다. 점 $P$의 $x$좌표가 3일 때, 실수 $a$의 값과 상수
$k$의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오.
(단, 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 역함수 관계 및 대칭축의 방정식을 명확히 증명하고 풀이 단계를 서술할 것.)
풀이 및 답안 작성란
수열 $\{a_n\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 점화식을 만족한다.
$$a_{n+1} = \begin{cases}
\dfrac{1}{2} a_n + 2 & (a_n\text{이 짝수인 경우}) \\
3a_n - 1 & (a_n\text{이 홀수인 경우})
\end{cases}$$
수열 $\{a_n\}$의 제5항이 $a_5 = 8$일 때, 가능한 모든 첫째항 $a_1$의 값들의 총합을 구하고, 각 경우의 역추적 경로를 단계별로 논술하시오.
(단, $a_n$이 자연수라는 조건 하에서 각 역추적 단계별 짝수/홀수 판정 기준을 반드시 제시할 것.)
풀이 및 답안 작성란
최고차항의 계수가 1인 사차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 함수 $g(x)$를
$$g(x) = |f(x) - t|$$
라 하자. 함수 $g(x)$가 $x = k$에서 미분가능하지 않은 실수 $k$의 개수를 $h(t)$라 할 때, 함수 $h(t)$는 다음 조건을 만족한다.
(가) $\lim_{t \to 3^+} h(t) = 4$이고, $\lim_{t \to 3^-} h(t) = 0$이다.
(나) 함수 $h(t)$는 $t = 3$과 $t = 19$에서만 불연속이다.
$f(0) = 3$이고 $f'(1) = 0$일 때, $f(3)$의 값을 구하고 그 풀이 과정을 상세히 서술하시오.
(단, 사차함수 $f(x)$의 그래프의 대칭성과 극값의 위치를 도함수를 통하여 명확히 논증할 것.)
풀이 및 답안 작성란
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여
$$\int_0^x (x-t)f(t)\,dt = x^4 - 2ax^2 + bx$$
를 만족시킨다. (단, $a, b$는 상수이다.)
(1) 상수 $a, b$의 값을 각각 구하고, 함수 $f(x)$를 구하시오.
(2) 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라 할 때, $S$의 값을 구하시오.
(3) 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 $v(t) = f(t)$일 때, $t = 0$에서 $t = 2$까지 점 $P$가 실제로 움직인
거리를 구하시오.
(단, 양변의 미분 과정과 정적분의 절댓값 분할 계산 과정을 반드시 기재할 것.)
풀이 및 답안 작성란