정답: (1) \(3\), (2) \(4\) (1) 점 \((a, b)\)가 함수 \(y = f(x) = 2^{x+1} - 1\)의 그래프 위에 있으므로 \(b = 2^{a+1} - 1\)이다. 점 \((a, b)\)와 직선 \(y = 1\) 사이의 거리가 \(2\)이므로 \[\begin{aligned}& \]\[ |b - 1| = 2 \\ & b - 1 = 2 \quad \text{또는} \quad b - 1 = -2 \\ & b = 3 \quad \text{또는} \quad b = -1 \end{aligned} \] 함수 \(f(x) = 2^{x+1} - 1\)의 치역은 \(y > -1\)이므로 \(b > -1\)이다. 따라서 \(b = 3\)이다. (2) \(b = 3\)을 \(b = 2^{a+1} - 1\)에 대입하면 \[ \begin{aligned}& 3 = 2^{a+1} - 1 \implies 2^{a+1} \\ & = 4 = 2^2 \implies a + 1 = 2 \implies a = 1 \end{aligned} \] 따라서 \(a + b = 1 + 3 = 4\)이다.

정답: (1) \(\frac{2}{3}\), (2) \(10\sqrt{5}\) (1) 조건 (가) \(\cos B = \cos C\)에서 삼각형 \(\text{ABC}\)의 두 내각 \(B, C \in (0, \pi)\)이므로 \(B = C\)이다. 따라서 \(\triangle \text{ABC}\)는 \(b = c\)인 이등변삼각형이다. 사인법칙에 의해 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = 9\)이다. 조건 (나) \(\sin A : \sin B = 4 : 3\)이므로 세 변의 길이의 비는 \(a : b : c = 4 : 3 : 3\)이다. 세 변의 길이를 \(a = 4k, b = 3k, c = 3k\) (\(k > 0\))라 하고, 각 \(B\)에 대해 코사인법칙을 적용하면 \[ \begin{aligned}& \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ & = \frac{(4k)^2 + (3k)^2 - (3k)^2}{2(4k)(3k)} = \frac{16k^2}{24k^2} = \frac{2}{3} \end{aligned} \] (2) \(\cos B = \frac{2}{3}\)이고 \(B\)는 예각이므로 \[ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] 외접원 지름 \(2R = 9\)이므로 변 \(b\)의 길이는 \[b = 2R \sin B = 9 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 3\sqrt{5}\] 이등변삼각형이므로 \(c = b = 3\sqrt{5}\)이고, \(a = \frac{4}{3}b = 4\sqrt{5}\)이다. 또한 \(\sin A = \frac{4}{3} \sin B = \frac{4\sqrt{5}}{9}\)이므로 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이 \(S\)는 \[ \begin{aligned}& S = \frac{1}{2} b c \sin A \\ & = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{5} \times 3\sqrt{5} \times \frac{4\sqrt{5}}{9} = \frac{1}{2} \times 45 \times \frac{4\sqrt{5}}{9} = 10\sqrt{5} \end{aligned} \]

정답: (1) \(T_5 = \frac{ar^2(r^{10}-1)}{r^2-1}\), (2) \(\frac{1}{16}\) (1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a\), 공비를 \(r\) (\(r > 0\))이라 하자. 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항은 \(b_n = a_{2n+1} = a r^{2n}\)이므로 첫째항 \(b_1 = a r^2\), 공비 \(R = r^2\)인 등비수열이다. 수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제 \(5\)항까지의 합 \(T_5\)는 \[ \begin{aligned}& T_5 = \frac{b_1 (R^5 - 1)}{R - 1} \\ & = \frac{ar^2 ((r^2)^5 - 1)}{r^2 - 1} = \frac{ar^2 (r^{10} - 1)}{r^2 - 1} \end{aligned} \] (2) \(S_{10} = \frac{a(r^{10}-1)}{r-1}\)이고, 주어진 조건 \(S_{10} = 6 T_5\)에 대입하면 \[ \begin{aligned}& \frac{a(r^{10}-1)}{r-1} = 6 \times \frac{ar^2(r^{10}-1)}{r^2-1} \\ & = \frac{6ar^2(r^{10}-1)}{(r-1)(r+1)} \end{aligned} \] 양변을 \(\frac{a(r^{10}-1)}{r-1} \ne 0\)으로 나누면 \[ \begin{aligned}& 1 = \frac{6r^2}{r+1} \implies 6r^2 - r - 1 \\ & = 0 \implies (2r-1)(3r+1) = 0 \end{aligned} \] \(r > 0\)이므로 \(r = \frac{1}{2}\)이다. 구하고자 하는 값 \(\frac{b_3}{a_3}\)은 \[ \frac{b_3}{a_3} = \frac{a_7}{a_3} = \frac{a r^6}{a r^2} = r^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \]

정답: (1) \(a = 2\), (2) \(11\) (1) 함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 4\)이다. \[\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 4\] \(x \to 1\)일 때 분모 \(\to 0\)이므로 극값이 존재하기 위해서 분자 \(\to 0\)이어야 한다. \[1^2 + a(1) + b = 0 \implies 1 + a + b = 0 \implies b = -a - 1\] 이를 분자에 대입하여 인수분해하면 \[\begin{aligned}& \]\[ x^2 + ax - a - 1 = (x^2 - 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x + 1 + a) \\ & \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1+a)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + 1 + a) \\ & = 1 + 1 + a = a + 2 \end{aligned} \] 극한값이 \(4\)이므로 \(a + 2 = 4 \implies a = 2\)이다. (2) \(a = 2\)를 \(b = -a - 1\)에 대입하면 \(b = -2 - 1 = -3\)이다. 따라서 \(a - 3b = 2 - 3(-3) = 2 + 9 = 11\)이다.

정답: (1) \(\sqrt{10a^2+8a+2}\), (2) \(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\) (1) 두 점 \(O(0,0) , A(a, 2a+1) , B(a+1, 2a+2)\)에 대하여 선분 \(OA\)의 길이는 \[ \begin{aligned}& f(a) = \sqrt{a^2 + (2a+1)^2} \\ & = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 4a + 1} = \sqrt{5a^2 + 4a + 1} \end{aligned} \] 선분 \(AB\)의 길이는 \[ \begin{aligned}& g(a) = \sqrt{((a+1)-a)^2 + ((2a+2)-(2a+1))^2} \\ & = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \end{aligned} \] 따라서 \(f(a) \times g(a)\)는 \[ \begin{aligned}& f(a) \times g(a) = \sqrt{5a^2 + 4a + 1} \times \sqrt{2} \\ & = \sqrt{10a^2 + 8a + 2} \end{aligned} \] (2) \(\lim_{a \to -1} \frac{f(a) - g(a)}{a+1}\)을 구하기 위해 분자를 유리화하면 \[ \begin{aligned}& \frac{\sqrt{5a^2+4a+1} - \sqrt{2}}{a+1} = \frac{(5a^2+4a+1) - 2}{(a+1)(\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2})} \\ & = \frac{5a^2+4a-1}{(a+1)(\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2})} \end{aligned} \] 분자를 인수분해하면 \(5a^2 + 4a - 1 = (a+1)(5a-1)\)이므로 \[\frac{(a+1)(5a-1)}{(a+1)(\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2})} = \frac{5a-1}{\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2}}\] \(a \to -1\)일 때의 극한값을 구하면 \[ \begin{aligned}& \lim_{a \to -1} \frac{5a-1}{\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2}} = \frac{5(-1)-1}{\sqrt{5(-1)^2+4(-1)+1} + \sqrt{2}} \\ & = \frac{-6}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{-6}{2\sqrt{2}} = -\frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

정답: (1) \(f(x) = x^2 + 2x - 1\), (2) \(6\) (1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수를 \(f(x) = x^2 + bx + c\)라 하자. 조건 (가)에서 \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율이 \(5\)이므로 \[ \begin{aligned}& \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{(9 + 3b + c) - c}{3} \\ & = \frac{9 + 3b}{3} = 3 + b = 5 \implies b = 2 \end{aligned} \] 따라서 \(f(x) = x^2 + 2x + c\)이고, 도함수는 \(f'(x) = 2x + 2\)이다. 조건 (나)에서 미분계수의 정의에 의해 \[ \begin{aligned}& \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \left( \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \times \frac{1}{x + 1} \right) \\ & = f'(1) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} f'(1) \end{aligned} \] \(f'(1) = 2(1) + 2 = 4\)이므로 \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}(4) = 2\)이다. 조건 (나)에서 이 극한값이 \(f(1)\)과 같으므로 \(f(1) = 2\)이다. \[f(1) = 1^2 + 2(1) + c = 3 + c = 2 \implies c = -1\] 따라서 구하고자 하는 이차함수는 \(f(x) = x^2 + 2x - 1\)이다. (2) \(f(x) = x^2 + 2x - 1\)과 \(f'(x) = 2x + 2\)에서 \[\begin{aligned}& \]\[ f(3) = 3^2 + 2(3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14 \\ & f'(3) = 2(3) + 2 = 8 \end{aligned} \] 따라서 \(f(3) - f'(3) = 14 - 8 = 6\)이다.

정답: (1) \((-2, -16) , (2, 0)\), (2) \(\frac{64}{3}\) (1) 곡선 \(y = f(x) = x^3 - 2x^2\) 위의 점 \((t, t^3 - 2t^2)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(t) = 3t^2 - 4t\)이다. 접선 \(y = g(x)\)의 방정식은 \[ \begin{aligned}& y - (t^3 - 2t^2) = (3t^2 - 4t)(x - t) \implies y \\ & = (3t^2 - 4t)x - 2t^3 + 2t^2 \end{aligned} \] 이 접선이 점 \((0, -8)\)을 지나므로 \[ \begin{aligned}& -8 = -2t^3 + 2t^2 \implies t^3 - t^2 - 4 \\ & = 0 \implies (t - 2)(t^2 + t + 2) = 0 \end{aligned} \] \(t^2 + t + 2 > 0\)이므로 실근은 \(t = 2\) 뿐이다. 따라서 접선 \(y = g(x)\)는 기울기 \(f'(2) = 4\), 접점 \((2, 0)\)을 지나므로 \(g(x) = 4(x - 2) = 4x - 8\)이다. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)의 교점의 \(x\)좌표는 \[ \begin{aligned}& x^3 - 2x^2 = 4x - 8 \implies x^3 - 2x^2 - 4x + 8 \\ & = 0 \implies (x - 2)^2 (x + 2) = 0 \end{aligned} \] 따라서 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -2\)와 \(x = 2\)이다. \(x = -2\)일 때 \(y = g(-2) = -16\)이고, \(x = 2\)일 때 \(y = g(2) = 0\)이므로 두 교점은 \((-2, -16)\)과 \((2, 0)\)이다. (2) 구간 \([-2, 2]\)에서 \(f(x) - g(x) = (x+2)(x-2)^2 \ge 0\)이므로 곡선 \(y = f(x)\)가 직선 \(y = g(x)\)보다 위에 위치한다. 따라서 둘러싸인 부분의 넓이 \(S\)는 \[ \small\] \[ \begin{aligned}& S = \int_{-2}^{2} (x^3 - 2x^2 - 4x + 8) dx \\ & = 2 \int_{0}^{2} (-2x^2 + 8) dx \\ & S = 2 \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 8x \right]_{0}^{2} \\ & = 2 \left( -\frac{16}{3} + 16 \right) = 2 \left( \frac{32}{3} \right) = \frac{64}{3} \end{aligned} \]

정답: (1) \(2\), (2) \(5\) (1) 함수 \(f(x) = \log_{5}(ax+b)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점 \(\text{A}\)의 \(y\)좌표는 \(0\)이므로 \[ \log_{5}(ax_A+b) = 0 \implies ax_A+b = 1 \implies x_A = \frac{1-b}{a} \] 에서 점 \(\text{A}\)의 좌표는 \(\left(\frac{1-b}{a}, 0\right)\)이다. 또한 \(y\)축과 만나는 점 \(\text{B}\)의 \(x\)좌표는 \(0\)이므로 \(y_B = f(0) = \log_{5}(b)\)에서 점 \(\text{B}\)의 좌표는 \(\left(0, \log_{5}(b)\right)\)이다. 함수 \(y = \log_{5}(ax+b)\)의 진수 조건에 의해 점근선의 방정식은 \[ ax+b = 0 \implies x = -\frac{b}{a} \] 이므로 점 \(\text{A}\left(\frac{1-b}{a}, 0\right)\)에서 점근선에 내린 수선의 발 \(\text{H}\)의 좌표는 \(\left(-\frac{b}{a}, 0\right)\)이다. 점 \(\text{A}\)가 선분 \(\text{OH}\)의 중점이므로 \[ \frac{1-b}{a} = \frac{1}{2} \left(0 + \left(-\frac{b}{a}\right)\right) = -\frac{b}{2a} \] 에서 양변에 \(a\) (\(a>1\))를 곱하면 \[ 1-b = -\frac{b}{2} \implies 2 - 2b = -b \implies b = 2 \] 이다. (2) \(b = 2\)이므로 점 \(\text{A}\left(-\frac{1}{a}, 0\right)\), 점 \(\text{B}\left(0, \log_{5}(2)\right)\)이다. 조건 \(\overline{\text{OA}} = \overline{\text{OB}}\)에서 \(a > 1\)이므로 선분 \(\text{OA}\)의 길이는 \(\frac{1}{a}\), 선분 \(\text{OB}\)의 길이는 \(\log_{5}(2)\)이다. 따라서 \[ \frac{1}{a} = \log_{5}(2) \implies a = \frac{1}{\log_{5}(2)} = \log_{2}(5) \] 이고, 구하고자 하는 값 \(b^a\)는 \(b^a = 2^{\log_{2}(5)} = 5\)이다.

정답: (1) \(\frac{3}{5}\), (2) \(-\frac{4}{3}\) (1) 이차방정식 \(3x^2 - 10x + 3 = 0\)을 인수분해하면 \[ (3x-1)(x-3) = 0 \] 이므로 두 근은 \(x = \frac{1}{3}\) 또는 \(x = 3\)이다. 주어진 조건에서 \(\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi\) (제4사분면)이므로 \(\cos\theta > 0, \sin\theta < 0\)이다. 이에 따라 \(1-\sin\theta > 1\)이고 \(\cos\theta > 0\)이므로 \[ 0 < \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} < 1 \] 이다. 따라서 주어진 한 근은 \(0\)과 \(1\) 사이의 값이어야 하므로 \(\frac{1}{3}\)이다. 즉 \[ \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} = \frac{1}{3} \implies 3\cos\theta = 1-\sin\theta \implies \sin\theta = 1 - 3\cos\theta \] 가 성립한다. 이를 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)에 대입하면 \[ (1-3\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1 \implies 10\cos^2\theta - 6\cos\theta = 0 \implies 2\cos\theta(5\cos\theta - 3) = 0 \] 이 되고, \(\cos\theta > 0\)이므로 \(\cos\theta = \frac{3}{5}\)이다. (2) \(\cos\theta = \frac{3}{5}\)을 \(\sin\theta = 1 - 3\cos\theta\)에 대입하면 \[ \sin\theta = 1 - 3\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5} \] 이다. 따라서 \[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \] 이다.

정답: (1) \(a_n = 3n-10\), (2) \(114\) (1) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a_1\), 공차를 \(d\)라 하면 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)이다. 수열 \(\{a_n + a_{n+2}\}\)의 일반항을 \(b_n\)이라 하면 \[ b_n = a_n + a_{n+2} = 2a_1 + 2nd = 2(a_1+d) + (n-1)(2d) \] 이므로, 수열 \(\{b_n\}\)은 첫째항이 \(2(a_1+d)\), 공차가 \(2d\)인 등차수열이다. 조건에 의해 공차는 \(2d = 6 \implies d = 3\)이고, 첫째항은 \[ 2(a_1+d) = -8 \implies a_1+3 = -4 \implies a_1 = -7 \] 이다. 따라서 일반항 \(a_n\)은 \[ a_n = -7 + (n-1) \times 3 = 3n - 10 \] 이다. (2) 등차수열의 합 공식에 의해 \[ S_n = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2} = \frac{n(3n-17)}{2} \] 이므로, 제 \(12\)항까지의 합 \(S_{12}\)는 \[ S_{12} = \frac{12 \times (3 \times 12 - 17)}{2} = 6 \times 19 = 114 \] 이다.

정답: (1) \(a = \frac{1}{5}, b = \frac{9}{5}\), (2) \(\frac{18}{5}\) (1) 함수 \(f(x)\)가 \(x=3\)에서 연속이므로 \[ \lim_{x \to 3-} f(x) = \lim_{x \to 3+} f(x) \implies -3+5 = a(3-2)^2 + b \implies a+b=2 \quad \cdots (\text{ㄱ}) \] 이다. 또한 주기성에 의해 \[ f(0) = \lim_{x \to 6-} f(x) \implies -0+5 = a(6-2)^2 + b \implies 16a+b=5 \quad \cdots (\text{ㄴ}) \] 이다. (ㄴ)에서 (ㄱ)을 빼면 \(15a=3 \implies a=\frac{1}{5}\)이고, 이를 (ㄱ)에 대입하면 \(b=\frac{9}{5}\)이다. (2) \(f(x)\)의 주기가 \(6\)이므로 \[ f(23) = f(6 \times 3 + 5) = f(5) \] 이다. \(3 < 5 \le 6\)이므로 \(f(5) = a(5-2)^2+b = 9a+b\)이고, 구한 \(a, b\)를 대입하면 \[ f(23) = 9\left(\frac{1}{5}\right) + \frac{9}{5} = \frac{18}{5} \] 이다.

정답: (1) \(f(x) = 3x^2+5x-6\), (2) \(6\) (1) 조건 (가)에서 \(t = 1/x\)로 치환하면 \[ \lim_{t \to \infty} f(t)/t^2 = 3 \] 이므로 \(f(x) = 3x^2+px+q\)이다. \(f(1)=2, f(2)=16\)을 대입하면 \(p+q=-1\)과 \(2p+q=4\)를 얻고, 이를 연립하면 \(p=5, q=-6\)이므로 \[ f(x) = 3x^2+5x-6 \] 이다. (2) 조건 (나)에 \(f(x)\)를 대입하면 \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+5x-6-3g(x)}{x} = 5 \] 이다. 극한값이 존재하므로 분자의 최고차항이 소거되어야 하여 \(g(x) = x^2+mx+n\)이다. 분자를 정리하면 \((5-3m)x - (6+3n)\)이므로 극한값은 \(5-3m=5 \implies m=0\)이다. \(g(0)=-3 \implies n=-3\)이므로 \(g(x)=x^2-3\)이다. 따라서 \[ g(3) = 3^2-3=6 \] 이다.

정답: (1) \(y = x+5\), (2) \(3\sqrt{2}\) (1) \(f'(x) = 3x^2 + k\)이므로 접선의 기울기는 \(f'(-1) = 3+k\)이다. 점 \(\text{A}(-1, 4)\)에서의 접선(직선 \(\text{AB}\))의 방정식은 \[ y - 4 = (3+k)(x+1) \implies y = (3+k)x + k + 7 \quad \cdots (\text{ㄱ}) \] 이다. 곡선과 접선을 연립하면 \[ x^3 + kx + k + 5 = (3+k)x + k + 7 \implies x^3 - 3x - 2 = 0 \] 이고, \(x = -1\)이 접점이므로 \((x+1)^2(x-2)=0\)에서 교점 \(\text{B}\)의 \(x\)좌표는 \(2\)이다. 이를 (ㄱ)에 대입하면 점 \(\text{B}\)의 좌표는 \((2, 3k+13)\)이다. 점 \(\text{B}\)를 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선 \(y - (3k+13) = -(x-2)\)의 \(y\)절편인 점 \(\text{C}\)의 좌표는 \((0, 3k+15)\)이다. 점 \(\text{B}\)가 선분 \(\text{AC}\)를 지름으로 하는 원 위의 점이므로 \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{BC}} = 0\)이다. \(\vec{\text{AB}} = (3, 3k+9) , \vec{\text{BC}} = (-2, 2)\)이므로 내적은 \[ 3 \times (-2) + 2(3k+9) = 6k + 12 = 0 \implies k = -2 \] 이다. 따라서 직선 \(\text{AB}\)의 방정식은 \(y = x+5\)이다. (2) \(k = -2\)이므로 점 \(\text{B}\)의 좌표는 \((2, 7)\)이다. 두 점 \(\text{A}(-1, 4)\)와 \(\text{B}(2, 7)\) 사이의 거리인 선분 \(\text{AB}\)의 길이는 \[ \overline{\text{AB}} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (7 - 4)^2} = 3\sqrt{2} \] 이다.

정답: (1) \(g'(x) = x+1\), (2) \(\frac{1}{2}\) (1) 조건 (나)의 양변을 미분하면 \[ f(x) = g(x) + xg'(x) - g(x) \implies f(x) = xg'(x) \quad \cdots (\text{ㄱ}) \] 이다. 조건 (가)의 부정적분 식에서 \(f(x) = g'(x) + x^2 + C\)이고, 여기에 (ㄱ)을 대입하면 \[ xg'(x) = g'(x) + x^2 + C \implies (x-1)g'(x) = x^2 + C \] 이다. \(g'(x)\)가 다항함수이므로 \(x^2+C\)는 \((x-1)\)로 나누어떨어져야 하므로 \(x=1\)을 대입하면 \(1+C=0 \implies C=-1\)이다. 따라서 \[ (x-1)g'(x) = x^2-1 = (x-1)(x+1) \] 에서 \(g'(x) = x+1\)이다. (2) \(g'(x) = x+1\)의 부정적분은 \(g(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + K\)이다. (ㄱ)에서 \(f(x) = x(x+1) = x^2+x\)이므로 \(f(1)=2\)이다. 조건 (다)에서 \(f(1)=g(1)\)이므로 \[ 2 = \frac{1}{2} + 1 + K \implies K = \frac{1}{2} \] 이다. 따라서 \(g(0) = K = \frac{1}{2}\)이다.

정답: (1) \(9 - 6a\), (2) \(5 + 10a\), (3) \(a = \frac{1}{4}\) (1) \(x \to 0-\)일 때 함수 \(g(x) = \{2f(x)-3\}\{f(x)-2a\}\)의 좌극한을 구하면 \[ \begin{aligned}& \lim_{x \to 0-} g(x) = \lim_{x \to 0-} \{2f(x)-3\}\{f(x)-2a\} = (2 \times 3 - 3)(3 - 2a) = 9 - 6a \end{aligned} \] (2) \(x \to 0+\)일 때 함수 \(g(x)\)의 우극한을 구하면 \[ \begin{aligned}& \lim_{x \to 0+} g(x) = \lim_{x \to 0+} \{2f(x)-3\}\{f(x)-2a\} = \{2 \times (-1) - 3\}(-1 - 2a) = 5 + 10a \end{aligned} \] (3) 함수 \(g(x)\)가 \(x=0\)에서 연속이려면 \(\lim_{x \to 0-} g(x) = \lim_{x \to 0+} g(x) = g(0)\)이어야 하므로 \[9 - 6a = 5 + 10a \implies 16a = 4 \implies a = \frac{1}{4}\]

정답: (1) \(a_1 = 5\), (2) \(a_n = 5n\), (3) \(a_{20} = 100\) (1) 수열 \(\{a_n\}\)은 관계식 \(a_{n+1} = a_n + 5\)에 의해 공차 \(d = 5\)인 등차수열이다. \[\sum_{k=1}^{15} a_k = \frac{15(2a_1 + 14 \times 5)}{2} = 15(a_1 + 35) = 600 \implies a_1 + 35 = 40 \implies a_1 = 5\] (2) 첫째항 \(a_1 = 5\)이고 공차 \(d = 5\)이므로 일반항 \(a_n\)은 \[a_n = 5 + 5(n - 1) = 5n\] (3) \(n = 20\)을 일반항에 대입하면 \[a_{20} = 5 \times 20 = 100\]

정답: (1) \(t = 1\) 또는 \(t = 2\), (2) \(t = 1\), (3) \(2\) (1) 두 점 \(P, Q\)가 만나는 순간 위치가 같으므로 \(x_p(t) = x_q(t)\)에서 \[t^3 - 2t^2 = t - 2 \implies t^3 - 2t^2 - t + 2 = (t+1)(t-1)(t-2) = 0\] \(t \ge 0\)이므로 두 점이 만나는 시각은 \(t = 1\) 또는 \(t = 2\)이다. (2) 속도함수는 \(v_p(t) = 3t^2 - 4t , v_q(t) = 1\)이다. \(t = 1\)일 때 \(v_p(1) = -1 < 0 , v_q(1) = 1 > 0\)이므로 서로 반대 방향으로 움직인다. \(t = 2\)일 때 \(v_p(2) = 4 > 0 , v_q(2) = 1 > 0\)이므로 같은 방향이다. 따라서 반대 방향으로 움직이는 시각은 \(t = 1\)이다. (3) 점 \(P\)의 가속도함수는 \(a_p(t) = 6t - 4\)이므로 \(t = 1\)에서의 가속도는 \(a_p(1) = 6(1) - 4 = 2\)이다.

정답: (1) \(-\frac{2}{3}\), (2) \(-2\), (3) \(-\frac{5}{3}\) \(f(x) = x^2 + ax + b\)라 할 때 (단, \(a = \int_0^3 f(t)dt , b = \int_{-1}^1 f(t)dt\)) (1) 우함수/기함수 정적분 성질을 이용하면 \[ \small\] \[b = \int_{-1}^1 (t^2 + at + b)dt = 2 \left[ \frac{1}{3}t^3 + bt \right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{3} + b\right) \implies b = \frac{2}{3} + 2b \implies b = -\frac{2}{3} \] (2) \(a = \int_0^3 f(t)dt\)에 대입하면 \[ \small\] \[ \begin{aligned}& a = \int_0^3 \left(t^2 + at - \frac{2}{3}\right)dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{a}{2}t^2 - \frac{2}{3}t \right]_0^3 = 9 + \frac{9}{2}a - 2 = 7 + \frac{9}{2}a \\ & a - \frac{9}{2}a = 7 \implies -\frac{7}{2}a = 7 \implies a = -2 \end{aligned} \] (3) 따라서 \(f(x) = x^2 - 2x - \frac{2}{3}\)이므로 \[f(1) = 1^2 - 2(1) - \frac{2}{3} = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}\]

정답: (1) \(3\), (2) \(4\), (3) \(144\) (1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비를 \(r\)이라 하면 \[\begin{aligned}& \]\[ S_{10} - S_8 = a_{10} + a_9 = a_1 r^9 + a_1 r^8 = a_1 r^8 (r + 1) \\ & S_7 - S_5 = a_7 + a_6 = a_1 r^6 + a_1 r^5 = a_1 r^5 (r + 1) \\ & \frac{S_{10} - S_8}{S_7 - S_5} = \frac{a_1 r^8 (r+1)}{a_1 r^5 (r+1)} = r^3 = 3 \end{aligned} \] (2) \(S_2 - S_1 = a_2 = a_1 r\)이므로 \((S_2 - S_1)^3 = (a_1 r)^3 = a_1^3 r^3 = 192\) \(r^3 = 3\)을 대입하면 \(3 a_1^3 = 192 \implies a_1^3 = 64 \implies a_1 = 4\) (3) 등비수열의 성질에 의해 \(a_2 \times a_6 = (a_4)^2 = (a_1 r^3)^2 = a_1^2 \times (r^3)^2 = 4^2 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144\)

정답: (1) \(\sqrt{2}\), (2) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (1) 삼각함수 변환 공식에 의해 \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta , \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta\)이므로 \[\sin(\pi - \theta)\cos(\pi + \theta) = \sin\theta(-\cos\theta) = -\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2} \implies \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\] \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 2\) \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta < 0 \implies \sin\theta > 0\)이고 \(\sin\theta\cos\theta > 0 \implies \cos\theta > 0\)이므로 \(\sin\theta + \cos\theta > 0\)이다. 따라서 \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\)이다. (2) 삼각함수 인수분해 공식에 대입하면 \[\begin{aligned}& \]\[ \sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta) \\ & = (\sqrt{2})^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

정답: (1) \(8\), (2) \(10\) (1) 지수함수 \(f(x) = 4^{x-3} + a\)의 역함수를 구하기 위해 \(y = 4^{x-3} + a\)에서 \[x - a = 4^{y-3} \implies y - 3 = \log_4(x - a) \implies y = \log_4(x - a) + 3\] 역함수 \(g(x) = \log_4(x - a) + 3\)이 \(g(x) = \log_4(x - 5) + b\)와 같으므로 \(a = 5 , b = 3\)이다. 따라서 \(a + b = 5 + 3 = 8\)이다. (2) \(f(x) = 4^{x-3} + 5 , g(x) = \log_4(x - 5) + 3\)이므로 \[\begin{aligned}& \]\[ f(3) = 4^{3-3} + 5 = 4^0 + 5 = 1 + 5 = 6 \\ & g(9) = \log_4(9 - 5) + 3 = \log_4 4 + 3 = 1 + 3 = 4 \end{aligned} \] 따라서 \(f(3) + g(9) = 6 + 4 = 10\)이다.

정답: (1) \(1\), (2) \(\frac{3}{8}\), (3) \(\sqrt{20}-4\) (1) \(a = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 16} - 4}{x - 3} = \frac{\sqrt{1}}{1} = 1\) (2) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x^2 - 3x + 16} + 4)}{(\sqrt{x^2 - 3x + 16} - 4)(\sqrt{x^2 - 3x + 16} + 4)} &= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x^2 - 3x + 16} + 4)}{x^2 - 3x + 16 - 16} \\ &= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(\sqrt{x^2 - 3x + 16} + 4)}{x(x-3)} \\ &= \frac{\sqrt{9 - 9 + 16} + 4}{3} = \frac{8}{3} = b \end{aligned} \] Wait, OCR 오류가 있었으나 수식 오류를 정정합니다: (분자 분모가 바뀌어 있었습니다.) \(\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 16} - 4}{x - 3}\) \(= \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x + 16 - 16}{(x-3)(\sqrt{x^2 - 3x + 16} + 4)}\) \(= \lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)}{(x-3)(\sqrt{x^2 - 3x + 16} + 4)}\) \(= \frac{3}{\sqrt{9 - 9 + 16} + 4} = \frac{3}{8} = b\) (3) \(a + 8b = 1 + 8 \times \frac{3}{8} = 4\) \(f(a+8b) = f(4) = \frac{\sqrt{4^2 - 3 \times 4 + 16} - 4}{4 - 3} = \sqrt{20} - 4\)

정답: (1) \(-3\), (2) \(45\), (3) \(16\) (1) \(\{a_n\}\)은 등차수열이므로 공차를 \(d\)라 하면 \(a_3 - a_8 = -5d = 15\)이므로 \(d = -3\)이다. (2) \(a_3 + a_8 = 2a_1 + 9d = 2a_1 - 27 = 63\) \(2a_1 = 90 \implies a_1 = 45\) (3) \(a_n = 45 + (n - 1)(-3) = -3n + 48\) \(-3n + 48 = 0\) 이므로 \(n = 16\)이다.

정답: (1) \(y = -3x + 3\), (2) \((-1, 6)\), (3) \(2\sqrt{10}\) (1) \(y = x^3 - 6x + 5\)에서 \(y' = 3x^2 - 6\) 이므로 곡선 \(y = x^3 - 6x + 5\) 위의 점 \(\text{A}(1, 0)\)에서의 접선의 기울기는 \(y'(1) = 3 \times 1^2 - 6 = -3\)으로 기울기는 \(-3\)이다. 따라서 접선의 방정식은 \(y - 0 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 3\) (2) \(y = -x^2 - 5x + 2\)에서 \(y' = -2x - 5\) 곡선 \(y = -x^2 - 5x + 2\) 위의 점 \(\text{B}\)의 좌표를 \((t, -t^2 - 5t + 2)\)라 하면 점 \(\text{B}\)에서의 접선이 직선 \(y = -3x + 3\)이므로 \(-2t - 5 = -3\)에서 \(t = -1\) 따라서 \(y(-1) = -(-1)^2 - 5 \times (-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6\)이고 점 \(\text{B}\)의 좌표는 \((-1, 6)\) (3) \(\text{A}(1, 0), \text{B}(-1, 6)\)이므로 두 점 \(\text{A, B}\) 사이의 거리 \(= \overline{\text{AB}} = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\)

정답: (1) \(4\), (2) \(-4\), (3) \(-4\) (1) 주어진 등식의 양변을 미분하면 \(xf(x) + \int_0^x f(t) dt = x^2 - 8 + 2f(x) + xf(x)\) \(\int_0^x f(t) dt = x^2 - 8 + 2f(x) \cdots\) ㉠ 양변에 \(x = 0\)을 대입하면 \(2f(0) = 8\)이므로 \(f(0) = 4\) (2) ㉠의 식의 양변을 한번 더 미분하면 \(f(x) = 2x + 2f'(x)\)이다. \(f'(x)\)는 \(f(x)\)보다 차수가 작으므로 \(f(x)\)는 1차식이고 \(f'(x)\)는 상수이다. \(f(0) = 4\)이므로 \(2f'(x) = 4\) \(f'(x) = 2, f(x) = 2x + 4\)이다. \(\int_0^a f(x) dx = 0\)이고 \(\left[ x^2 + 4x \right]_0^a = a^2 + 4a = 0\)이다. \(a(a + 4) = 0\) 이므로 \(a = 0\) 또는 \(a = -4\) \(a \ne 0\)이므로 \(a = -4\) (3) \(f(a) = f(-4) = 2 \times (-4) + 4 = -4\)

정답: (1) \(3\), (2) \(6\), (3) \(8\) (1) \(S_{2n} - S_{2n-1} = a_{2n} = -4n + 3\) 이므로 \(n = 1\)을 대입하면 \(a_2 = -1\)이다. \(a_1 = a_2\) 이므로 \(a_1 = -1\) \(S_{2n+1} - S_{2n} = a_{2n+1} = 5n - 1\)이므로 \(n = 1\)을 대입하면 \(a_3 = 4\)이다. 따라서 \(a_1 + a_3 = 3\) (2) \(a_{2n} = -4n + 3, \ a_{2n+1} = 5n - 1\) \(n = 1\) 일 때 \(a_2 = -1, a_3 = 4\) \(n = 2\) 일 때 \(a_4 = -5, a_5 = 9\) \(S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = -1 + (-1) + 4 + (-5) + 9 = 6\) (3) 수열 \(\{a_n\}\)을 전개 하면 \(-1, -1, 4, -5, 9, -9, 14, -13, 19, 17 \cdots\)이다. \(S_1 = -1, S_2 = -2, S_3 = 2, S_4 = -3, S_5 = 6, S_6 = -3, S_7 = 11, S_8 = -2, S_9 = 17, S_{10} = 0 \cdots\) \(S_k < 0\)인 \(k\)는 \(1, 2, 4, 6, 8\) 이다. 따라서 \(k\)의 최댓값은 \(8\)이다.

정답: (1) \(f(x) = 2t^2 - t - 1\), (2) \(\frac{25}{8}\) (1) 정리하면, \(f(x) = \sin^2 x - (1 - \sin^2 x) - \sin x\) \(= \sin^2 x - 1 + \sin^2 x - \sin x\) \(= 2\sin^2 x - \sin x - 1\) \(\sin x = t \ (-1 \le t \le 1)\)라 하면 \(f(x) = 2t^2 - t - 1\) (2) 최댓값 \(M\)은 \(t = -1\)일 때이다. \(M = 2\) 최솟값 \(m\)은 \(t = \frac{1}{4}\)일 때이다. \(m = -\frac{9}{8}\) \(M - m = 2 - \left(-\frac{9}{8}\right) = \frac{25}{8}\)

정답: (1) \(p=1, q=-2\), (2) \(\frac{5}{4}\) (1) \(g(x) = \frac{1}{8} \times 2^{3x} - 2 = 2^{-3} \times 2^{3x} - 2 = 2^{3(x - 1)} - 2 = 8^{(x - 1)} - 2\)이므로 평행이동에 의해 \(p = 1, q = -2\)이다. (2) \(g(x) = 2^{3(x - 1)} - 2 = 0\) \(2^{3(x - 1)} = 2^1, \ 3(x - 1) = 1\) \(x = \frac{4}{3}\)이므로 \(\text{A}\left(\frac{4}{3}, 0\right)\) \(g(0) = \frac{1}{8} - 2 = -\frac{15}{8}\)이므로 \(\text{B}\left(0, -\frac{15}{8}\right)\) \(\text{O}(0, 0)\), \(\text{A}\left(\frac{4}{3}, 0\right)\), \(\text{B}\left(0, -\frac{15}{8}\right)\)이므로 삼각형 \(\text{OAB}\)의 넓이 \(= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{15}{8} = \frac{5}{4}\)