2027학년도 대입 수시모집 논술 대비
중앙대학교 수시모집 논술고사
[창의형_자연2] 수학 문제집
응시 학과: 창의ICT공과대학 (융합공학부, 전자전기공학부), 약학대학, 의과대학 등
2027 모의논술 (문제 1~8) + 2026 기출 (문제 1~4) + 2025 기출 (문제 1~4) 완제 수록
자연계열 공통문항
📝 [문제 1] 접선의 방정식과 곡선 사이의 넓이
배점: 15점
[문제 1] (15점) 곡선 \(y = x^3 - x\) 위의 점 \((1, 0)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하자.
[문제 1-1] 곡선 \(y = x^3 - x\)와 직선 \(l\)의 교점을 구하시오. (단, 접점 \((1, 0)\)은 제외한다.) [5점]
[문제 1-2] 닫힌구간 \(\left[-2-\frac{1}{n},\, -2+\frac{1}{n}\right]\)에서 곡선 \(y = x^3 - x\)와 직선 \(l\) 사이의 넓이를 \(A_n\)이라 할 때,
\[\lim_{n \to \infty} (n^2 A_n)\]
의 값을 구하시오. [10점]
📝 [문제 2] 음함수의 미분법과 인수분해
배점: 15점
[문제 2] (15점) 음함수 표현 \(x^4 + 7x^2 y^2 + y^4 = 45\)에 대하여 \(x = a\)에서 \(\frac{dy}{dx} = - 1\)이다. \(a\)의 값을 모두 구하시오. 단, \(x > 0\) 이고 \(y > 0\)이다.)
📝 [문제 3] 정적분으로 정의된 함수와 역함수의 적분
배점: 15점
[문제 3] (15점) 양의 실수 \(a 에 대하여 함수 g(x)\)를 다음과 같이 정의한다.
\[g(x) = x + a \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt\]
[문제 3-1] 함수 \(g(x)\)가 증가하는 구간을 구하시오. [5점]
[문제 3-2] 정적분
\[\int_{0}^{g(1)} g^{-1}(x) dx = 1\]
을 만족시키는 \(a\)를 구하시오. [10점]
📝 [문제 4] 수열과 수열의 급수
배점: 15점
[문제 4] (15점) 좌표평면에서 곡선 \(y = \sqrt{x}\) 위의 점 \(\text{P}_n(a_n^2\)\(, a_n\)과 \(x\) 축 위의 점 \(\text{Q}_n(b_n\)\(, 0\)을 다음과 같이 정의한다.
(i) 점 \(\text{P}_1\)의 좌표는 \(1, 1\)이다. 즉, \(a_1 = 1\)이다.)
(ii) \(\text{P}_n(a_n^2, a_n) 을 지나고 기울기 -1 인 직선이 x 축과 만나는 점을 \text{Q}_n(b_n, 0)\) 이라 한다.
(iii) \(\text{Q}_n(b_n\)\(, 0\)을 지나고 기울기 \(1\)인 직선이 곡선 \(y = \sqrt{x}\)와 만나는 점을 \(\text{P}_{n+1}(a_{n+1}^2\)\(, a_{n + 1}\) 이라 한다.
삼각형 \(\text{P}_n \text{Q}_n \text{P}_{n+1} 의 넓이를 S_n\) 이라 할 때, 급수
\[\sum_{n=1}^{10} S_n\]
의 값을 구하시오.
📝 [문제 5] 삼각함수의 덧셈정리와 함수의 최댓값
배점: 20점
[문제 5] (20점) 실수 \(a, b\)에 대하여 함수 \(f(x)\) \(= e^{x + \frac{\pi}{3}} a\sin x + b\cos x\)가 다음을 만족시킨다.
\[f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{\frac{\pi}{2}}\]
[문제 5-1] 실수 \(a, b\)를 구하시오. [10점]
[문제 5-2] 닫힌구간 \([0, \pi] 에서 f(x)\)의 최댓값을 구하시오. [10점]
📝 [문제 6] 절댓값을 포함한 지수함수와 넓이의 정적분
배점: 20점
[문제 6] (20점) 좌표평면에서 점 \(\text{P}(t\)\(, 0\)을 지나는 직선 중 곡선 \(y = e^{|x|}\)과 한 점에서 만나는 직선이 세 개 있다. 세 직선이 곡선 \(y = e^{|x|}\)과 만나는 점을 각각 \(\text{A}(a_1\)\(, a_2\)\(,\)\(\text{B}(b_1\)\(, b_2\)\(,\)\(\text{C}(c_1\)\(, c_2\)라 하고, 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 \(S(t)\)라 하자.
[문제 6-1] 점 \(\text{A}, \text{B}, \text{C} 의 좌표를 t 의 함수로 표현하시오. (단, 2 \le t \le 3 이고 a_1 \lt b_1 \lt c_1\)이다.) [10점]
[문제 6-2] 정적분
\[\int_{2}^{3} S(t) dt\]
를 구하시오. [10점]
📝 [문제 7] 타원의 접선과 두 접선이 이루는 각
배점: 15점
[문제 7] (15점) 점 \(\text{P}(t\)\(, 3\)에서 타원 \(\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1\)에 그은 두 접선이 이루는 예각이 \(45^\circ\)일 때, \(t^2\)의 값을 구하시오.
📝 [문제 8] 평면벡터의 내적의 최솟값과 삼각형의 넓이
배점: 15점
[문제 8] (15점) 반지름의 길이가 \(1 인 원 위의 세 점 \text{A}, \text{B}, \text{C} 에 대하여 내적 \vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} 가 최솟값을 가질 때, 그 값과 삼각형 \text{ABC}\)의 넓이를 구하시오.
📝 [2026 기출 문제 1] 연속 테스트 합격 조건부확률
배점: 20점
[문제 1] (20점) 다음 규칙에 따라 시행을 한다.
• 남학생 2명과 여학생 2명이 두 번의 테스트로 구성된 프로그램에 참여한다.
• 각 테스트가 시작할 때 남학생 1명과 여학생 1명을 임의로 짝지어 두 개의 팀을 구성하여 테스트에 각각 참여한다.
• 팀은 테스트마다 다시 구성한다.
• 어떤 두 학생이 처음으로 팀이 되었을 때 그 팀이 테스트를 통과할 확률은 \(\frac{1}{2}\)이다.
• 어떤 두 학생이 두 번 연속으로 같은 팀이 되었을 때 첫 번째 테스트를 통과했다면 두 번째 테스트를 통과할 확률은 \(\frac{3}{4}\)이다. 그러나 첫 번째 테스트를 통과하지 못했다면 두 번째 테스트를 통과할 확률은 \(\frac{1}{4}\)이다.
• 두 번의 테스트 동안 어떤 학생이 속한 팀이 한 번 이상 테스트를 통과하면 그 학생은 프로그램에 합격한 것으로 한다.
위 시행에서 4명의 학생 모두 프로그램에 합격할 확률을 구하시오.
📝 [2026 기출 문제 2] 수열의 주기성과 미분방정식 접선의 y절편
배점: 25점
[제시문] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.
• 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 미분가능한 함수 \(x =\) \(g(t)\)의 도함수 \(g'(t)\)가 \(a =\) \(g(\alpha)\)\(, b =\) \(g(\beta)\)일 때 \(\alpha, \beta\)를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.
\(\int_a^b\) \(f(x)dx\) \(= \int_{\alpha}^{\beta}\) \(f(g(t))g'(t)dt\)
• 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(\text{P}(a\)\(,\)\(f(a))\) 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.
\(y -\) \(f(a)\) \(=\) \(f'(a)(x\) \(- a\)
• 두 함수 \(f(x)\)\(,\)\(g(x)\)가 미분가능하고, \(f'(x)\)\(,\)\(g'(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.
\(\int_a^b\) \(f(x)g'(x)dx\) \(=\) \([f(x)g(x)]_a^b\) \(- \int_a^b\) \(f'(x)g(x)dx\)
[문제 2-1] (10점) 모든 항이 자연수인 수열 \(a_n\) 이 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\(a_{n + 1} =\) \(\begin{cases} 3(a_n + 2) & (a_n\text{을 3)으로 나눈 나머지가 1)인 경우}) \\ 3(a_n + 1) & (a_n\text{을 3)으로 나눈 나머지가 2)인 경우}) \\ \frac{1}{3}a_n & (a_n\text{이 3)의 배수인 경우}) \end{cases}\)를 만족시킨다. 집합 \(A = \{a_n \mid n\text{\)은 자연수\(}\}\)의 원소의 개수가 \(5\)가 되도록 하는 \(a_1\)을 모두 구하시오.
[문제 2-2] (15점) 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
\(\int_0^x u\) \(f'(x-u)\) \(du = - x e^{ - x} + x^2 + ax \quad a\text{\)는 실수\(}\)
를 만족시킨다. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(t,\)\(f(t))\) 에서의 접선의 \(y\) 절편을 \(g(t)\)라 할 때, \(\int_{\ln 2}^{\ln 4}\) \(g(t)\) \(dt = 4\ln 2 -\) \(\frac{1}{2}(\ln\) \((2)^2\)이다. 실수 \(a\)의 값과 \(g(t)\)의 극댓값과 극솟값을 구하시오.
📝 [2026 기출 문제 3] 두 곡선 사이의 넓이와 삼각치환 최댓값
배점: 25점
[제시문] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.
• 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)에 대하여 미분가능한 함수 \(x =\) \(g(t)\)의 도함수 \(g'(t)\)가 \(a =\) \(g(\alpha)\)\(, b =\) \(g(\beta)\)일 때 \(\alpha, \beta\)를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.
\(\int_a^b\) \(f(x)dx\) \(= \int_{\alpha}^{\beta}\) \(f(g(t))g'(t)dt\)
• 미분가능한 함수 \(f(x)\)에서 \(f'(a)=0\) 이고 \(x=a\)의 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극대이고 극댓값은 \(f(a)\)이다.
[문제 3-1] (10점) 두 곡선 \(y = \frac{3e^{2x} - 6}{e^{2x} + 3e^x + 2}\)와 \(y = e^x - \frac{3}{2}\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
[문제 3-2] (15점) \(\overline{\text{AB}} = \overline{\text{AC}}\) 이고 \(\angle\text{BAC} \le \frac{\pi}{2}\)인 삼각형 \(\text{ABC}\)가 반지름의 길이가 \(1\)인 원에 내접한다. \(\overline{\text{BC}} = 2x\)라 할 때 함수 \(f(x)\)를
\(f(x)\) \(= \overline{\text{BC}}^4 +\) \(\frac{15}{4}(\overline{\text{AB}}^2\) \(+ \overline{\text{AC}}^2\)으로 정의하자. \(f(x)\)의 최댓값을 구하시오.
📝 [2026 기출 문제 4-1] 쌍곡선의 접선과 사각형의 넓이
배점: 15점
[제시문] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.
• 쌍곡선 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 위의 점 \(\text{P}(x_1\)\(, y_1\) 에서의 접선의 방정식은 \(\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1\)이다.
• 오른쪽 그림과 같이 직선 \(l 을 공유하는 두 반평면 \alpha, \beta 로 이루어진 도형을 이면각이라고 한다. 직선 l 위의 한 점 \text{O} 를 지나고 l 에 수직인 두 반직선 \text{OA, OB} 를 각각 반평면 \alpha, \beta 위에 그을 때, \angle\text{AOB} 의 크기는 점 \text{O}\)의 위치에 관계없이 일정하다. 이때 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다.
[문제 4-1] (15점) 오른쪽 그림과 같이 쌍곡선 \(\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{6} = 1\) 위의 제\(1\)사분면에 있는 점 \(\text{P}_1\) 에서의 접선 \(l_1\) 이 두 직선 \(y = - x, y = x\)와 만나는 점을 각각 \(\text{A, B}\)라 하고, 쌍곡선 위의 제\(2\)사분면에 있는 점 \(\text{P}_2\) 에서의 접선 \(l_2\)가 두 직선 \(y = - x, y = x\)와 만나는 점을 각각 \(\text{C, D}\)라 하고, 두 접선 \(l_1\)과 \(l_2\)의 교점을 \(\text{E}\)라 하자. \(\overline{\text{OA}}\)\(:\)\(\overline{\text{OD}} = 2\)\(:\)\(3\) 이고 삼각형 \(\text{ADE}\)의 넓이가 \(4\)일 때, 사각형 \(\text{ABCD}\)의 넓이를 구하시오. 단, \(\text{O}\)는 원점이다.)
📝 [2026 기출 문제 4-2] 정육면체 사면체의 부피와 이면각
배점: 15점
[문제 4-2] (15점) 오른쪽 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 \(2 인 정육면체 \text{ABCD-EFGH} 에서 변 \text{AE} 의 중점을 \text{M} 이라 하자. 삼각형 \text{BMG} 의 넓이를 S , 사면체 \text{BDMG} 의 부피를 V , 두 평면 \text{DMB} 와 \text{DMG} 가 이루는 예각을 \alpha 라 할 때, SV\sin \alpha\)를 구하시오.
📝 [2025 기출 문제 1] 이산확률변수 상금의 기댓값과 이차부등식
배점: 20점
[문제 1] (20점) 다음 규칙에 따라 상금을 받는 시행을 한다. 풀이와 함께 물음에 답하시오.
(가) 주머니 A에는 빨간색 공 1개가 들어 있고, 주머니 B에는 파란색 공 5개가 들어 있다. 두 주머니의 공을 주머니 C에 합친 후 임의로 1개를 꺼내서 그 공이 빨간색 공일 때 100만 원의 상금을 받는다. 만일 파란색 공을 꺼낸 경우 상금은 0원이다.
(나) 주머니 C에 합치기 전에, 1회당 2만 원의 비용을 지불하면 주머니 A 또는 B를 선택한 후 선택한 주머니에서 임의로 1개의 공을 택하여 제거한다.
(다) (나)는 최대 2회 가능하며, \(k\) \(k=1\) 또는 \(2))번째에서 주머니를 선택하는 규칙은 다음과 같다.\)
• 주머니 A를 선택할 확률은 \(\frac{a}{k}\) 이고, 주머니 \(B\)를 선택할 확률은 \(1-\frac{a}{k}\)이다.
• 주머니 A에 공이 없는 경우 주머니 B에서 공을 택한다.
(라) 공을 제거할 때 지불하는 비용은 상금에서 차감된다. 따라서 상금의 값은 음수가 될 수 있다.
위 시행에서 공을 2회 제거할 때의 상금의 기댓값이 공을 1회 제거할 때의 상금의 기댓값보다 크거나 같도록 하는 \(a 의 최댓값을 구하시오. (단, 0 \lt a \lt 1\)이다.)
📝 [2025 기출 문제 2] 미분계수와 삼차함수의 접선 및 두 곡선 사이 정적분
배점: 25점
[제시문] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.
• 함수 \(y=f(x)\)의 \(x=a\) 에서의 미분계수는 \(f'(a)\) \(= \lim_{x \to a}\) \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)이다.
• 함수 \(f(x)\)가 어떤 구간에서 \(f''(x)>0\)이면 곡선 \(y=f(x)\)는 이 구간에서 아래로 볼록하다.
• 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(a,\)\(f(a))\) 에서의 접선의 방정식은 \(y-f(a)\) \(=\) \(f'(a)(x-a)\)이다.
• 두 수 \(\alpha, \beta\)를 근으로 하고 \(x^2\)의 계수가 \(1\)인 이차방정식은 \(x^2 - \alpha + \beta\)x) \(+ \alpha\beta = 0\)이다.
• 미분가능한 함수 \(g(t)\)에 대하여 \(x=g(t)\)로 놓으면 \(\int\) \(f(x)dx\) \(= \int\) \(f(g(t))g'(t)dt\)이다.
[문제 2-1] (10점) 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f'\left(\frac{1}{3}\right)\)의 값을 구하시오.
(가) \(\lim_{x \to 1} \frac{e^{f(x)} - e}{x-1} = 0\)
(나) \(f''(-1) > 0\)
(다) 닫힌구간 \([ - 1, 0]\)에서 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(- 1,\)\(f(-1))\) 에서의 접선과 곡선 \(y=f(x)\) 및 \(y\) 축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\frac{53}{12}\)이다.
[문제 2-2] (15점) 좌표평면 위의 곡선 \(y=x^2\)과 직선 \(y = \frac{1}{t + 1}x + e^{\frac{t^2 - 2}{t + 1}}\) \(t>-1\) \()\)가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 \(\text{P, Q}\)라 할 때, 선분 \(\text{PQ}\)를 한 변으로 하는 정삼각형의 넓이를 \(S(t)\)라 하자. 정적분 \(\int_0^1\) \(S(t)dt\)의 값을 구하시오.
📝 [2025 기출 문제 3] 정적분 점화식 수열의 합 및 거리 로그함수의 정적분
배점: 25점
[제시문] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.
• 두 함수 \(f(x)\)\(,\)\(g(x)\)가 미분가능할 때 \(\int\) \(f(x)g'(x)dx\) \(=\) \(f(x)g(x)\) \(- \int\) \(f'(x)g(x)dx\)가 성립한다.
• 좌표평면에서 두 점 \(\text{A}(x_1\)\(, y_1\)\(,\)\(\text{B}(x_2\)\(, y_2\) 사이의 거리는 \(\overline{\text{AB}} =\) \(\sqrt{(x_1-x_2)^2\) \(+ y_1 - y_2\)^2}이다.
• 미분가능한 함수 \(g(x)\)의 도함수 \(g'(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)를 포함하는 열린구간에서 연속이고 \(g(a)=\alpha\)\(,\)\(g(b)=\beta\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 \(\int_a^b\) \(f(g(x))g'(x)dx\) \(= \int_\alpha^\beta\) \(f(t)dt\)가 성립한다.
[문제 3-1] (10점) 좌표평면 위의 세 직선 \(y = 0, x = 1, x = e\)와 곡선 \(y=(\ln\) \((x)^n\)으로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(a_n\) 이라 하자. 수열의 합
\(\sum_{n = 1}^{13} \{a_{n + 1} +\) \(n+1\)\(a_n\}\) \(\frac{\ln(n+1)\) \(- \ln\) \(n}{\ln\left(\frac{n}{15}\right)\ln\left(\frac{n+1}{15}\right)}\)
을 구하시오.
) [문제 3-2] (15점) 좌표평면 위의 점 \(\text{A}(1)\(, t\)\(,\)\(\text{B}(-1\)\(, t\)\(,\)\(\text{P}(x\)\(, 0\) 이 있다. 실수 \(t\) \(t>0\) \()\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x)\) \(= \ln \overline{\text{PA}} + \ln \overline{\text{PB}}\)이다. 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 \(g(t)\)라 할 때, 정적분 \(\int_{1/2}^2 2t\) \(g(t)dt\)의 값을 구하시오.
📝 [2025 기출 문제 4] 타원의 접선 최단거리 및 위치벡터 내적의 최댓값
배점: 30점
[제시문] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.
• 타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)에 접하고 기울기가 \(m\)인 접선의 방정식은 \(y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}\)이다.
• 타원 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 위의 점 \(x_1, y_1\) 에서의 접선의 방정식은 \(\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1\)이다.
• 두 평면벡터 \(\vec{a}, \vec{b}\)가 이루는 각의 크기가 \(\theta\) \(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) \()\)일 때, \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)이다.
[문제 4-1] (15점) 오른쪽 그림과 같이 두 초점이 \(\text{F}(c\)\(, 0\)\(,\)\(\text{F}'(-c\)\(, 0\) \(c>0\) \()\)인 타원 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1\) 위의 점 \(\text{P}\) 에서의 접선이 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \(\text{Q, R}\)라 하자. 선분 \(\text{QR}\)의 길이가 최소일 때, 삼각형 \(\text{PRF}'\)의 넓이를 구하시오. 단, 점 \(\text{P}\)는 제1사분면 위의 점이다.)
[문제 4-2] (15점) \((m-5)^2\) \((+ n - 4)^2\) \(< 9\)를 만족시키는 두 정수 \(m, n\)에 의하여 정의된 좌표평면 위의 점 \(\text{P}(m\)\(, n\)과 원 \((x+1)^2\) \((+ y - 8)^2\) \(= 1\) 위를 움직이는 점 \(\text{Q}\)에 대하여 내적 \(\vec{\text{OP}} \cdot \vec{\text{OQ}}\)의 최댓값을 구하시오. 단, \(\text{O}\)는 원점이다.)
\)
